探索三角形全等的條件

趙維坤

編者按：數(shù)學(xué)世界充滿著數(shù)字和符號(hào)，是一門(mén)系統(tǒng)性的演繹科學(xué)，但在數(shù)學(xué)知識(shí)的創(chuàng)造過(guò)程中，充滿著假設(shè)、猜想、操作、嘗試、驗(yàn)證等，數(shù)學(xué)又是一門(mén)實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)。從本期開(kāi)始，我們開(kāi)設(shè)《動(dòng)手做數(shù)學(xué)》專(zhuān)欄，用“做”的方式學(xué)數(shù)學(xué)，在“做”中思考，在“做”中發(fā)現(xiàn)，在“做”中創(chuàng)造！

我們知道，如果兩個(gè)三角形全等，那么它們的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。反過(guò)來(lái)，當(dāng)兩個(gè)三角形有多少組對(duì)邊或?qū)欠謩e相等時(shí)，這兩個(gè)三角形就全等呢？

我們先思考兩個(gè)三角形中只有一組元素相等的情況。例如，我們可以分別畫(huà)出一條邊AB=3cm的△ABC和一條邊DE=3cm的△DEF，或者∠ABC=30°的△ABC和∠DEF=30°的△DEF，我們發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)三角形不全等。也就是說(shuō)，當(dāng)兩個(gè)三角形只有一組對(duì)邊或?qū)窍嗟葧r(shí)，這兩個(gè)三角形不全等。

我們?cè)偎伎純蓚€(gè)三角形中只有兩組元素相等的情況。例如，我們可以畫(huà)出邊AB=3cm、BC=4cm的△ABC和邊DE=3cm、EF=4cm的△DEF，或者畫(huà)出∠ABC=30°、∠BCA=45°的△ABC和∠DEF=30°、∠EFD=45°的△DEF，或者畫(huà)出邊AB=3cm、∠ABC=30°的△ABC和邊DE=3cm、∠DEF=30°的△DEF，這兩個(gè)三角形也不全等。因此，當(dāng)兩個(gè)三角形有兩組對(duì)邊或?qū)窍嗟葧r(shí)，這兩個(gè)三角形也不全等。

通過(guò)畫(huà)圖我們發(fā)現(xiàn)，三組以下元素分別相等的兩個(gè)三角形不全等。

那么，在兩個(gè)三角形中，如果有三組元素分別相等，它們就一定全等嗎？

觀察下圖中的三角形，請(qǐng)你找出其中的全等三角形，并在透明紙上畫(huà)出這些三角形，疊合驗(yàn)證。

這里給出的12個(gè)三角形，可以分成這樣的四類(lèi)：三邊分別相等、三角分別相等、兩邊和一角分別相等、一邊和兩角分別相等。

同學(xué)們可以兩個(gè)人一組，根據(jù)下面6個(gè)條件，在透明紙片上分別畫(huà)出△ABC。

條件一：AB=2cm，BC=3cm，CA=4cm；

條件二：∠ABC=30°，∠ACB=100°，∠BAC=50°；

條件三：AB=2cm，∠BAC=45°，AC=3cm；

條件四：CB=2cm，∠BAC=30°，AC=3cm；

條件五：∠ABC=30°，AB=3cm，∠BAC=45°；

條件六：∠ACB=100°，AB=3cm，∠BAC=45°。

通過(guò)操作，我們發(fā)現(xiàn)，三邊分別相等的兩個(gè)三角形是全等的，只有三角分別相等的兩個(gè)三角形是不全等的。事實(shí)上，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，“三角分別相等”實(shí)質(zhì)上就是“兩角分別相等”，這樣不能判定兩個(gè)三角形全等。

“兩邊和一角分別相等的兩個(gè)三角形”有兩種情形：兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形是全等的，只有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形不全等。

“一邊和兩角分別相等的兩個(gè)三角形”中，兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形是全等的，兩角和其中的一組等角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形也是全等三角形。還有其他情形嗎？同學(xué)們可自行畫(huà)圖解決。

在兩個(gè)三角形中，如果有4對(duì)（或5對(duì)）元素分別相等，那么這兩個(gè)三角形一定全等嗎？這就留給同學(xué)們自己動(dòng)手操作證明了。

（作者單位：江蘇省鹽城市毓龍路實(shí)驗(yàn)學(xué)校）