例談高中數學數列極限的幾種求解技巧

錢柏明

(浙江省龍游縣第二高級中學,浙江 衢州 324400)

數列極限是高考中常考的一類問題,考查的形式多種多樣,并且十分靈活.數列極限的求解的基本方法有:利用無窮小數列求數列極限、利用定積分定義求數列極限、單調有界定理求數列極限等,下面,文章將對此作出詳細分析.

1 利用無窮小數列求數列極限

(1)若數列{an}為無窮小數列,則數列{|an|}也為無窮小數列,反之亦成立.

(2)若數列{an}為無窮小數列,則數列{(a1+a2+……+an)/n}也為無窮小數列.解答這類問題,解題思路一般為:

①根據題中已知條件,進行“變量”替換;

②根據定理運算出其極限值即可求出所求數列極限.

令xn=a+an,其中{an}為無窮小數列,再根據定理(2)可知:

=a+0

x2-x1=a+α1,x3-x2=a+α2,…xn-xn-1=a+αn-1,

從而xn=(n-1)a+(α1+α2+…+αn-1)+x1

再根據定理(2)得:

=a+0+0=a

2 利用定積分定義求數列極限

利用定積分定義求數列極限是若有數列是某個可積函數特殊的一列積分和,那么計算此數列的極限可以轉化為計算定積分,通過計算出定積分即可求出數列極限,這樣可以避免繁瑣湊配技巧,簡化解答步驟.解答這類問題,解題思路一般為:

(1)將數列化成特殊形式的積分和;

(2)找被積函數f(x)積分的下限以及上限;

解析將an化為特殊形式的積分和:

找被積函數f(x)積分的下限以及上限,

函數f(x)積分的下限:

=2

3 單調有界定理

單調有界數列的基本理論是若數列{an}的所有項全部滿足下面不等式an≤an+1(an≥an+1),則稱該數列為遞增(遞減)數列,遞增數列和遞減數列稱為單調數列[2].在實數系中,有界的單調數列必有極限.利用單調有界定理是在求數列極限時,先證明極限存在,證明極限存在后,再求極限,此時關鍵在于證明數列的單調性與有界性.解答這類問題,解題思路一般為:(1)先證明數列極限存在;(2)再證明出數列極限存在后運算即可得出數列極限.

解析由假設可知:

①

用數學歸納法易證:

xn+1>xn,k∈N

②

即可證數列{xn}單調遞增,

用數學歸納法可證:

xn+1>xn,

事實上:

由①②證:

對①兩邊取極限得:

求數列極限問題作為高中數學常考的一類問題,考查數列極限的問題都十分靈活,文中所述的這三種不同思路求解數列極限問題,給同學們提供了運用利用無窮小數列求數列極限、利用定積分定義求數列極限、單調有界定理這三種具體的解題思路和應用步驟.不同思路對應解題方式各不相同,有助于同學們快速采取正確合理的思路解答這一類問題.通過對上述例題的分析,希望同學們在學習過程中應針對不同的問題,靈活解答,以此提高解題的效率[3].