探析排列組合常見的十六種解題方法

■福建省泉州市第七中學 彭耿鈴

高考排列組合試題能有效地考查同學們的閱讀判斷能力、轉化與化歸處理能力及應用意識。這類試題新穎別致,聯系社會實際,貼近生活,反映了排列組合應用領域的廣闊,體現了數學的應用價值。本文特精選一些排列組合例題予以分類探析,旨在探究題型及解題方法,希望同學們能決勝于高考。

求解排列、組合問題的常見方法有以下幾種 。

(1)限制條件排除法:先求出不考慮限制條件的個數,然后排除不符合條件的個數,相當于減法原理;

(2)相鄰問題捆綁法:在特定條件下,將幾個相關元素當作一個元素來考慮,待整個問題排好之后再考慮它們“內部”的排列數,主要用于解決相鄰問題;

(3)插空法:先把不受限制的元素排列好,然后把特定元素插在它們之間或兩端的空當中;

(4)特殊元素、位置優先安排法:對問題中的特殊元素或位置優先考慮排列,然后排列其他一般元素或位置;

(5)多元問題分類法:將符合條件的排列分為幾類,根據分類計數原理求出排列總數;

(6)元素相同隔板法:若把n個不加區分的相同元素分成m組,可通過n個相同元素排成一排,在元素之間插入m-1 塊隔板來完成分組,此法適用于同元素分組問題;

(7)“至多”、“至少”間接法:“至多”、“至少”的排列組合問題,需分類討論且一般分類的情況較多,所以通常用間接法,即排除法,它適用于反面明確且易于計算的問題;

(8)選排問題先取再排法:選排問題很容易出現重復或遺漏的錯誤,因此常先取出元素(組合)再排列,即先取再排;

(9)定序問題消序法:甲、乙、丙順序一定,采用消序法,即除法,用總排列數除以順序一定的排列數;

(10)有序分配逐分法:有序分配是指把元素按要求分成若干組,常采用逐分的方法求解。

一、定位問題優先法(特殊元素和特殊位置優先考慮)

例1由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數字的五位奇數?

解析：由于末位和首位有特殊要求,應該優先安排,以免不合要求的元素占了這兩個位置。

例26個人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有( )。

A.192種 B.216種

C.240種 D.288種

解析：若最左端排甲,其他位置共有=120(種)排法;若最左端排乙,最右端共有4種排法,其余4個位置有(種)排法。

所以共有120+4×24=216(種)排法,選B。

小結：位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其他元素。若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其他位置。若有多個約束條件,往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其他條件。

二、相鄰元素捆綁法

例37人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法?

解析：可先將甲乙兩個元素捆綁成整體并看成一個復合元素,同時丙丁也看成一個復合元素,再與其他元素進行排列,同時對相鄰元素內部進行自排。由分步計數原理可得,共有(種)不同的排法。

例4某人射擊了8 槍,命中4 槍,4槍命中且恰好有3 槍連在一起的情形共有____種。

解析：命中的3槍捆綁在一起,與命中的另一槍插入到未命中4槍形成的5個空位,共有(種)情況。

小結：要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決。即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其他元素一起進行排列,同時要注意合并元素內部也必須排列。

三、不相鄰問題插空法

例5某次聯歡會要安排3個歌舞類節目,2個小品類節目和1 個相聲類節目的演出順序,則同類節目不相鄰的排法種數是( )。

A.72 B.120 C.144 D.168

例66把椅子擺成一排,3人隨機就座,任何2人不相鄰的坐法種數為( )。

A.144 B.120 C.72 D.24

解析：先把3把椅子隔開擺好,它們之間和兩端有4個位置,再把3人帶椅子插放在四個位置,共有(種)方法,故選D。

例7(2022年新高考Ⅱ卷) 有甲乙丙丁戊5 名同學站成一排參加文藝匯演,若甲不站在兩端,丙和丁相鄰的不同排列方式有( )種。

A.12 B.24 C.36 D.48

解析：因為丙丁要在一起,先把丙丁捆綁,看作一個元素,連同乙,戊看成三個元素排列,有種排列方式。為使甲不在兩端,必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入,有2 種插空方式。注意到丙丁兩人的順序可交換,有2種排列方式,故安排這5名同學共有(種)不同的排列方式,選B。

小結：元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊,再把不相鄰元素插入中間和兩端。

四、定序問題除序(去重復)、空位、插入法

例87人排隊,其中甲乙丙3人順序一定,共有多少種不同的排法?

解析：法一(除序法):

對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列,然后用總排列數除以這幾個元素之間的全排列數,則共有不同排法種數是

法二(空位法):

法三(插入法):

小結：定序問題可以用除序法,還可轉化為空位法、插入法。

五、重排問題求冪法

例9把6名實習生分配到7個車間實習,共有多少種不同的分法?

解析：完成此事共分六步,把第一名實習生分配到車間有 7 種分法,把第二名實習生分配到車間也有7種分法,……,由分步計數原理知共有76種不同的分法。

小結：允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象,元素不受位置的約束,可以逐一安排各個元素的位置。一般地,n個不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數為mn。

六、環排問題線排法

例108人圍桌而坐,共有多少種坐法?

解析：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于,坐成圓形沒有首尾之分,所以固定1人并從此位置把圓形展成直線,其余7 人共有(8-1)!=7!=5 040(種)排法。

小結：一般地,n個不同元素作圓形排列,共有(n-1)! 種排法。如果從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列,共有

七、排列組合混合問題先選后排法

例11有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內,每盒至少裝一個球,共有多少種不同的裝法?

解析：第一步從5 個球中選出2 個組成復合元素,共有(種)方法;再把4 個元素(包含一個復合元素)裝入4個不同的盒內,有(種)方法。根據分步計數原理,裝球的方法共有(種)。

例12(2021年全國乙卷) 將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4 個項目進行培訓,每名志愿者只分配到1個項目,每個項目至少分配1 名志愿者,則不同的分配方案共有( )。

A.60種 B.120種

C.240種 D.480種

解析：根據題意,有一個項目中分配2名志愿者,其余各項目中分配1名志愿者,可以先從5名志愿者中任選2人組成一個小組,有種選法;然后連同其余3人,看成4 個元素,4個項目看成4個不同的位置,4 個不同的元素在4個不同的位置的排列方法數為根據乘法原理,完成這件事共有=240(種)不同的分配方案,選C。

例13(2020 年全國Ⅱ卷)4 名同學到3 個小區參加垃圾分類宣傳活動,每名同學只去1個小區,每個小區至少安排1 名同學,則不同的安排方法共有_____種。

解析：因為4 名同學到3 個小區參加垃圾分類宣傳活動,每名同學只去1個小區,每個小區至少安排1名同學,所以先取2 名同學看作一組,選法有種?，F在可看成是3組同學分配到3個小區,分法有種。根據分步乘法原理,可得不同的安排方法有=6×6=36(種)。

小結：解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導思想,此法與相鄰元素捆綁策略相似。

八、元素相同問題隔板法

例14有10個運動員名額,分給7個班,每班至少1人,有多少種分配方案?

解析：10 個名額沒有差別,把它們排成一排,相鄰名額之間形成9 個空隙。在9 個空隙中選6個位置插個隔板,可把名額分成7份,對應地分給7個班級,每一種插板方法對應一種分法,共有(種)分法。

小結：將n個相同的元素分成m份(n,m為正整數),每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板,插入n個元素排成一排的n-1個空隙中,所有分法數為

九、正難則反總體淘汰法

例15從1,3,5,7,9這5個數中,每次取出2 個不同的數分別記為a,b,共可得到lga-lgb的不同值的個數是( )。

A.9 B.10 C.18 D.20

例16某學校安排甲、乙、丙、丁4位同學參加數學、物理、化學競賽,要求每位同學僅報一科,每科至少有一位同學參加,且甲、乙不能參加同一學科,則不同的安排方法有_____種。

解析：把4 位同學分成3 組,有(種)方法,然后進行全排列,即有(種)方法,去掉甲、乙在一個組的情況,當甲、乙在一個組時,參加的方法有(種)。故符合題意的安排方法有36-6=30(種)。

小結：有些排列組合問題,正面直接考慮比較復雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中淘汰。

十、平均分組問題除法

例17將5名同學分到甲、乙、丙3個小組,若甲小組至少2人,乙、丙組至少1人,則不同的分配方案種數為( )。

A.80 B.120 C.140 D.50

解析：先將5名同學分成3組,有兩種分配方案,一是3組人數分別為2,2,1,分組方法有(種),然后將有2人的兩組分給甲、乙或甲、丙,分配方法是(種);二是3 組人數分別為3,1,1,分組方法有(種),然后將有1人的兩組分給乙、丙兩組,分配方法有=20(種)。共有60+20=80(種)方案,選A。

小結：平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后一定要除以為平均分的組數)避免重復計數。

十一、合理分類與分步法

例18甲、乙兩人進行乒乓球比賽,先贏3局者獲勝,決出勝負為止,則所有可能出現的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有( )。

A.10種 B.15種

C.20種 D.30種

解析：由題意知比賽局數至少為3局,至多為5局。當局數為3 局時,情況為甲或乙連贏3 局,共2 種。當局數為4 局時,若甲贏,則前3 局中甲贏2 局,最后一局甲贏,共有(種)情況。同理,若乙贏,也有3種情況,共有3+3=6(種)情況。當局數為5局時,前4局,甲、乙各贏2局,最后1局勝出的人贏,共有12(種)情況。

綜上可知,共有2+6+12=20(種)情況。選C。

十二、構造模型法

例19馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的9盞路燈,現要關掉其中的3盞,但不能關掉相鄰的2盞或3盞,也不能關掉兩端的2盞,求滿足條件的關燈方法有多少種。

解析：把此問題當作一個排隊模型,在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮的燈有=10(種)。

小結：一些不易理解的排列組合題如果能轉化為非常熟悉的模型,如占位填空模型,排隊模型,裝盒模型等,可使問題直觀解決。

十三、分解與合成法

例2030 030 能被多少個不同的偶數整除?

解析：先把30 030分解成質因數的乘積形式30 030=2×3×5 × 7 ×11×13,依題意可知偶因數必先取2,再從其余5個因數中任取若干個組成乘積,所有的偶因數有(個)。

例21正方體的8個頂點可連成多少對異面直線?

解析：我們先從8 個頂點中任取4 個頂點構成四面體,共有(個),每個四面體有3對異面直線,正方體中的8 個頂點可連成3×58=174(對)異面直線。

例22從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對,其中所成的角為60°的共有( )。

A.24對 B.30對

C.48對 D.60對

解析：(1)方法一:與正方體的一個面上的一條對角線成60°角的對角線有8條,故共有8對,正方體的12條面對角線共有8×12=96(對),且每對均重復計算一次,故共有=48(對)。選C。

小結：分解與合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題策略,把一個復雜問題分解成幾個小問題逐一解決,然后依據問題分解后的結構,用分類計數原理和分步計數原理將問題合成,從而得到問題的答案,每個比較復雜的問題都要用到這種解題策略。

十四、復雜問題化歸法

例2325人排成5×5 方陣,現從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種?

解析：將這個問題退化成9人排成3×3方陣,現從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少種選法。這樣每行必有1人,從其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都劃掉,如此繼續下去。從3×3方隊中選3人的方法有(種)。再從5×5方陣選出3×3方陣便可解決問題。從5×5方隊中選取3行3列,有(種)選法,所以從5×5方陣選不在同一行也不在同一列的3人,有(種)選法。

例24用a代表紅球,b代表藍球,c代表黑球,由加法原理及乘法原理,從1個紅球和1個藍球中取出若干個球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展開式1+a+b+ab表示出來,如:“1”表示一個球都不取、“a”表示取出一個紅球,而“ab”表示把紅球和藍球都取出來。以此類推,下列各式中,其展開式可用來表示從5 個無區別的紅球、5 個無區別的藍球、5個有區別的黑球中取出若干個球,且所有的藍球都取出或都不取出的所有取法的是( )。

A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)·(1+c)5

B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5

C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)·(1+c5)

D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)

解析：分三步:第一步,5 個無區別的紅球可能取出0個,1個,…,5個,則有(1+a+a2+a3+a4+a5)種不同的取法;

第二步,5 個無區別的藍球都取出或都不取出,則有(1+b5)種不同的取法;

第三步,5 個有區別的黑球看作5 個不同色,從5 個不同色的黑球任取0 個,1個,…,5個,有(1+c)5種不同的取法。

所以所求的取法種數為(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5,選A。

小結：處理復雜的排列組合問題時可以把一個問題退化成一個簡單的問題,通過先解決這個簡單問題,從而下一步解決原來的問題。

十五、數字排序問題查字典法

例25用數字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數,其中比40 000大的偶數共有( )。

A.144個 B.120個

C.96個 D.72個

解析：首位填4 時,比40 000 大的偶數有2×4×3×2=48(個);首位填5 時,比40 000大的偶數有3×4×3×2=72(個)。故共有48+72=120(個)數滿足題意,選B。

小結：數字排序問題可用查字典法,查字典的法應從高位向低位查,依次求出其符合要求的個數,根據分類計數原理求出其總數。

十六、住店法

例267 名學生爭奪五項冠軍,每項冠軍只能由一人獲得,獲得冠軍的可能的種數為_____。

解析：因同一學生可以同時奪得n項冠軍,故學生可重復排列,將7名學生看作7家“店”,五項冠軍看作5名“客”,每個“客”有7種住宿法,由乘法原理知有75種可能。

小結：解決“允許重復排列問題”要注意區分兩類元素:一類元素可以重復,另一類不能重復,把不能重復的元素看作“客”,能重復的元素看作“店”,再利用乘法原理直接求解。

排列組合歷來是高中學習中的難點,同學們只要對基本的解題策略熟練掌握,就可以選取不同的技巧來解決問題。對于一些比較復雜的問題,我們可以將幾種策略結合起來應用,把復雜的問題簡單化。請同學們對以上排列組合的幾種常見的解題策略加以復習鞏固,能舉一反三,觸類旁通,進而為后續的概率學習打下堅實的基礎。