基于“建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論”的教學(xué)設(shè)計(jì)研究
——以“直線的點(diǎn)斜式方程”為例

邵 慧

(江西師范大學(xué),江西 南昌 330022)

建構(gòu)主義提倡讓學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)去“暴露自己”,即學(xué)生有更多表述數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì).對(duì)不同的觀念做出辨析,對(duì)相同觀念進(jìn)行類比,從而實(shí)現(xiàn)意義賦予.本文以北師大版本必修第一冊數(shù)學(xué)第一章《直線與圓的方程》的第三節(jié)中的“直線的點(diǎn)斜式方程”為例,基于學(xué)生已有的概念框架,合理預(yù)設(shè),促進(jìn)知識(shí)結(jié)構(gòu)的分化、擴(kuò)展和重組[1].

1 學(xué)情分析

1.1 學(xué)生起點(diǎn)能力分析

學(xué)生在上一節(jié)已經(jīng)學(xué)會(huì)用代數(shù)法來表示直線斜率,這給新的觀念——直線的點(diǎn)斜式方程提供了探索的前提條件.就形式而言,點(diǎn)斜式方程只是一個(gè)表達(dá)式,其運(yùn)用和推導(dǎo)過程也并不復(fù)雜.但是這是解析幾何的開端,對(duì)以后的數(shù)學(xué)“文化繼承”有著不可估量的作用[2],所以探索直線的點(diǎn)斜式方程的過程就顯得非常重要.

1.2 學(xué)習(xí)行為分析

學(xué)生已經(jīng)有部分推理能力的素養(yǎng),但其邏輯推理的嚴(yán)密性還有待提高,且存在部分同學(xué)自覺性差,計(jì)算能力較差,甚至不樂于動(dòng)手.

2 教學(xué)目標(biāo)

(1)掌握確定一條直線的兩要素:點(diǎn)和方向.掌握直線的點(diǎn)斜式,明白斜截式方程和點(diǎn)斜式方程的特殊關(guān)系;

(2)充分體驗(yàn)直線的點(diǎn)斜式方程的探索過程,理解直線和方程之間的聯(lián)系,滲透數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想;

(3)從發(fā)展聯(lián)系的角度看問題,聯(lián)想直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關(guān)系,理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間是相互滲透、相互繼承的觀點(diǎn).

3 教學(xué)重難點(diǎn)

【教學(xué)重點(diǎn)】 直線的點(diǎn)斜式方程.

【教學(xué)難點(diǎn)】 直線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解.

4 學(xué)習(xí)過程

4.1 復(fù)習(xí)導(dǎo)入

問題1:通過之前的學(xué)習(xí),我們知道在平面中確定一條直線需要哪些幾何條件嗎?

設(shè)計(jì)意圖:溫故而知新,學(xué)生回憶確定一條直線需要兩點(diǎn)或者一個(gè)方向和一點(diǎn)即可,從而為求直線的點(diǎn)斜式方程做好鋪墊.

問題2:設(shè)直線l經(jīng)過定點(diǎn)P(0,3),斜率為 3,請(qǐng)寫出直線l上另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生得出的答案可能不盡相同.教師接著引導(dǎo):同學(xué)們能不能將所有的答案進(jìn)行統(tǒng)一定義呢?即如何寫出直線l上所有點(diǎn)的坐標(biāo)?怎樣表示直線上所有的點(diǎn)呢?用數(shù)字能表示所有的動(dòng)點(diǎn)嗎?

4.2 小組展示,增興強(qiáng)思

活動(dòng)1:小組討論結(jié)束,同學(xué)們開始踴躍表達(dá)自己的想法吧!

設(shè)計(jì)意圖:給予學(xué)生充分的時(shí)間思考,讓學(xué)生表述數(shù)學(xué),激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的求知欲.學(xué)生開始表達(dá)自己的處理方法.通過有序?qū)崝?shù)對(duì)的方式,假設(shè)直線上的另一點(diǎn)為(x,y),這樣就可以定義斜率了.

問題3:同學(xué)們已經(jīng)用斜率k將直線上的任意一點(diǎn)Q(x,y)和已知的點(diǎn)P(0,3)聯(lián)系起來了,大家現(xiàn)在一起觀察這個(gè)式子,可以對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?大家又會(huì)有什么不一樣的發(fā)現(xiàn)嗎?

設(shè)計(jì)意圖:布魯納說過:“以最近發(fā)展區(qū)作為教師加入的空間,為學(xué)生提供支持,促使學(xué)生主動(dòng)而有效的學(xué)習(xí).”根據(jù)前面所學(xué)得知識(shí),如果x=0,則斜率不存在,此時(shí)可得出直線x=0;如果x≠0,學(xué)生開始給這個(gè)式子變形得出y-3=k(x-0)進(jìn)而有y-3=kx,也即y=kx+3

4.3 拓展推廣,形成概念

問題4:觀察y=kx+3,P(0,3),Q(x,y) ,它們之間有什么關(guān)系呢?

設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生發(fā)現(xiàn)P(0,3)滿足方程y=kx+3.同時(shí),直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)Q(x,y)都滿足方程y=kx+3.可以驗(yàn)證,滿足該方程y=kx+3的解的坐標(biāo)表達(dá)形式的點(diǎn)也在直線上,所以把方程y=kx+3就叫做直線的方程.

4.4 依托特殊,完善猜想

問題5:現(xiàn)在老師繼續(xù)將這個(gè)問題一般化:已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(x0,y0),且斜率為k,同學(xué)們可否利用上述方法求出直線l(圖1)的方程呢?

圖1 基本直線型

方程y-y0=k(x-x0)稱為直線方程的點(diǎn)斜式.

設(shè)計(jì)意圖:在學(xué)生原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中不斷擴(kuò)充重組,實(shí)現(xiàn)“文化繼承”的過程.在此環(huán)節(jié)上,學(xué)生經(jīng)歷特殊到一般的思想過程,體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想,得出直線的點(diǎn)斜式方程.

4.5 知識(shí)遷移,再探新知

問題6:特殊地,當(dāng)直線l的斜率不存在(圖2)或者k=0時(shí)(圖3),同學(xué)們可以快速寫出直線l的方程嗎?

圖2 豎直直線型 圖3 平行直線型

問題7:若直線l(圖4)經(jīng)過點(diǎn)M(0,b)且斜率為k,所以該直線方程l的點(diǎn)斜式為?

圖4 一般直線型

設(shè)計(jì)意圖:根據(jù)直線的點(diǎn)斜式推導(dǎo)過程進(jìn)一步探究直線的斜截式.這不僅促進(jìn)學(xué)生已有知識(shí)的增長,同時(shí)也讓學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)了知識(shí)結(jié)構(gòu).

4.6 歸納總結(jié),形成概念

直線的點(diǎn)斜式方程:y-y0=k(x-x0)

直線的斜截式方程:y=kx+b

注:斜率必須存在;一點(diǎn)一斜率.

設(shè)計(jì)意圖:總結(jié)出概念,注意細(xì)節(jié)辨析.

4.7 例題講解,加深理解

例1 在同一平面直角坐標(biāo)系中做出以下直線

y=2,y=x+2,y=-x+2,y=3x+2,y=-3x+2

這些直線有什么共同特點(diǎn)?能否用一個(gè)方程來表示它們呢?

例2 在同一平面直角坐標(biāo)系中做出以下直線

y=2x,y=2x+1,y=2x-1,y=2x+4,y=-3x+2

這些直線有什么共同特點(diǎn)?能否用一個(gè)方程來表示它們呢?

例3 當(dāng)取任何實(shí)數(shù)值時(shí),

(1)直線y=kx+1恒過點(diǎn)

(2)直線y=k(x+1)恒過點(diǎn).

(3)直線y-2=k(x-4)恒過點(diǎn)

(4)直線y=kx-3k+2恒過點(diǎn)

設(shè)計(jì)意圖:例1為研究方程y=kx+2作鋪墊;例2為研究方程y=2x+b作鋪墊;例3進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí).

4.8 歸納小結(jié),能力提升

(1)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你掌握了哪些知識(shí)?

(2)本節(jié)課有哪些數(shù)學(xué)思想方法?

(3)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你對(duì)哪些題目有新的認(rèn)識(shí)?

設(shè)計(jì)意圖:課堂小結(jié)是教學(xué)過程中重要環(huán)節(jié)之一,前兩個(gè)問題是對(duì)本節(jié)課的思維提煉,有助于學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu),掌握科學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法.問題3主要目的在于培養(yǎng)學(xué)生“發(fā)展”的能力,是對(duì)“直線的點(diǎn)斜式方程”的延續(xù).

5 建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的設(shè)計(jì)思考

5.1 在數(shù)學(xué)情境中發(fā)展學(xué)生的人格素養(yǎng)

好的數(shù)學(xué)情境不僅能引發(fā)學(xué)生的思考,而且有利于課堂的進(jìn)行.本文從學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中挖掘出直線的點(diǎn)斜式的數(shù)學(xué)情境,不僅有利于學(xué)生抓住數(shù)學(xué)本質(zhì),而且可以激發(fā)學(xué)生的探索求知欲,感悟數(shù)學(xué)家的猜想發(fā)現(xiàn)過程,體驗(yàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值[3].

5.2 在探究中培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力

在直線的點(diǎn)斜式方程的探索發(fā)現(xiàn)過程中,學(xué)生通過猜想、類比、歸納等多種合情化手段多角度考慮探索和嘗試,類比不是簡單的單一模仿,猜想不是只猜不證,讓學(xué)生深刻融入教學(xué)當(dāng)中,在數(shù)學(xué)問題的牽引下,感悟數(shù)學(xué),擴(kuò)充重組數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu),從而讓學(xué)生的思維有進(jìn)一步的精煉.

5.3 在歸納和小結(jié)中培養(yǎng)學(xué)生的思維方式

在學(xué)習(xí)過程中,要讓學(xué)生學(xué)會(huì)觀察,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法和思維方式,從而讓學(xué)生整體掌握數(shù)學(xué)的概念和定理.通過歸納小結(jié),學(xué)生邏輯層次分明,是培養(yǎng)其系統(tǒng)思想的有效途徑.

學(xué)習(xí)其實(shí)是一種主動(dòng)的繼承過程,教學(xué)設(shè)計(jì)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重頭戲,是擴(kuò)充學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的重要途徑.科學(xué)有效地設(shè)置數(shù)學(xué)問題,不僅可以豐富學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu),而且更能使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式、數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力、人格素養(yǎng)得到更好的發(fā)展.