高三復習課微單元設計與教學思考
——以“利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題”為例

靖 晶 陳艷寶

(大慶市第四中學,黑龍江 大慶 163711)

為了進一步提升學生的核心素養(yǎng),促進學生對數(shù)學知識及思想方法的深度理解、建構知識及靈活運用,筆者嘗試開展“利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題”的微單元教學設計,內容以高考題為載體,嘗試開展教學實踐.

1 必備知識

1.1 函數(shù)的零點

對于函數(shù)y=f(x),把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)的零點.

1.2 與函數(shù)零點有關的等價關系

方程f(x)=0有實數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點?y=f(x)有零點.

1.3 函數(shù)的零點存在性定理

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內有零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根.

已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍的常用方法:①直接解方程②數(shù)形結合③借助導數(shù)工具及零點存在性定理.

2 教學過程設計

2.1 課前自主學習,診斷問題

進入高三階段,學生已經(jīng)具備一定的學科知識及關鍵能力,但是由于有所遺忘,知識呈碎片狀.課前自主學習的形式診斷問題,梳理知識點,在掌握知識的同時學會數(shù)學思考方式,可以提升認知力及思維能力.

(1)(2019全國)函數(shù)f(x)=2sinx-sin2x在[0,2π]的零點個數(shù)為.(直接法)

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)(考查零點存在性定理)

(3)(2022·全國)已知函數(shù)f(x)=x3-x+1,則( ).

A.f(x)有兩個極值點

B.f(x)有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心

D.直線y=2x是曲線y=f(x)的切線

(考查借助導數(shù)工具研究函數(shù)圖象,數(shù)形結合解決問題)

2.2 典例剖析,引申拓展

例1(2022乙卷16)已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的極小值點和極大值點.若x1

思路探求:函數(shù)的極值點就是相應函數(shù)的導數(shù)的零點,故可轉化為研究導函數(shù)的零點問題.

圖1 例1題圖

當a>1時,f′(x)在(-∞,x0)單調遞減,(x0,+∞)單調遞增,此時x=x1為極大值點,不符題意.

方法點睛利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,根據(jù)參數(shù)的特點,確定分類討論的標準.在每一類情況中確定函數(shù)的極值、最值、單調性、特殊點等,畫出大致的函數(shù)圖象,討論其圖象與x軸的位置關系,先形后數(shù),求出參數(shù)取值范圍.

方法2(同構+分離變量)由法1知,當a>1時,不符題意.

方法點睛通過分離變量,可將參數(shù)與變量分離開來,轉化為研究一個具體函數(shù)的圖象與直線交點的問題,避免了對參數(shù)的范圍的討論.本題對學生對于運算對象的理解有了更深層次的要求,需要結合運算對象的特點,恰當?shù)淖冃魏?轉化為研究具體函數(shù)的圖象問題.

方法3(轉化為研究兩個函數(shù)圖象的交點問題)

方法點睛利用數(shù)形結合求解零點問題,基本策略是“一靜一動、一直一曲”,當一直一曲時,極限位置為相切的位置;若為兩曲線,往往是凹凸性相反的兩曲線,極限位置是公切線.

2.3 問題延伸,拓展思維深度

思路探求考查學生分類討論思想,轉化與化歸能力及推理論證能力.難點一:確定分類討論的標準;難點二:在討論零點個數(shù)時,要結合零點存在性定理嚴密論證函數(shù)在相應區(qū)間上的零點個數(shù),“找點”是學生的難點.故在研究前設計問題串如下,啟發(fā)學生思考如何“找點”.具體解答過程為:

方法點睛對于“找點”,在教學中培養(yǎng)學生有將指數(shù)、對數(shù)等放縮成低次、高次多項式的意識,有利用常用不等式進行放縮的意識.對于有困難的學生,可用極限的思維代替找點的思維.

評注利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題在解答題中往往是壓軸題,考查學生的綜合素養(yǎng),具有很強的選拔功能.需根據(jù)式子結構特點先確定分類討論的標準,確定參數(shù)的取值范圍.在嚴密的推理論證中,往往找點成為難點,由于對學生的能力要求較高,在平時的教學中,有意識地培養(yǎng)學生觀察、思考,可通過設計問題串的形式引導,不斷提升學生的遷移能力,在不斷完善的數(shù)學知識結構中理解數(shù)學、領悟數(shù)學,形成規(guī)范化思考問題的品質.

3 高三復習微單元設計的教學思考

3.1 重視教材,充分挖掘教材

高考的考查方向既有對基礎知識、基本技能的考查,又有對基本思想和基本活動經(jīng)驗的考查.在教學中,要在課程標準的基礎上,結合教材的例題、習題進行適當?shù)难由?題在書外,理在書中.在組織復習課的教學中,科學、合理地調整呈現(xiàn)的次序,增加啟發(fā)的環(huán)節(jié),引導學生學會聯(lián)系題目的信息和自己所學的數(shù)學知識探索解題的思路,進行解題的嘗試,不斷反思與總結,積累數(shù)學活動經(jīng)驗[1].

3.2 注重一題多解,從不同角度提升核心素養(yǎng)

通過例1的多種解法,從不同的角度入手,殊途同歸,都圓滿地解決了問題.既引導了學生善于從不同的角度深入研究,積累數(shù)學的活動經(jīng)驗,又從不同的解法中提升了學生的核心素養(yǎng).通過一道題學會一類題,才能達到“授之以漁”的目的.在選擇例題時應抓住主干知識以及學生學習特定內容的薄弱點,盡量選取能夠拓展解題方法的例題,可以向學生展示不同的解題方法,舉一反三,觸類旁通,提升核心素養(yǎng),也可對例題進行適當?shù)母木幰赃_到上述目的.

3.3 經(jīng)歷數(shù)學學習過程,培養(yǎng)核心素養(yǎng)

核心素養(yǎng)的提升并不是一蹴而就的,而是在學生經(jīng)歷了直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算后,逐步內化形成的[2].故在高三的微單元復習中,要放手讓學生去深度地思考與體驗,可以引導學生開展合作交流、反思質疑等活動,對問題進行深入剖析,揭示知識的內涵與本質,有效提升學生的核心素養(yǎng).

3.4 強化數(shù)學探究反思,提升理性思維

隨著我國課程改革的不斷深入,數(shù)學教育已從傳統(tǒng)的“學生本位”向“學科本位”課程觀跨越,提倡自主學習、深度學習,培養(yǎng)學生學習的主動性、創(chuàng)造性、批判性及反思性.在高三的微單元的復習課中,可以通過精心的教學設計,引導學生進行自主的、深度的探究學習,既強化了學生基本活動經(jīng)驗的積累,提高了學生嚴密推理論證的能力,也進一步提升了學生的綜合素養(yǎng).