全簧片式空間大行程并聯柔性微定位平臺及其軌跡控制

陳云壯， 賴磊捷*， 李朋志， 朱利民

（1.上海工程技術大學 機械與汽車工程學院，上海 松江 201620；2.格魯斯特大學 計算與工程學院，英國 切爾滕納姆 GL50 2RH；3.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033；4.上海交通大學 機械與動力工程學院 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240）

1 引 言

微/納米定位技術在納米壓印光刻、激光通信、生物細胞注射和快速反射鏡等精密工程領域發揮著關鍵作用［1-3］。隨著操作對象尺寸微型化、模型復雜化，使得對大行程多自由度微定位技術的需求越來越大。目前，微定位技術中經常使用的定位平臺分為串聯機構和并聯機構。串聯機構通過單自由度平臺相互串聯，使得誤差被累積和放大，降低了運動精度，并且較大的慣性力不適用于高速定位場合［4］。并聯機構通過并行的支鏈連接動/靜平臺，共同運動產生動平臺的輸出位姿，因其具有高負載、大剛度、低慣性和無累積誤差等優點廣泛用于大行程多自由度微定位平臺的設計中［5］。此外，柔性機構通過柔性單元的彈性變形來傳遞力和運動，具有無摩擦、無裝配誤差和易加工等優點被廣泛作為精密微位移傳動機構［6］。當前，在基于壓電陶瓷驅動器和并聯柔性機構的多自由度納米定位平臺方面已經進行了大量的研究［7-8］。然而，由于壓電陶瓷驅動器行程較小使得該類平臺只能應用于小行程的定位場合。近期，音圈電機因其行程范圍大、線性特性好、響應速度快等優點迅速成為大行程微定位平臺的熱門選擇［9］。因此，基于音圈電機等電磁驅動的多自由度柔性微定位平臺結構設計與控制研究受到越來越多的關注。

常見的多自由度微定位平臺有平面三自由度（3-DOF）XYθZ平臺［10］、空間平動XYZ平臺［11-12］、空間3-DOFθXθYZ平臺［13］和空間6-DOF平臺［14］。其中以平面XYθZ平臺最為廣泛。例如：Yang［15］利用分布柔性的葉片柔性單元組成PPR運動鏈，設計了新型平面三自由度并聯柔性機構，實現了±3 mm×±3 mm×±3°大范圍平面運動。Awtar［12］則利用12組相同的平行四邊形柔性模塊進行正交組合實現10 mm×10 mm×10 mm大運動范圍內的XYZ運動。但是針對空間偏轉的3-DOF和6-DOF大行程微定位平臺還鮮有報道。為滿足激光通信和微操作機器人等領域的應用需求，空間3/6-DOF大行程納米定位平臺的研究也日益增多。近期，Kang［16］等利用音圈電機直接驅動由“蟹腳”柔性鉸鏈組成的柔性機構來實現六自由度納米定位，但由于采用了直驅方式，導致末端平臺行程較小。Yang［17］等利用兩組板簧彎曲葉片組成六個相似的音圈電機致動臂，設計了大范圍高精度快速運行的六軸納米定位器，但該平臺未采用完全對稱結構，仍具有較大的耦合。

為解決上述問題，本文設計了一種全簧片式的大行程并聯柔性微定位平臺。以實現3-DOFθXθYZ運動為例，該平臺由四組相同的垂直致動臂并聯組成，致動臂通過大行程簧片型柔性球鉸與動平臺相連使其能夠實現三自由度空間解耦運動。首先，根據幾何原理推導了機構運動學方程并作為控制回路的解耦矩陣。接著，分析了機構輸入剛度并通過柔度矩陣法建立柔性球鉸的柔度模型；然后，進行了系統動力學模型辨識，并基于辨識結果設計了含相位超前的PI反饋控制器同時結合滑模前饋控制消除相位誤差進一步提高運動精度；最后，搭建實驗平臺，利用所設計的控制器通過單軸跟蹤三角波軌跡和三軸聯動跟蹤圓柱形螺旋線軌跡來驗證該機構和所設計控制器的軌跡跟蹤性能。

2 柔性機構設計

圖1為音圈電機驅動的多自由度大行程柔性并聯機構。該機構由四組并聯的全簧片致動臂、動平臺（末端執行器）和靜平臺（基座）組成。致動臂包括平行四邊形導向機構和柔性球鉸，同時音圈電機被封裝在平行四邊形導向機構中以形成一個緊湊型設計，通過平行四邊形機構中的兩組大行程簧片彎曲變形傳遞力和運動。

圖1 多自由度大行程柔性并聯機構Fig.1 Multi-DOF long-stroke flexure parallel mechanism

柔性球鉸的結構和變形原理如圖2所示，同樣利用分布柔度簧片的彎曲變形代替傳統切口型鉸鏈實現繞著X，Y和Z三軸大范圍轉動，克服了傳統切口柔性鉸鏈運動范圍小，應力集中問題，同時提高了機構的剛度和穩定性。

圖2 簧片型柔性球鉸變形原理圖Fig.2 Structural diagram of leaf-spring flexure spherical hinge

可見，本文所設計的柔性機構均采用分布柔度簧片，依靠其較大的變形，通過合理的排布，最終實現大行程多自由度的納米定位。機構采用音圈電機直接驅動球鉸而沒有引入常見的位移放大機構，具有結構緊湊簡單、運動鏈長度短，引入誤差的參數少和精度高等優點。封裝音圈電機的四組致動臂完全對稱分布在動平臺四周，并以差動形式工作，使得動平臺可以實現Z方向的精密垂直運動和繞著X，Y軸精密偏轉解耦運動。此外，如圖1中的透明部分所示，在平臺內部加入相同四組水平對稱排布的致動臂，還可以實現動平臺六自由度精密定位運動。

3 理論建模

3.1 運動學分析

圖3為大行程柔性并聯微定位平臺的運動學模型。其中，OXY坐標系為全局坐標系，位于機構初始位姿動平臺的幾何中心。音圈電機及導向機構被簡化為移動副，di（i=1~4）分別表示四個音圈電機的輸出位移。不考慮音圈電機在往復運動過程中柔性球鉸彈性變形引起X，Y方向的微小位移，即在動平臺上僅有Z方向上的輸入位移量。根據幾何關系可以得到：

圖3 微定位平臺運動學模型Fig.3 Kinematic model of micro-positioning stage

可見，3-DOF柔性并聯微定位平臺系統為4輸入3輸出系統，存在輸入冗余，因此需要加入約束條件才能實現電機力的均勻分配，防止局部過熱等問題。本文采用均勻性分配原則［18］，即豎直方向對角線上的兩組電機產生的合推力相等，實現電流的平均分配，即：

其中，kin為機構單個致動臂的輸入剛度。由于機構是完全對稱的，所以各致動臂的輸入剛度都相等。根據輸入力的約束進而得到音圈電機位移量的約束條件為：

因此，該機構驅動關節空間與末端位姿的映射關系為：

3.2 輸入剛度建模

音圈電機在致動臂輸入端處施加推力FH，由于簧片尺寸相同，所以推力均勻分配到平行四邊形機構中的兩個簧片上。單簧片受力分析如圖4所示。靜力平衡時，由于彎矩M的反作用導致末端截面轉角θ=0，因此可以得到：

圖4 單柔性簧片受力分析Fig.4 Force analysis of clarinet

其中，截面慣性系數I=wt3/12。因此，音圈電機推力FH和彎矩M產生的撓度分別為：

結合式（5）和式（6）可以得到單個簧片在末端處最大位移量為：

由胡克定律可知，機構的剛度K為：

平行四邊形導向機構中柔性簧片的尺寸為l=70 mm，w=18 mm和t=1 mm，利用公式（8）得到機構單個致動臂的輸入剛度為7.5 N/mm。在音圈電機24 N的額定推力作用下，本文所設計的微定位平臺理論上能夠實現3.20 mm×21.33 mrad×21.33 mrad的運動范圍，同時還可以計算得到動平臺繞X/Y軸的轉動剛度為676.06 N·m/rad。

3.3 柔性球鉸柔度建模

動平臺在音圈電機差分驅動下產生繞X/Y軸偏轉，并利用柔性球鉸來解耦各自由度方向上的運動。因此，柔性球鉸的轉動剛度需要進行合理設計，不能大于動平臺在該方向上的轉動剛度［19］，否則會造成音圈電機驅動困難，行程變小且解耦效果不佳，同時也不能太小，否則會導致整個機構固有頻率下降，承載能力降低［20］。本節基于柔度矩陣方法對柔性球鉸進行了建模與設計。

簧片型柔性球鉸結構示意圖如圖5所示，該球鉸由7個柔性簧片組成。假設每個柔性簧片都有6個自由度，其變形量δ與外載荷F的關系為δ=CF。C為單個簧片的柔度矩陣［21］。為了得到球鉸的轉動剛度，將每個簧片的柔度統一等效到坐標系OA，坐標轉換過程如下：

圖5 簧片型柔性球鉸結構示意圖Fig.5 Structural diagram of leaf-spring flexure spherical hinge

其中：RAi和riA分別為簧片局部坐標系相對OA坐標系的旋轉矩陣和位置矩陣，S為位置矩陣的反對稱算子。由球鉸彈簧模型圖5（b）可見，簧片2和3并聯，4和5并聯，整體（2~5）與6并聯，最后分別與1，7串聯。根據串并聯結構柔性模塊的建模方法，整個球鉸的柔度為：

通過反復調整簧片結構尺寸，并結合轉動剛度的解析和仿真結果，最終確定柔性球鉸尺寸參數如表1所示，計算相應的柔度列舉在表2中。可見，球鉸的轉動剛度為0.94 N·m/rad，小于動平臺的轉動剛度，能夠在滿足音圈電機驅動的同時實現動平臺運動解耦的設計要求。

表1 球鉸尺寸參數Tab.1 Dimension parameters of spherical hinge

表2 簧片型球鉸的柔度Tab.2 Compliance of leaf-spring spherical hinge

4 有限元驗證

本節通過Ansys Workbench進行靜力學分析來驗證輸入剛度計算的準確性。材料設置為鋁合金，平行四邊形導向機構簧片尺寸為l=70 mm，w=18 mm，t=1 mm，末端平臺臺面尺寸為a×b=300×300 （mm2）。如圖6所示，通過對平行四邊形導向機構沿Z軸正向施加24 N的載荷，同時保持其他三個致動臂不受限制，得到沿Z方向變形量為2.90 mm。因此，可得單個致動臂的輸入剛度為8.27 N/mm。解析模型與有限元模型的計算結果偏差為9.31%，表明解析模型能夠準確描述機構的靜力學特性。

圖6 輸入剛度分析Fig.6 Input stiffness analysis

5 控制器設計

本文所設計的3-DOF并聯柔性微定位平臺是一個四輸入三輸出的輸入冗余系統，并且還存在交叉軸耦合等現象致使平臺的控制過程較為復雜。因此，本文通過在反饋回路中使用逆向運動學矩陣解耦該冗余系統，從而將多軸冗余控制轉化為三個單輸入單輸出控制系統。本節還設計了一種相位超前比例積分（Phase Advanced Proportional Integral，PAPI）反饋控制器+滑動模態控制（Sliding Mode Control， SMC）的復合控制方法，其控制框圖如圖7所示。

圖7 多自由度微定位平臺復合控制框圖Fig.7 Composite control block diagram of multi-DOF micropositioning stage

5.1 系統辨識

首先，利用開環頻域響應辨識系統在三自由度方向上的動力學模型。選擇電壓幅值0.005 V，0.005 V和0.5 V的Chirp信號分別作為辨識θX，θY和Z軸的輸入信號，頻率從0.1 Hz線性增加到300 Hz。借助MATLAB系統辨識工具箱ident對動平臺的輸入輸出數據進行處理。以θY為例，辨識得到四階傳遞函數如式（12）所示：

同時，還將動平臺的Z向位移限制在0 mm，±0.5 mm，±2 mm五個不同的位置進行了系統辨識。圖8顯示了三個軸在不同工作點處動力學模型的主諧振頻率基本一致。此外，θY軸和Z軸辨識傳遞函數模型G（s）與實際測量頻率響應吻合度很高，僅θX軸在180 rad/s的高階諧振附近存在差別，由于高階諧振相比于主諧振對系統性能影響相對較小，因此在控制器設計中可以被合理的忽略。

圖8 測量獲得的頻率響應與辨識結果Fig.8 Measured frequency response and identification results

5.2 含相位超前的PI控制器

圖9中藍色曲線為θY軸運動方向未校正系統的開環傳遞函數伯德圖，由于系統的低阻尼諧振特性，該系統在幅值穿越頻率附近的相位急劇下降（彩圖見期刊電子版）。單純使用傳統PID控制器難以抵消相位快速下降對系統穩定性帶來的影響［22］。因此，為了使動平臺具有更好的軌跡跟蹤性能，設計相位超前校正控制器來提高系統的相位裕量，使得動平臺滿足穩定性的要求。這里僅以θY軸為例，θX和Z軸以相同的方法得到。

圖9 開環增益調整前后未校正系統的幅值和相位裕量Fig.9 Amplitude and phase margin of uncorrected system before and after open-loop gain adjustment

首先，根據校正前系統開環增益和校正后系統的靜態速度偏差要求［22］，暫定控制器增益=2。增益調整前后未校正系統的伯德圖如圖9所示，可見增益調整后系統當前的相位裕量為5.52°。設定期望的相位裕量γθY=60°，因此超前校正控制器的相位超前角?θY為：

因此，可得增益為-10lg (1)對應的校正后系統幅值穿越頻率為629.4 rad/s。求得轉角頻率對應的時間常數為：

因此，得到θY軸方向的相位超前控制器為：

為了進一步減小系統的穩態誤差，在相位超前環節的基礎加上增加了PI控制器。在積分環節中選擇時間常數T=0.02，同時調整PI控制器相應的增益cθY為0.63，以減少積分環節對系統相位裕量的影響［23］。最終得到含相位超前環節的PI反饋控制器如式（17）所示：

圖10顯示了加入含相位超前環節PI控制器后系統的開環傳遞函數伯德圖。可見，校正后開環系統的幅值和相位裕量分別大于6 dB和60°，因此能夠滿足該多自由度并聯微定位平臺的穩定性要求。

圖10 加入含相位超前PI控制器后系統開環伯德圖Fig.10 Open loop bode diagram of the system after adding PI controller with phase advanced

圖11 SMC控制框圖Fig.11 SMC control block diagram

5.3 滑模控制器

滑模控制可以根據動態條件改變控制對象的控制狀態，同時具有快速響應、對控制對象參數變化及干擾條件不靈敏等優點，因此，在PAPI控制的基礎上引入了SMC前饋控制，可以有效提高平臺的響應速度和精度。SMC控制框圖如11所示，其應用的關鍵是選擇滑模面（S）并建立穩定的設計控制律。本節設計的是一個二階滑模面，并以冪級數的形式設計了控制律如式（18）：

其中：K1和K2為滑動面參數，決定于系統的剛度和阻尼。K1的增加將有效提高系統的控制剛度和響應速度，調節K2可以改變系統的阻尼。K3和K4為控制律參數，用于微調系統。當達到可接受的動態性能時，調整K3和K4可以減少系統的跟蹤誤差。本文滑模控制器中的參數K1，K2，K3和K4分別設置為15，1，0.15和0.15。

6 系統搭建與軌跡跟蹤實驗

6.1 微定位平臺系統搭建

首先，搭建了如圖12所示的實驗系統。該系統由柔性并聯微定位平臺、半實物實時仿真系統、以及位移測量與信號采集系統組成。微定位平臺選用四個音圈電機（VCAR0070-0419-00A）作為機構驅動器產生輸入位移。Simulink中的半實物實時仿真系統控制2塊數據采集卡（PCI-6221）的四個模擬輸出端口輸出電壓（-10~10 V），經過四個線性放大器（TA115）后線性轉換為音圈電機的驅動電流（-2~+2 A），輸入到音圈電機。位移測量系統采用激光位移傳感器（HL-G103-S-J），分辨率為0.5 μm，測量范圍為±4 mm對應（0~10 V），由數據采集卡的模擬輸入進行采集實現閉環反饋。

圖12 微定位平臺實驗系統Fig.12 Experimental system of micro-positioning stage

6.2 開環行程與耦合測試

給定每個音圈電機電流讓其產生24 N額定的持續推力，在差分驅動方式下進行開環實驗測試得到微定位平臺的最大行程為3.23 mm×21.50 mrad×20.30 mrad，如圖13所示。實驗與理論計算結果誤差為0.9%×0.79%×4.8%，表明了建模的準確性。此外，還通過開環測試實驗得到了平臺的軸間耦合誤差，如圖14所示，以θY為例，θY軸在10 mrad范圍內運動時，會在Z軸和θX軸上分別產生0.106 mm和0.853 mrad的最大耦合誤差，可見開環控制下，產生的θX軸耦合誤差約占θY軸運動行程范圍的8.53%。

圖13 最大行程Fig.13 Maximum stroke

圖14 軸間耦合誤差Fig.14 Cross-axis coupling errors

6.3 軌跡跟蹤實驗

本節通過單軸驅動跟蹤三角波軌跡、三軸聯合驅動跟蹤圓柱形螺旋線軌跡來研究該平臺的軌跡跟蹤性能。首先，在θX，θY和Z三個自由度方向上分別使用PID，PAPI和PAPI+SMC三種控制方法對三角波信號進行軌跡跟蹤，對比結果如圖15所示。軌跡跟蹤的平均絕對誤差（Mean Absolute Error，MAE）和均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）如表3所示。基于MAE結果，與傳統PID相比，所提出的PAPI+SMC控制使得θX，θY和Z軸跟蹤性能分別提高了96.36%，98.25%和96.5%。

表3 微定位平臺單軸軌跡跟蹤性能（三角波軌跡）Tab.3 Single-axis trajectory tracking performance of micro-positioning stage（Triangular wave track）

圖15 三角波軌跡跟蹤結果Fig.15 Triangular wave track tracking results

最后，通過三軸聯合驅動研究微定位平臺對空間圓柱螺旋線軌跡的跟蹤性能。在θX，θY和Z軸上，圓柱螺旋線軌跡范圍分別是±5 mrad，±5 mrad，±1 mm，跟蹤響應結果和相應的跟蹤誤差如圖16所示。

圖16 空間圓柱螺旋線軌跡跟蹤結果Fig.16 Space cylindrical spiral track tracking results

同時還分別計算了軌跡跟蹤MAE和RMSE，結果如表4所示。可以看出，與PAPI相比，PAPI+SMC顯示出更好的跟蹤效果，并且基于MAE結果，PAPI+SMC復合控制使得θX，θY和Z軸跟蹤性能分別提高了78.6%，79.0%和0.2%。其中，對Z軸跟蹤性能沒有提高是因為Z軸跟蹤軌跡是直線，達到穩態后幾乎沒有穩態誤差。通過軌跡跟蹤實驗可以得出結論，在跟蹤三角波軌跡時，與經典的PID控制相比，PAPI和PAPI+SMC顯著提高了跟蹤性能，并且加入SMC后能夠有效消除PAPI控制產生的相位誤差，進一步提高了跟蹤精度。在跟蹤圓柱螺旋線軌跡時，所提出的機構能夠以高精度和較小誤差跟蹤給定軌跡。

表4 微定位平臺三軸空間軌跡跟蹤性能（圓柱螺旋線軌跡）Tab.4 Three-axis spatial trajectory tracking performance of micro-positioning stage（Cylindrical spiral track)

7 結 論

本文根據精密工程領域中微定位平臺大行程、多自由度的需求，提出了一種音圈電機驅動的全簧片式大行程多自由度空間柔性并聯微定位平臺。首先，根據幾何原理推導了動平臺的運動學方程，并作為控制回路的解耦矩陣。接著，建立了機構輸入剛度模型并仿真驗證了模型的準確性。其次，基于柔度矩陣法對柔性球鉸進行了柔度建模和設計，從而確定了微定位平臺結構參數。然后，對三自由度方向進行了系統動力學模型辨識，基于辨識模型設計了PAPI反饋控制器并結合SMC前饋構成復合控制。最后，搭建了音圈電機驅動的微定位平臺系統驗證其軌跡跟蹤性能。實驗結果證明：與PID控制相比，PAPI+SMC復合控制使得跟蹤性能提高了95%以上，同時有效消除了單純PAPI控制產生的相位滯后。并且，所提出的多自由度柔性并聯微定位平臺具有行程大、穩定性好和精度高等特點，能夠以高精度和小誤差跟蹤空間給定軌跡，可以用于許多需要空間大行程高精度的應用場合。