在遷移中探索　在變化中成長

經過了本章的學習，我知道了全等三角形是圖形變換的基礎。利用全等三角形，能夠解決大量圖形中線段、角的相關問題。學好全等三角形對于發展我們的邏輯推理能力具有重要的意義。下面，我們來看這道題。

例題 如圖1，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，P是BC上一點，PA=PD，∠APD=90°，AB=3，CD=7。求四邊形ABCD的面積。

題目已經給出了∠B=∠C、PA=PD兩個條件，所以我們只需要證另一個邊或角相等即可。而本題明顯無法證明邊的相等關系，所以我們將目標定為證明角相等。可是該如何證明呢？

我們可以從條件出發，由∠B=90°結合“直角三角形兩銳角互余”得到∠BAP+∠APB=90°；由∠APD=90°及平角的定義得到∠APB+∠DPC=90°；再根據“同角的余角相等”，易證∠BAP=∠CPD。從而可證△APB≌△PDC，所以AB=PC，BP=CD，再利用梯形面積公式求得ABCD的面積為50。

這類全等問題中的圖形猶如字母K，我們不妨稱之為“K”字型全等。這類問題雖然由多條垂線構成，看似煩瑣，但只要挖掘出垂線所帶來的條件，尋找“K”字型，即可成功解題。根據“K”字型全等，我們再一起嘗試解答變式1吧。

變式1 如圖2，在△ABC和△DBE中，AB=BC，DB=BE，∠ABC=∠DBE=90°，連接AD、CE，過點B的直線分別交AD、CE于點N、M，MN⊥AD。求證：M是CE的中點。

我第一眼見到這個圖形，沒有任何頭緒，但是仔細一看，卻能發現一絲“K”字型的影子：三角形頂點共直線，有垂直，有邊相等。于是我毫不猶豫，選擇過點C、E分別向直線MN作垂線，垂足為P、Q（如圖3）。

此時，熟悉的“K”字型就被我構造出來了。根據例題所求結論，易得△ANB≌△BPC、△DNB≌△BQE。但是，如何由兩個全等關系得到“M是CE中點”這一結論呢？靜心思考，我又發現了一絲“端倪”：要證中點，只需證兩條線段相等，即證線段CM、ME分別所在的兩個三角形（△CPM與△EQM）全等，問題迎刃而解！變式2就留給同學們自己嘗試一下啦！

變式2 在△ABC和△DBE中，AB=BC，DB=BE，∠ABC+∠DBE=180°，連接AD、CE，過點B的直線分別交AD、CE于點N、M，∠ANM=∠ABC。試問：M還是CE的中點嗎？請自行畫圖并說明你得到的結論的正確性。

全等三角形的應用不僅僅停留在幾何問題之中。解決復雜的全等三角形問題，只要尋找解決基本問題的方法即可。我想，這也是數學變化之美的一種體現吧！

教師點評：

全等三角形的學習，需要同學們在基本圖形的變化中去探索、發現。圖形變化之繁，思想方法之多，都是對同學們的考驗。我們要學習成長同學善于思考、遷移、歸納總結的好習慣，理解數學的本質，舉一反三，以不變應萬變，積極思考，主動探究，就一定能學好數學，用好數學，將來為祖國做出更大的貢獻。

（指導教師：張衛明）