適用于水輪機(jī)調(diào)節(jié)的改進(jìn)滑模控制研究

王瑞明，趙紅玉，馬振興

（喀什大學(xué)物理與電氣工程學(xué)院，新疆 喀什 844000）

水電是一種可開發(fā)程度最高的清潔能源。在未來相當(dāng)一段時(shí)間內(nèi)，水電是我國(guó)最主要的可再生能源和應(yīng)對(duì)全球氣候變化的重要手段[1]。間歇性的可再生能源會(huì)對(duì)電力系統(tǒng)的調(diào)頻調(diào)峰產(chǎn)生巨大壓力，未來水電“調(diào)節(jié)器”功能將超越能源[2]。水輪機(jī)是水電廠電能生產(chǎn)的主要?jiǎng)恿υO(shè)備。為了保證供電質(zhì)量，水輪發(fā)電機(jī)組運(yùn)行過程中必須根據(jù)負(fù)荷的變化調(diào)節(jié)水輪發(fā)電機(jī)組有功功率輸出，維持水輪發(fā)電機(jī)組的轉(zhuǎn)速在規(guī)定范圍內(nèi)。水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)，非線性特性表現(xiàn)為其主動(dòng)力矩和過流量用非線性數(shù)學(xué)表達(dá)式來刻畫[3]。水輪發(fā)電機(jī)組模型參數(shù)隨運(yùn)行工況也會(huì)發(fā)生較大變化。傳統(tǒng)的水輪機(jī)PID 調(diào)節(jié)參數(shù)需經(jīng)過現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)確定，在運(yùn)行過程中還需隨運(yùn)行環(huán)境的變化不斷優(yōu)化[4]。智能控制的水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)，需要通過對(duì)水輪發(fā)電機(jī)組參數(shù)辨識(shí)、運(yùn)算后，再對(duì)水輪發(fā)電機(jī)組進(jìn)行控制，辨識(shí)和運(yùn)算需要大量在線或離線學(xué)習(xí)訓(xùn)練[5]。另外，傳統(tǒng)控制方法的設(shè)計(jì)思想是將控制設(shè)計(jì)在一個(gè)特定運(yùn)行點(diǎn)上，導(dǎo)致系統(tǒng)在運(yùn)行中，很難適應(yīng)系統(tǒng)的各種工況變化[6]。滑模變結(jié)構(gòu)控制對(duì)控制對(duì)象的不確定性和擾動(dòng)具有較強(qiáng)的魯棒性，在水輪機(jī)轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)控制中有較大的發(fā)展?jié)摿Γ且环N魯棒控制策略[7]。由于水輪機(jī)系統(tǒng)外部擾動(dòng)和模型不確定是傳統(tǒng)滑模控制應(yīng)用于水輪機(jī)調(diào)節(jié)產(chǎn)生抖振的主要原因[8，9]。傳統(tǒng)滑模控制中滑模面的攝動(dòng)越大，滑模控制抖振振幅越大，影響滑模面攝動(dòng)的主要原因是狀態(tài)變量誤差[10，11]。由于水電機(jī)組中的水錘效應(yīng)，作為傳統(tǒng)滑模控制對(duì)象的水輪機(jī)系統(tǒng)表現(xiàn)為非最小相位系統(tǒng)[12，13]。以上這些原因限制了滑模控制在水輪機(jī)轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)系統(tǒng)中的應(yīng)用。為克服以上傳統(tǒng)滑模控制應(yīng)用于水輪機(jī)調(diào)節(jié)控制中的缺點(diǎn)，本文以水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)為對(duì)象，通過求解線性矩陣不等式，構(gòu)建狀態(tài)反饋增益控制器[14]，優(yōu)化狀態(tài)反饋增益，設(shè)計(jì)了水輪機(jī)組轉(zhuǎn)速跟蹤控制律，減小滑模控制抖振。過軟件仿真驗(yàn)證該控制策略能夠減小滑模控制輸出抖振，而且可有效控制和消除水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的跟蹤誤差。

1 系統(tǒng)建模

工程實(shí)際中，選擇水輪機(jī)系統(tǒng)容易測(cè)量的水輪機(jī)轉(zhuǎn)速x、電液隨動(dòng)系統(tǒng)接力器行程y、水頭h作為狀態(tài)變量。用狀態(tài)方程描述的水輪機(jī)系統(tǒng)為[15]

式中：eqh、eqx和eqy分別為水輪機(jī)過流量的水頭、轉(zhuǎn)速和接力器行程系數(shù)，eh、ex和ey分別為水輪機(jī)主力矩的水頭、轉(zhuǎn)速和接力器行程系數(shù)，q、mt、h、x和y分別為水輪機(jī)過流量、主力矩、水頭、轉(zhuǎn)速和接力器行程的偏差相對(duì)值。電液隨動(dòng)系統(tǒng)的輸入為水輪機(jī)控制系統(tǒng)的輸出u，Tw為水流慣性時(shí)間常數(shù)，T′a為發(fā)電機(jī)組及其負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)部分的慣性時(shí)間常數(shù)，mg0為額定頻率下發(fā)電機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)矩偏差相對(duì)值，eg為發(fā)電機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)矩對(duì)轉(zhuǎn)速的傳遞系數(shù)，式中eg為機(jī)組的綜合自調(diào)節(jié)系數(shù)，en=eg-ex。寫成矩陣形式，得

式中：X為狀態(tài)向量，X=[xyh]T，系數(shù)矩陣

輸出

U=[u]

擾動(dòng)

2 基于LMI 的滑模魯棒控制器設(shè)計(jì)

本文利用線性矩陣不等式算法，將水輪機(jī)控制系統(tǒng)中的狀態(tài)反饋測(cè)量誤差問題轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式約束優(yōu)化問題。通過線性矩陣不等式，求得水輪機(jī)轉(zhuǎn)速、主接力器行程和水頭等狀態(tài)量的增益，對(duì)水輪機(jī)轉(zhuǎn)速進(jìn)行有效控制。

2.1 調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)

為有效對(duì)狀態(tài)變量進(jìn)行調(diào)整，設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)補(bǔ)償算法為[16]

式中z為動(dòng)態(tài)補(bǔ)償變量，M為補(bǔ)償系數(shù)，待求矩陣。

選擇滑模函數(shù)為

式中K為待求矩陣，須滿足KG=I。對(duì)式（4）兩邊求導(dǎo)，將式（2）、式（3）代入式（4），得

控制律設(shè)計(jì)為

式中：η為切換增益，η=（η1η2η3）。

有

在滑模控制實(shí)施中式（4）滿足滑模條件，即當(dāng)t＞t0時(shí)，s=0，則z=-Kx，將式（4）、式（7）代入式（2）得

令E=F+G（K-KF-M）。

定理：設(shè)P為正定對(duì)角矩陣，如果滿足不等式

由被控對(duì)象式（2）和控制律式（7）構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。

證明：取Lyapunov 函數(shù)為

V=xTPx（10）

則有

將式（8）代入式（11），得

當(dāng)FTP+PF＜（K-KF-M）TGTP+PG（K-KF-M）時(shí)，有V˙＜0，系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。求解線性矩陣不等式，可解得矩陣K和M。

2.2 跟蹤控制器設(shè)計(jì)

定義跟蹤誤差e為

式中：xd為期望狀態(tài)；e1為水輪機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)速與期望轉(zhuǎn)速的誤差，e2為水輪機(jī)接力器實(shí)際行程與期望行程的誤差；e3為水輪機(jī)實(shí)際水頭與期望水頭的誤差，得

設(shè)計(jì)控制律為

設(shè)d=（d1d2d3）T，式中：d1、d2、d3為d中各元素，η中各元素的取值滿足ηi＞di，i=1、2、3。將式（16）代入式（15）得

引理：設(shè)P為正定對(duì)角矩陣，如果滿足不等式

由被控對(duì)象式（2）和控制律式（16）構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。

證明：取Lyapunov 函數(shù)為

可得

將式（17）代入式（20），可得

由于式（16）中η中各元素的取值滿足ηi＞di，所以

則有，當(dāng)滿足以下條件

3 仿真驗(yàn)證和結(jié)果分析

3.1 仿真驗(yàn)證

本文中的水輪機(jī)選定GZ990 型；其中的參數(shù)根據(jù)相應(yīng)水輪機(jī)的特征曲線依次為：ey=0.9，ex=-0.5，eh=1.2，eqy=0.55，eqx=0.65，eqh=0.2，eg=2.0，T′a=1.5，Tw=2.4，Ty=0.2。初始狀態(tài)參數(shù)：水輪機(jī)主力矩和轉(zhuǎn)速的標(biāo)幺值為1，主接力器行程的mg0為0.79。狀態(tài)方程式（6）中的矩陣F、G和d分別為

根據(jù)上述1 節(jié)的數(shù)學(xué)模型，在MATLAB 軟件的SIMULINK 中建成仿真模型。控制律式（13）中的切換增益η=[50 50 50]T，邊界層取0.05。對(duì)基于線性矩陣不等式的水輪機(jī)轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)改進(jìn)滑模控制策略進(jìn)行仿真研究。通過監(jiān)測(cè)水輪機(jī)轉(zhuǎn)速速跟蹤階躍信號(hào)的響應(yīng)速度、水輪機(jī)轉(zhuǎn)速跟蹤階躍信號(hào)和正弦信號(hào)跟蹤誤差、控制器輸出抖振大小來判斷其有效性，對(duì)傳統(tǒng)的滑模控制和本文設(shè)計(jì)的改進(jìn)的滑模魯棒控制策略進(jìn)行仿真分析。

3.2 仿真結(jié)果分析

通過MATLAB 仿真軟件工具包YALMIP 求解線性矩陣不等式式（16），求得矩陣K和M唯一解，分 別 為M=[5.709 3 1.486 5 9.603 7] ，K=[4.735 93.968 9 1.912 6] 。設(shè)置兩種轉(zhuǎn)速給定輸入，即階躍輸入和正弦輸入。分別以轉(zhuǎn)速給定階躍指令n（t）=1（t）r/s 和正弦指令n（t）=sin（4t）r/s 為給定信號(hào)，通過比較傳統(tǒng)滑模控制和改進(jìn)滑模控制的水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速跟蹤性能。

傳統(tǒng)滑模控制水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速階躍信號(hào)和正弦信號(hào)跟蹤見圖1。圖1 中橫坐標(biāo)為時(shí)間t，單位為秒s，縱坐標(biāo)為水輪機(jī)給定轉(zhuǎn)速nd和實(shí)際跟蹤轉(zhuǎn)速n，單位為r/s。從圖中水輪機(jī)轉(zhuǎn)速跟蹤曲線可看出，水輪機(jī)轉(zhuǎn)速穩(wěn)定后，水輪機(jī)轉(zhuǎn)速階躍跟蹤和正弦跟蹤有明顯誤差。本文設(shè)計(jì)的改進(jìn)滑模控制水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速階躍信號(hào)和正弦信號(hào)跟蹤見圖2。圖2 中橫坐標(biāo)為時(shí)間t，單位為s，縱坐標(biāo)為水輪機(jī)給定轉(zhuǎn)速nd和實(shí)際跟蹤轉(zhuǎn)速n，單位為r/s。從圖中水輪機(jī)轉(zhuǎn)速跟蹤曲線可看出，水輪機(jī)轉(zhuǎn)速穩(wěn)定后，階躍跟蹤和正弦跟蹤誤差明顯減少，但是響應(yīng)速度變慢。圖3 對(duì)比了傳統(tǒng)滑模控制器和本文設(shè)計(jì)的改進(jìn)滑模控制器水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速跟蹤性能。圖3 中橫坐標(biāo)為時(shí)間t，單位為s，縱坐標(biāo)分別為水輪機(jī)跟蹤信號(hào)和正弦信號(hào)的實(shí)際轉(zhuǎn)速n，單位為r/s。仿真結(jié)果表明本文設(shè)計(jì)的改進(jìn)滑模控制的轉(zhuǎn)速跟蹤明顯優(yōu)于傳統(tǒng)滑模控制的轉(zhuǎn)速跟蹤。由于本文設(shè)計(jì)的改進(jìn)滑模控制器在水輪機(jī)轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)過程中，涉及線性矩陣不等式的求解，本文設(shè)計(jì)的改進(jìn)滑模控制器響應(yīng)速度較傳統(tǒng)滑模控制器慢。圖4 對(duì)比了傳統(tǒng)滑模控制和本文設(shè)計(jì)的改進(jìn)滑模控制水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速跟蹤誤差。圖4 中橫坐標(biāo)為時(shí)間t，單位為s，縱坐標(biāo)為水輪機(jī)轉(zhuǎn)速跟蹤誤差e=nd-n，單位為r/s。從圖4中可以看出，水輪機(jī)轉(zhuǎn)速穩(wěn)定后，改進(jìn)滑模控制策略的不管是跟蹤階躍信號(hào)，還是跟蹤正弦信號(hào)，改進(jìn)滑模控制策略比傳統(tǒng)滑模控制策略的跟蹤誤差明顯減小。圖5 給出了傳統(tǒng)滑模控制和本文設(shè)計(jì)的改進(jìn)滑模控制在階躍信號(hào)和正弦信號(hào)輸入下控制器的輸出曲線。圖5 中橫坐標(biāo)為時(shí)間t，單位為s，縱坐標(biāo)為控制器輸出u，單位為A。從圖5 中可以看出，水輪機(jī)轉(zhuǎn)速穩(wěn)定后，傳統(tǒng)滑模控制器的控制輸出存在有較大的抖振，本文設(shè)計(jì)的改進(jìn)滑模控制器的控制輸出抖振現(xiàn)象明顯減小。通過仿真表明，基于線性矩陣不等式的改進(jìn)滑模控制器具有較高的轉(zhuǎn)速跟蹤精度、控制器輸出抖振較小的優(yōu)點(diǎn)。

圖2 改進(jìn)的滑模魯棒控制水輪機(jī)轉(zhuǎn)速跟蹤曲線

圖3 滑模控制和改進(jìn)的的滑模魯棒控制水輪機(jī)轉(zhuǎn)速跟蹤曲線

圖4 滑模控制和改進(jìn)的滑模魯棒控制水輪機(jī)轉(zhuǎn)速誤差曲線

圖5 滑模控制和改進(jìn)的滑模魯棒控制的控制輸出曲線

4 結(jié)論

基于線性矩陣不等式的改進(jìn)滑模控制水輪機(jī)轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)系統(tǒng)得出結(jié)論如下：

（1）與常規(guī)滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)相比，本文設(shè)計(jì)的改進(jìn)滑模控制水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)具有跟蹤誤差小、控制輸出抖振小以及能快速跟蹤給定轉(zhuǎn)速的優(yōu)越性。

（2）減少傳統(tǒng)滑模控制中水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速、接力器行程和水頭等狀態(tài)量的測(cè)量誤差對(duì)滑模控制輸出抖振的影響，并利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明改進(jìn)滑模控制策略的有效性。因此，將基于線性矩陣不等式的改進(jìn)滑模控制策略應(yīng)用于水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)中具有一定的應(yīng)用前景和工業(yè)價(jià)值。

（3）傳統(tǒng)單一控制水輪機(jī)調(diào)節(jié)控制策略大都存在一定局限性。基于線性矩陣不等式的改進(jìn)滑模控制水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)是較復(fù)雜的控制系統(tǒng)。將魯棒控制算法與傳統(tǒng)控制算法相結(jié)合的復(fù)合控制策略將是未來水輪機(jī)轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)系統(tǒng)控制策略的研究方向。

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