空間向量與立體幾何單元測試（B 卷）

■河南省南樂一中 吉曉波

一、單選題(本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。)

1.若{a,b,c}構成空間的一個基底,則下列向量可以構成空間基底的是( )。

A.a+b,a-b,a

B.a+b,a-b,b

C.a+b,a-b,b+c

D.a+b,a+b+c,c

2.已知空間向量a=(1,2,-2),b=(3,λ,μ-1),若a//b,則λ+μ=( )。

A.1 B.-1 C.2 D.-2

3.已知向量a=(1,3,0),b=(2,1,1),則向量a在向量b上的投影向量c=( )。

4.已知三棱柱ABC-A1B1C1的側棱長為2,底面ABC是邊長為2 的正三角形,∠A1AB=∠A1AC=60°,若B1C和BC1相交于點M,則=( )。

5.已知直線l的方向向量為e=(2,-1,2),平面α的法向量為n=(-2,a-b,a+b)(a,b∈R)。若l⊥α,則a+3b的值為( )。

A.-5 B.-2 C.1 D.4

6.如圖1,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°,|PA|=|AB|=|BC|=|AD|=1,BC//AD,已知Q是棱PD上靠近點P的四等分點,則CQ與平面PAB所成角的正弦值為( )。

圖1

8.在Rt△ABC中,|AB|=2,|AC|=,D為斜邊AC上異于A,C的動點,若將△ABC沿折痕BD翻折,使點A折至A1處,且二面角A1-BD-C的大小為,則|A1C|的最小值為( )。

二、多選題(本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。全部選對的得5 分,部分選對的得2分,有選錯的得0分。)

9.如圖2,已知點O為正六邊形ABCDEF的中心,下列結論中正確的是( )。

10.“十字貫穿體”是學習素描時常用的幾何體實物模型,圖3是某同學繪制“十字貫穿體”的素描作品。“十字貫穿體”是由兩個完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構成的多面體,其中一個四棱柱的每一條側棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側棱,兩個四棱柱分別有兩條相對的側棱交于兩點,另外兩條相對的側棱交于一點(該點為所在棱的中點)。若該同學繪制的“十字貫穿體”由兩個底面邊長為2,高為4的正四棱柱構成,在其直觀圖中建立如圖4 所示的空間直角坐標系,則( )。

圖3

圖4

A.|GE|=2

B.點C的 坐 標 為(-2,2,2)

C.O,E,F,A四點共面

D.直線CE與直線DG所成角的余弦值為

11.平面α,β,γ兩兩互相垂直且有一個公共點O,α∩β=l1,β∩γ=l2,α∩γ=l3,直線l過點O,則下列結論正確的是( )。

A.若l與l2,l3所成的角均為60°,則l與平面γ所成的角為45°

B.若l與平面α,β,γ所成的角相等,則這樣的直線l有且僅有1條

C.若l與平面α,β所成的角分別為30°,45°,則l與平面γ所成的角為60°

D.若點P在l上,且在l1,l2,l3的投影分別為P1,P2,P3,則2|OP|2=|P1P2|2+|P2P3|2+|P1P3|2

12.在棱長為2 的正方體ABCDA1B1C1D1中,E為AD的中點,點F在正方體的面CC1D1D內(含邊界)移動,點P為線段D1B上的動點,設|D1P|=λ|D1B|,則( )。

A.當λ=時,DP//平面AB1C

B.VB-AB1F為定值

C.|PA|+|PC|的最小值為2

D.當直線B1F//平面A1BD時,點F的軌跡被以A為球心,為半徑的球截得的長度為1

三、填空題(本大題共4 小題,每小題5分,共20分。)

13.在空間直角坐標系中,A(1,-1,3),B(-2,1,4),O為坐標原點,直線AB上有一點M,且OM⊥AB,則點M的坐標為____。

14.如圖5,某正方體的頂點A在平面α內,三條棱AB,AC,AD都在平面α的同側。若頂點B,C,D到平面α的距離分別為,2,則該正方體的表面積為____。

圖5

15.如圖6,三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長均為是2,側棱BB1與底面ABC所成的角為60°,側 面BCC1B1⊥底面ABC,點P在線段A1C1上,且平面B1CP⊥平面ACC1A1,則

16.如圖7,在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分別為AC1,A1B1的中點,點T在正方體的表面上運動,滿足PT⊥BQ。

圖7

給出下列四個結論:

①點T可以是棱DD1的中點;

②線段PT長度的最小值為;

④點T的軌跡圍成的多邊形的面積為。

③點T的軌跡是矩形;

其中所有正確結論的序號是____。

四、解答題(本大題共6 小題,共70 分,請在答題卡指定區域內作答,解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)

17.(本小題10 分)如 圖8 所 示,在 棱 長

圖8

(2)求直線FG與平面ACD所成角的正弦值。

18.(本小題12分)如圖9,三棱柱ABCA1B1C1中,平 面ABC⊥平面AA1C1C,AB⊥AC,|AA1|=|AB|=|AC|=2,∠A1AC= 60°。 過AA1的平面交線段B1C1于點E(不與端點重合),交線段BC于點F。

圖9

(1)求證:四邊形AA1EF為平行四邊形;

(2)若|BF|=3|FC|,求直線A1C1與平面AFC1所成角的正弦值。

19.(本小題12分)如圖10,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD⊥CD,AB//CD,|AB|=2,|AD|=|CD|=1,PC⊥底面ABCD,E是AC的中點,

圖10

(1)證明:平面PBC⊥平面ACF。

(2)若直線PE與平面PAB所成角的正弦值為,且|PC|＞|CD|,求平面ACF與平面PAB夾角的余弦值。

20.(本 小 題12 分)如圖11,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,|PA|=2,|AB|=|AC|=1,將△PAB繞著PA逆時針旋轉到△PAD的位置,得到如圖所示的組合體,M為PD的中點。

(1)當∠BAC為何值時,該組合體的體積最大? 并求出其最大值。

(2)當PC//平面MAB時,求直線PC與平面PBD所成角的正弦值。

21.(本小題12分)如圖12,已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形,點P在以AD為直徑的半圓弧上,點E為BC的中點。現將半圓沿AD折起,如圖13,使異面直線PD與BC所成的角為45°,此時|BP|=。

圖12

圖13

(1)證 明AB⊥平面PAD,并求點P到平面ABCD的距離;

(2)若平面PAB∩平面PDE=l,Q∈l,當平面QAB與平面QCD所成角的余弦值時,求|PQ|的值。

22.(本小題12 分)如圖14,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是邊長為2 的等邊三角形,|CC1|=2,D,E分別是線段AC,CC1的中點,C1在平面ABC內的射影為D。

(1)求證:A1C⊥平面BDE;

(2)若點F為棱B1C1的中點,求點F到平面BDE的距離;

(3)若點F為線段B1C1上的動點(不包括端點),求銳二面角F-BD-E的余弦值的取值范圍。