例談高中數(shù)學(xué)數(shù)列極限的幾種求解技巧

錢柏明

(浙江省龍游縣第二高級中學(xué),浙江 衢州 324400)

數(shù)列極限是高考中常考的一類問題,考查的形式多種多樣,并且十分靈活.數(shù)列極限的求解的基本方法有:利用無窮小數(shù)列求數(shù)列極限、利用定積分定義求數(shù)列極限、單調(diào)有界定理求數(shù)列極限等,下面,文章將對此作出詳細分析.

1 利用無窮小數(shù)列求數(shù)列極限

(1)若數(shù)列{an}為無窮小數(shù)列,則數(shù)列{|an|}也為無窮小數(shù)列,反之亦成立.

(2)若數(shù)列{an}為無窮小數(shù)列,則數(shù)列{(a1+a2+……+an)/n}也為無窮小數(shù)列.解答這類問題,解題思路一般為:

①根據(jù)題中已知條件,進行“變量”替換;

②根據(jù)定理運算出其極限值即可求出所求數(shù)列極限.

令xn=a+an,其中{an}為無窮小數(shù)列,再根據(jù)定理(2)可知:

=a+0

x2-x1=a+α1,x3-x2=a+α2,…xn-xn-1=a+αn-1,

從而xn=(n-1)a+(α1+α2+…+αn-1)+x1

再根據(jù)定理(2)得:

=a+0+0=a

2 利用定積分定義求數(shù)列極限

利用定積分定義求數(shù)列極限是若有數(shù)列是某個可積函數(shù)特殊的一列積分和,那么計算此數(shù)列的極限可以轉(zhuǎn)化為計算定積分,通過計算出定積分即可求出數(shù)列極限,這樣可以避免繁瑣湊配技巧,簡化解答步驟.解答這類問題,解題思路一般為:

(1)將數(shù)列化成特殊形式的積分和;

(2)找被積函數(shù)f(x)積分的下限以及上限;

解析將an化為特殊形式的積分和:

找被積函數(shù)f(x)積分的下限以及上限,

函數(shù)f(x)積分的下限:

=2

3 單調(diào)有界定理

單調(diào)有界數(shù)列的基本理論是若數(shù)列{an}的所有項全部滿足下面不等式an≤an+1(an≥an+1),則稱該數(shù)列為遞增(遞減)數(shù)列,遞增數(shù)列和遞減數(shù)列稱為單調(diào)數(shù)列[2].在實數(shù)系中,有界的單調(diào)數(shù)列必有極限.利用單調(diào)有界定理是在求數(shù)列極限時,先證明極限存在,證明極限存在后,再求極限,此時關(guān)鍵在于證明數(shù)列的單調(diào)性與有界性.解答這類問題,解題思路一般為:(1)先證明數(shù)列極限存在;(2)再證明出數(shù)列極限存在后運算即可得出數(shù)列極限.

解析由假設(shè)可知:

①

用數(shù)學(xué)歸納法易證:

xn+1>xn,k∈N

②

即可證數(shù)列{xn}單調(diào)遞增,

用數(shù)學(xué)歸納法可證:

xn+1>xn,

事實上:

由①②證:

對①兩邊取極限得:

求數(shù)列極限問題作為高中數(shù)學(xué)常考的一類問題,考查數(shù)列極限的問題都十分靈活,文中所述的這三種不同思路求解數(shù)列極限問題,給同學(xué)們提供了運用利用無窮小數(shù)列求數(shù)列極限、利用定積分定義求數(shù)列極限、單調(diào)有界定理這三種具體的解題思路和應(yīng)用步驟.不同思路對應(yīng)解題方式各不相同,有助于同學(xué)們快速采取正確合理的思路解答這一類問題.通過對上述例題的分析,希望同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)針對不同的問題,靈活解答,以此提高解題的效率[3].