高考中關于導數構造問題的題型探析

■甘肅省嘉峪關市第一中學

導數構造問題是高考中的高頻考點,常常需要根據導數的結構特點構造合適的函數,進而利用函數的單調性與奇偶性等求解。對同學們的數據分析能力、推理能力、計算能力等要求很高,題目的難度一般都屬于中等以上。本文梳理總結了八種題型,集中體現了由“導”尋“源”之根本所在。

題型一、函數與冪函數乘法的構造

本題型主要涉及兩種結構:對于xf'(x)+f(x)＞0(或＜0),構造g(x)=x·f(x);對于xf'(x)+kf(x)＞0(或＜0),構造g(x)=xk·f(x)。

例1已知函數f(x)是定義在區間(0,+∞)上的可導函數,其導函數為f'(x),且滿足f'(x)+＞0,則不等式的解集為( )。

A.{x|x＞-2 020}

B.{x|x＜-2 020}

C.{x|-2 023＜x＜0}

D.{x|-2 023＜x＜-2 020}

解析：根據題意,設g(x)=x2f(x),x＞0,則g'(x)=x2f'(x)+2xf(x)。因為函數f(x)在區間(0,+∞)上滿足f'(x)+＞0,則有x2f'(x)+2xf(x)＞0,所以g'(x)＞0,即函數g(x)在區間(0,+∞)上為增函數。由(x+2 023)2f(x+2 023)＜32f(3),所以g(x+2 023)＜g(3),則有0＜x+2 023＜3,解得-2 023＜x＜-2 020,即所求不等式的解集為{x|-2 023＜x＜-2 020}。故選D。

例2已知定義在R上的函數f(x)滿足:函數f(x)為奇函數,且當x＜0時,f(x)+xf'(x)＞0成立(f'(x)為f(x)的導函數)。若a=-f(-1),b=(ln 2)f(ln 2),c=,則a,b,c的大小關系為( )。

A.a＞c＞bB.b＞a＞c

C.c＞b＞aD.a＞b＞c

解析：設g(x)=xf(x),x＜0,則g'(x)=f(x)+xf'(x)。因為當x＜0時,f(x)+xf'(x)＞0成立,所以g'(x)＞0,g(x)為單調遞增函數。又因為函數f(x)為奇函數,可得f(-x)=-f(x),所以g(-x)=-x·f(-x)=xf(x)=g(x),所以函數g(x)為偶函數,所以函數g(x)在(0,+∞)上為單調遞減函數。由a=-f(-1)=g(-1)=g(1),b=(ln 2)f(ln 2)=g(ln 2),c==2f(2)=g(2),又因為ln 2＜1＜2,所以g(ln 2)＞g(1)＞g(2),即b＞a＞c。故選B。

題型二、函數與冪函數除法的構造

本題型主要涉及兩種結構:對于x·f'(x)-f(x)＞0(或＜0),構造g(x)=;對于x·f'(x)-kf(x)＞0(或＜0),構造g(x)=。

例3設函數f(x)是定義在(0,+∞)上的可導函數,且xf'(x)＞2f(x),則不等式4f(x-2 022)-(x-2 022)2f(2)＜0 的解集為( )。

A.(2 022,2 023) B.(2 022,2 024)

C.(2 022,+∞) D.(0,2 023)

題型三、函數與指數函數乘法的構造

本題型主要涉及兩種結構:對于f'(x)+f(x)＞0(或＜0),構造g(x)=ex·f(x);對于f'(x)+kf(x)＞0(或＜0),構造g(x)=ekx·f(x)。

例5已知定義在R上的函數f(x)滿足2f(x)+f'(x)＜0,則下列不等式一定成立的是( )。

A.e2f(2)＜f(3) B.e2f(2)＞f(3)

C.f(2)＜e2f(3) D.f(2)＞e2f(3)

解析：令g(x)=e2xf(x),則g'(x)=2e2x·f(x)+e2xf'(x)=e2x[2f(x)+f'(x)]。因為e2x＞0,2f(x)+f'(x)＜0,所以g'(x)＜0,所以g(x)為減函數,所以g(2)＞g(3),即e4·f(2)＞e6f(3),所以f(2)＞e2f(3)。故選D。

例6已知函數f(x)是定義在R上的可導函數,對于任意的實數x,都有f(x)=,當x＞0時,f(x)+f'(x)＞0,若ea-1f(2a+1)≥f(a+2),則實數a的取值范圍為( )。

A.[-1,1]

B.[-2,2]

C.(-∞,-1]∪[1,+∞)

D.(-∞,-2]∪[2,+∞)

解析：因為f(x)=,所以=exf(x)=e-xf(-x)。令g(x)=exf(x),則g(-x)=g(x),所以g(x)為偶函數。當x＞0 時,f(x)+f'(x)＞0,所以g'(x)=ex[f(x)+f'(x)]＞0,所以函數g(x)在(0,+∞)上單調遞增,則g(x)在(-∞,0)上單調遞減。由ea-1f(2a+1)≥f(a+2),可得e2a+1f(2a+1)≥ea+2f(a+2),所以g(2a+1)≥g(a+2),即|2a+1|≥|a+2|,解得a≤-1或a≥1。故選C。

題型四、函數與指數函數除法的構造

本題型主要涉及兩種結構:對于f'(x)-f(x)＞0(或＜0),構造g(x)=;對于f'(x)-kf(x)＞0(或＜0),構造g(x)=。

例7已知函數f(x)在x＞0上可導且滿足f'(x)-f(x)＞0,則下列不等式一定成立的是( )。

A.f(2)＞ef(3) B.f(3)＜ef(2)

C.f(3)＞ef(2) D.f(2)＜ef(3)

題型五、函數與三角函數乘法的構造

本題型主要涉及兩種結構:對于sinx·f'(x)+cosx·f(x)＞0(或＜0),構造g(x)=f(x)·sinx;對于cosx·f'(x)-sinx·f(x)＞0(或＜0),構造g(x)=f(x)·cosx。(注意有正切時要將切化為弦)

題型六、函數與三角函數除法的構造

題型七、與常數有關的構造

本題型主要涉及兩種結構:對于f'(x)+f(x)＞k(或＜k),構造g(x)=ex[f(x)-k];對于f'(x)-f(x)＞k(或＜k),構造g(x)=。

例13已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x)+f'(x)＞1,且f(1)=4,則關于x的不等式exf(x)＞ex+3e的解集為( )。

A.(-∞,0) B.(-∞,1)

C.(0,+∞) D.(1,+∞)

解析：設g(x)=exf(x)-ex(x∈R),則g'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)-1]。因為f(x)+f'(x)＞1,所以f(x)+f'(x)-1＞0。又ex＞0,所以g'(x)＞0,所以g(x)在定義域上單調遞增。對于不等式exf(x)＞ex+3e 轉化為exf(x)-ex＞3e,又f(0)=3,所以g(1)=ef(1)-e=3e,所以g(x)＞g(1),而g(x)在定義域上單調遞增,所以x＞1。故選D。

例14設函數f(x)在R上的導函數為f'(x),若f'(x)＞f(x)+1,f(x)+f(a-x)=2,f(a)=5,則不等式f(x)+2ex+1＜0的解集為( )。

A.(0,2) B.(3,5)

C.(-∞,0) D.(0,+∞)

題型八、復雜型的構造問題

本題型主要涉及兩種結構:y=kx+b與y=f(x)的加、減、乘、除等各種形式;對于f'(x)lnx+＞0(或＜0),構造g(x)=lnx·f(x)。

例15若定義在R上的函數f(x)滿足f(x)+x+f'(x)+1＞2e-x,f(0)=5,則不等式f(x)＞(2x+5)e-x-x的解集為( )。

A.(-∞,0)∪(0,+∞)

B.(-∞,0)∪(5,+∞)

C.(0,+∞)

D.(5,+∞)

解析：令g(x)=ex[f(x)+x]-2x,則g'(x)=ex[f(x)+x]+ex[f'(x)+1]-2=ex[f(x)+x+f'(x)+1]-2＞ex·2e-x-2=0,所以g(x)在R上單調遞增。又因為g(0)=e0[f(0)+0]-2×0=5,由f(x)＞(2x+5)e-x-x,得f(x)+x＞(2x+5)e-x,兩邊同時乘以ex,得ex[f(x)+x]＞2x+5,得ex[f(x)+x]-2x＞5,即g(x)＞g(0),解得x＞0,即所求不等式的解集為(0,+∞)。故選C。

例16已知奇函數f(x)在R上是單調函數,函數f'(x)是其導函數,當x＞0時,f'(x)lnx＜,則使f(x)＞0 成立的x的取值范圍是( )。

A.(-∞,0) B.(-1,0)

C.(0,1) D.(0,+∞)

解析：當x＞0 時,f'(x)lnx＜·f(x),即f'(x)lnx+＜0。令g(x)=f(x)·lnx,則g'(x)=f'(x)·lnx+＜0,所以g(x)在x∈(0,+∞)上單調遞減,且g(1)=f(1)·ln 1=0,所以當0＜x＜1 時,g(x)=f(x)·lnx＞0,由于此時lnx＜0,則f(x)＜0 不合題意;當x＞1 時,g(x)=f(x)·lnx＜0,由于此時lnx＞0,則f(x)＜0不合題意。由上可知,當x＞0時,f(x)＜0,而f(x)是R上的奇函數,則當x＜0時,f(x)＞0恒成立,所以使f(x)＞0成立的x的取值范圍為(-∞,0)。故選A。

對于與上述有關的導數綜合問題,一定要先對已知式子進行分析,通過對導數“源頭”的尋找,合理地構造出合適的函數,然后利用函數的奇偶性和單調性等進行解題。同學們會發現,通過構造函數進行解題可達到事半功倍的效果,所以對各種同構題型的總結與梳理是非常有必要的。