平均曲率半徑對電磁波測距三角高程測量的影響分析

張成增,丁 璐,李增星,蘆小勇

(1. 中國電建集團西北勘測設計研究院有限公司,西安 710065;2. 陜西嵐河水電開發有限責任公司,陜西 安康 725000)

0 前 言

電磁波測距三角高程測量(EDM-Trigonomeric Leveling)的高差改正計算與地球平均曲率半徑和折光系數有關[1-6]。現行的不同測量規程規范中,對計算中地球曲率半徑取值的規定有所不同,或未作具體要求,雖然有的規范給出了唯一取值,但是在實際作業中,測量人員取值的方式多種多樣,有按地球平均半徑取值,有按地球平均曲率半徑取值,有按橢球長半軸半徑取值,有通過查詢表查詢,也有通過公式具體計算,有的取值精確到1 km,有的取值精確到1 m,總體上沒有明確的取值標準。本文通過分析地球曲率半徑取值精度對三等三角高程測量精度的影響,獲得三等及以下測距三角高程測量對地球曲率半徑取值的精度要求,為測距三角高程測量計算中地球平均曲率半徑的取值精度提供明確、可靠的技術依據。

1 地球平均曲率半徑

由于地球平均曲率半徑計算的數據量較大,為了便于應用,本文給出CGCS2000參考橢球體不同緯度的地球平均曲率半徑索引表,具體見表1。

表1 地球平均曲率半徑索引表 /m

2 測距三角高程測量誤差來源分析

GB/T 12898—2009《國家三、四等水準測量規范》給出四等水準路線或支線采用電磁波測距三角高程導線測量時,每點設站法測站高差的計算中,相鄰測站間單向觀測高差計算公式為:

(1)

式中僅考慮了地球曲率對高差觀測值的影響,明確指出式中R為地球平均曲率半徑,采用6 369 000 m,公式中沒有考慮大氣垂直折光對高差的影響。

CJJ/T 8-2011《城市測量規范》給出的四等三角高程導線測量相鄰測站間對向觀測的高差計算公式,以及NB/T 35029-2014《水電工程測量規范》給出三、四、五等電磁波測距三角高程觀測時,單向觀測高差計算為式(2):

(2)

式中:S為觀測邊的斜距;α為垂直角;K為垂直折光系數;R為地球平均曲率半徑;i為儀器高;l為標高。

公式中同時考慮了地球曲率和大氣折光系數K對高差觀測值的影響,但對地球平均曲率半徑R的取值精度沒有做出明確規定。

電磁波測距三角高程測量在實際工程測量應用中,測距邊一般較長,地球曲率和大氣折光都會對高差產生影響[1]。下面的分析計算以式(2)為基礎進行。式(2)可表示為:

(3)

對式(3)進行微分,根據誤差傳播定律可得:

(4)

由以上電磁波測距三角高程測量高差誤差公式可知,影響高差測量精度的主要因素為垂直角α的測量誤差和大氣垂直折光系數K的測量誤差,其他影響因素還有邊長、地球平均曲率半徑、儀器高、標高等誤差。其中,與地球平均曲率半徑誤差相關的改正項為:

(5)

3 大氣垂直折光系數變化范圍

測距三角高程測量中的大氣折光一般屬于近地層的垂直折射,這種折射主要由溫度梯度致使大氣密度發生變化而產生[8]。而折光系數K與氣溫、氣壓特別是大氣密度有關,其值不易測定[9]。

一般地區觀測條件較好的情況下(成像清晰、信號穩定、視線高度離開地面1.5 m以上、觀測時避開日出日落時段等),這時的垂直折光系數K隨著地理位置條件的不同,約變化于0.09～0.16[10]。

文獻[11]針對不同觀測條件(含地面溫度變化梯度大,視線離開地面較近等惡劣觀測條件),通過大量實測資料統計分析得知,各種地形條件下的大氣折光系數的變化范圍很大。陰天,視線懸空為下限,晴天,接近地面為上限的情況下,高山峽谷地形條件、視線懸空時,K為-0.10～0.15;一般山區、視線離開地面5 m以上時,K為-0.40～-0.20;丘陵地區、視線離開地面1.5 m以上時,K為-0.60～-0.30;平原水網、視線平行地面時,K為-0.80～-0.40;沙漠戈壁、視線平行地面時,K為-2.50～-0.60;鐵路既有線、視線平行地面時,K為-4.00～-0.80[11]。

由此可見,其數值變化很大,如果作業中K值取值不當,將會使觀測高差值出現較大誤差。結合文獻[10]和文獻[11]的統計分析,可知在不同觀測條件下,K值變化于-4.00～0.16。為了簡化式(5)的運算,K值分別取0、-1、-2、-3、-4,進行計算分析。

4 地球平均曲率半徑誤差的影響

《國家三、四等水準測量規范》規定,三、四等水準測量每公里水準測量的偶然中誤差限差分別為3.0 mm和5.0 mm。首先來分析R的取值精度對三等水準測量精度的影響,滿足三等水準測量精度后,自然滿足四等及以下等級的精度要求。

由式(4)可見,測距三角高程測量高差的誤差是采用方和根合成的,根據微小誤差取舍準則[12],當測量不確定度的有效數字取1位時,被舍去的某個分量引起的誤差δk必須小于或等于測量結果總標準差δ的1/3;當δk≤(1/3)δ時,則δk可視為微小分量。

故此,對于代替三等水準測量的測距三角高程測量,如果某改正項引起的誤差不大于偶然中誤差的1/3,即不大于1 mm時,可視其為微小分量,計算總誤差時即可舍去。也就是說,如果與地球平均曲率半徑誤差相關的改正項mc≤±1.0 mm時,mc項即可舍去。

即當地球曲率半徑誤差(mR)滿足如下條件時,由其引起的測量誤差可以舍去:

(6)

為了簡化計算,上式中,當垂直角α為0°,視線長度S取《國家三、四等水準測量規范》規定最大長度1 000 m時,式(6)可轉化為:

(7)

即:對于三等電磁波測距三角高程測量,當滿足式(7)的條件時,由地球平均曲率半徑R取值誤差引起的改正項可以忽略不計。

針對不同的垂直折光系數K,可利用式(7)計算不同緯度位置地球平均曲率半徑取值的最大允許偏差值。

CGCS2000橢球體不同緯度三等測距三角高程測量中,計算高差改正值時,地球平均曲率半徑取值的最大允許偏差值如表2所示。

表2 三等測距三角高程測量平均曲率半徑取值最大允許偏差值

根據不同的垂直折光系數K所對應的R最大允許偏差,可計算不同緯度處地球平均曲率半徑R的允許取值范圍,具體如表3所示。由表3生成相應的R允許取值范圍隨緯度變化的曲線如圖1所示。

表3 三等測距三角高程測量平均曲率半徑最大允許取值范圍

由表2、3及圖1可知,在CGCS2000參考橢球下:

(1)K值相同時,隨著緯度的增加,R的允許偏差值逐漸增大,但增大幅度較小;

(2) 相同緯度,隨著K值的減小,R的允許偏差值逐漸減小,且減小幅度較大;

(3)K值不小于-2.0時,可取用橢球長半徑近似值6 378.1 km代替全球各地的地球平均曲率半徑,進行三、四等(或以下)測距三角高程測量計算;

(4) 當工程區觀測環境較惡劣(K值較小)時,R應取當地地球平均曲率半徑。

事實上,一般觀測條件下(排除地面溫度變化梯度大,視線離開地面較近等惡劣觀測條件),大氣垂直折光系數K的變化于0.09～0.16[10]。最大視線長度1 000 m范圍內,經過驗算可知:

(1) 使用緯度45°處的地球平均曲率半徑R=6 378.1 km(近同于CGCS2000橢球體長半徑6 378.137 km),來代替地面各點的平均曲率半徑,計算高差變化值,其引起的變化范圍在±0.24 mm之間,遠小于三等水準測量每公里水準測量的偶然中誤差限差±3.0 mm,完全滿足三等及以下水準測量精度要求;

(2) 常有的幾種橢球體(克拉索夫斯基橢球體、1975年國際橢球體、WGS-84橢球體、CGCS2000橢球體等)之間,所獲得的R值變化范圍較小,可以不考慮橢球體間曲率半徑的差異,高差計算中可取相同的近似值;

(3) 地表高程值與地球曲率半徑允許偏差值相比,高程值較小時,可以不考慮當地高程值引起的曲率變化。

事實上,經過驗算還可得知,當觀測條件稍差(如當折光系數K=-2)時,使用緯度45°處的地球平均曲率半徑R=6 378.1 km,來代替地面各點的平均曲率半徑,計算高差變化值,其引起的變化范圍在±0.81 mm之間,此時對于三等水準測量精度要求來說,理論上仍可將其視為微小分量。實際應用中,考慮到高海拔、大高差等對觀測邊所處位置平均曲率半徑的的影響,謹慎起見,特別是當K≤-2時,應采用當地平均曲率半徑。

5 結 論

通過以上對測距三角高程測量高差計算中,由于地球平均曲率半徑誤差所致高程測量精度變化的分析,可得出如下結論:

(1) 一般觀測條件(成像清晰、信號穩定、視線高度離開地面1.5 m以上、觀測時避開日出日落時段等)下,為了計算方便計算和減少R值對高差改正的影響,建議采用緯度45°處地球平均曲率半徑R=6 378.1 km,進行三等及以下測距三角高程測量中的高差計算。

(2) 惡劣觀測條件(如地面溫度變化梯度大,視線離開地面、水面或障礙物較近等)下,特別是當觀測邊超長或折光系數K≤-2時,應查表或計算工程區相對應的地球平均曲率半徑值,進行高差計算。

(3) 常用的橢球體(克拉索夫斯基橢球體、1975年國際橢球體、WGS-84橢球體、CGCS2000橢球體等)之間,所獲得地球平均曲率半徑R的差異值與其允許偏差值相比較小,可以不用考慮橢球體間曲率半徑的差異。