透過題干抓本質 找準角度尋方法
——以2022年新高考全國Ⅰ卷17題為例談數列解題教學策略

譚又英

(湖北省洪湖市第一中學,湖北 洪湖 )

在新高考中,數列依然是必考的內容,難度中等偏下.作為重點考查對象,在平時的課堂教學中教師和學生都花費了大量時間與精力鞏固,可當題目稍微出現新穎一些的變化,學生還是無法靈活應對.如何改變這種“能聽懂,做不對”的現狀,下面筆者就以2022年新高考全國Ⅰ卷第17題為例,與各位同仁一起探討解題教學的策略.

1 真題呈現

(1)求{an}的通項公式;

2 題干分析梳理

很多同學在解題過程中遇阻是因為題目中出現的背景或條件自己并不是非常熟悉,它們不是平時刷題練習過的類型.但是我們要明白,題目可以換背景、變條件、改信息或者調數據,但萬變不離其宗,只要能夠透過題目表象,緊抓題干主旨,把它們與自己熟悉的基本知識、常規題型、通性通法甚至解題技巧結合起來,就可以迅速找到解決途徑.

考點一:等差數列的通項公式

考點二:由an與Sn的關系求通項an

這是數列中的高頻考點,考察Sn與an的關系:

學生對這一類題目解法很熟悉,需分別考察n=1和n≥2時的情況,而對于n≥2時,由an=Sn-Sn-1即可求解通項公式.

考點三:數列求和

3 真題解析

考生想要正確完成本題,除了在梳理題干時抓住以上三個考點,計算過程中還需突破隱藏的第四個考點.

考點四:由數列的遞推關系求通項公式

遞推公式作為數列的一種特殊表示法,體現了數列相鄰兩項或多項之間的關系,由遞推關系求出通項公式,是研究數列性質并解決求和問題的基礎[1].

在審題和解題過程中一環扣一環,憑借已有的知識儲備,將題干中每一個已知條件轉化為熟知信息加以整合,抓住問題的核心和本質層層遞進,便可化難為易!

4 教學建議

解題就是把要解決的問題轉化為已經解過的題, 即任何數學問題的解決歸根到底都是將不熟悉的問題轉化為熟悉的問題,將繁難的問題分解為簡單的問題.如何在學生現有知識儲備的基礎上,培養和提高他們的解題能力,筆者認為教學過程中可以從以下幾方面入手,敬請指正.

4.1 重視數學多元表征

表征是認知心理學的核心概念之一,指信息或知識在心理活動中的表現和記載方式.它是我們認識事物的過程中,通過心理活動對學習對象進一步加工,從而形成能被自己接受的知識形式.由于學習者知識結構不同,思維習慣不同,目標意識不同,他們對于同一學習對象同一問題也會產生不同的表征方式.

新教材在數列這一章的情景引入是印度國王獎賞國際象棋發明者西薩的麥粒數目[2],可利用圖形表征幫助學生發現規律,視覺化表征形象直觀,在許多數列求通項公式的問題中可以達到事半功倍的效果.而等差數列的定義,是在給出一些具體數列之后,引導學生發現規律,在這樣的直觀認識下,進而形成符號語言定義等差數列.而在實際問題中,學生就可以通過定義判定或證明等差數列,進而利用其性質解決問題.

4.2 構建教學“說題”系統

傳統教學模式下,教師是知識的講授者,學生是信息的被動接受者.在此過程中,教師根據自己的經驗進行題型梳理、技巧講解,學生只能在這種大容量、高難度、快節奏的教學中眼花繚亂,除了折服于老師的“精彩表演”,并沒有太多實際收獲[3].也就形成大多數同學的學習現狀,明明老師講解時都能聽懂,可自己解題往往一籌莫展.這是因為教師在備課時只備了教學內容,而忽略“備學生”這一重要環節,課堂講解時老師思維流暢,將完整的解答和盤托出,忽視學生的主體地位,沒有充分考慮學生的學習現狀,以及他們在解題過程中會出現的各種思維障礙,教學效果大打折扣.

新課程倡導“以生為本”的教學理念,新型的習題課教學模式也勢在必行.所謂“說題”教學,就是把對題目的認識和理解表達出來,解說可以是分析題目條件、需解決的問題,也可以是條件與結論之間的相互轉化,所涉及的知識點或方法,還可以是與這道題目相關聯的題型、考點等等.習題教學中的說題方式可以多種多樣,教師說題、學生小組說題、師生共同說題,在平等的新型師生關系中,學生真正成為學習的主體,他們不僅對數學學習產生濃厚興趣,學習的主動性和積極性也有更大提高.

新高考的數學命題讓我們認識到,學生機械式海量刷題是無法在這場選拔性考試中獲勝的,教學中需要引導他們將“學習”演變為“研究”,真正提高解題教學的高效性,實現“說一題,會一類”的目的.學生在說題過程中不僅說出對題目的認識和感想,最重要的是激發他們的數學思維,在思考、聯想、歸納總結的過程中取得認知上的飛躍,邏輯思維能力大大提升.

4.3 進行多維解題反思

世界著名教育家、數學家弗賴登塔爾說過:“反思是數學創造性思維的重要表現,是數學活動的動力.”可見,反思在數學活動中的重要性不可小視.

首先,學生要在老師說題完成之后進行反思,即反思題意.每一個已知條件可以獲知什么信息?每一個條件有什么固定用法?被解決的問題可以轉化成什么?題目中有哪些代表性的符號、圖形、文字等信息,題目條件和結論的關系如何聯系起來等等.其次,學生在解題過程中思維受阻要學會反思,找到問題癥結所在.無論是平時練習還是考試過程中,面對可以解決的問題卻在中途進行不下去,這時不妨停下來作一下反思,重新梳理題干條件,對每一個條件可以獲知的信息和結論進行整理,從多個角度匯總分析,尋找切實可行的解決方案.最后,教師在教學中要帶領學生對解題活動的經驗進行反思.解題不僅僅是為了做對一道題,更多是對已學知識的鞏固和檢驗,發現解題規律,掌握解題策略,形成解題意識.反思過程中要注意“追根溯源”,強調對數學概念、數學定理和性質的準確理解及運用,嘗試一題多解,一題多變,培養思維的發散性.另外,還可結合不同層次學生的實際,從思維起點、認知需求、知識結構、目標意識的區別上因材施教,讓訓練的針對性和實效性更強.

總之,在教學中要體現“培養學生關鍵能力和核心素養”的課程理念,始終以學生為主題,貫穿觀察、分析、歸納、類比、遞推、運算、概括等能力的培養[4], 通過“研究式學習”引導學生在解題時多角度觀察已知條件和結論, 深入剖析其特征, 透過題干抓住本質, 準確獲得解決問題的途徑.