高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中邏輯思維的培養(yǎng)
——以數(shù)列解題教學(xué)為例

王開江

(貴州師范大學(xué)附屬中學(xué),貴州 貴陽 550001)

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中較為復(fù)雜、抽象的一個(gè)板塊.在數(shù)列問題的解答過程中,需要學(xué)生具有較強(qiáng)的分析能力與綜合能力,這些能力則是學(xué)生邏輯思維的體現(xiàn).所以解題教學(xué)中需要對學(xué)生的邏輯思維進(jìn)行培養(yǎng),從而提升學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解.因此就需要教師在教學(xué)的過程中,采用更加積極有效的教學(xué)方式來提升學(xué)生的邏輯思維.下文將通過例題解析的方式來說明解題教學(xué)中的邏輯思維培養(yǎng).

1 總結(jié)提煉求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法培養(yǎng)邏輯思維能力

例1設(shè)數(shù)列{an},an=n·2n,求數(shù)列{an}的前n和Sn.

方法1錯(cuò)位相減法,由Sn=1·21+2·22+3·23+…+(n-1)·2n-1+n·2n

等式兩邊同時(shí)乘以2,2Sn=1·22+2·23+3·24+4·25+…+(n-1)·2n+n·2n+1

由錯(cuò)位相減得 -Sn=21+22+23+24+25+…+2n-n·2n+1,則Sn=(n-1)·2n+1+2

方法2裂項(xiàng)相消法,由an=n·2n=(n-1)·2n+1-(n-2)·2n

故Sn=0·22-(-1)·21+1·23-0·22+2·24-1·23+…+(n-1)·2n+1-(n-2)·2n

所以Sn=(n-1)·2n+1+2

評析本例以等差和等比數(shù)列為背景,利用錯(cuò)位相減法解決問題,也可以用裂項(xiàng)相消法化簡求和式子,讓學(xué)生關(guān)注通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征,又讓學(xué)生體會(huì)通性通法解題的優(yōu)越性,還體現(xiàn)一題多解的解題思維的發(fā)散性.

2 利用一題多解求通項(xiàng)公式或證明不等式拓展學(xué)生的邏輯思維能力

在解題過程中,要善于發(fā)現(xiàn)試題的內(nèi)涵與外延,抓住試題題干條件與結(jié)論,尋找知識與問題的內(nèi)在聯(lián)系,確定解題路徑,形成一題多解的解題思路,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維.學(xué)生可以從多角度、多途徑尋求解決問題的方法,開拓解題思路.教師在教授和引導(dǎo)學(xué)生解題的過程中,采用“一題多解”數(shù)學(xué)思維來拓寬學(xué)生的解題策略,在遇到新問題時(shí),不畏困難,堅(jiān)決挖掘出新舊知識間內(nèi)在聯(lián)系,養(yǎng)成創(chuàng)新習(xí)慣[1],這樣就有利于提升學(xué)生的分析解決問題的能力,加強(qiáng)了學(xué)生的解題素養(yǎng).

例2設(shè)數(shù)列{an}的前n和為Sn,2Sn=3an-n

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

評析本小問從不同的知識角度,應(yīng)用到公式法、累加法、構(gòu)造法等解題方法,抓住試題的本質(zhì),整合知識點(diǎn),利用一題多解的解題技巧,讓學(xué)生拓展思路,培養(yǎng)發(fā)散性思維,體會(huì)和積累解題的樂趣和技巧.

評析本小問涉及的是不能求和的數(shù)列求和,采用先放縮,再求和,最后再放縮得到證明問題求解的思路,本題可以采用糖水不等式放縮、降次放縮、因式分解放縮,甚至可用二項(xiàng)式定理展開來放縮,也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,加深了學(xué)生對解決這類問題的理解,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.

3 利用化歸思想構(gòu)造新數(shù)列提升學(xué)生的邏輯思維能力

很多數(shù)列求通項(xiàng)公式都是以遞推公式形式存在,引導(dǎo)學(xué)生分析遞推公式結(jié)構(gòu)特征,將它進(jìn)行適當(dāng)變形.如兩邊同時(shí)加減乘除一個(gè)數(shù),兩邊同時(shí)平方、開方、取對數(shù)、取倒數(shù)等等,利用化歸和轉(zhuǎn)化思想,采用整體換元思維,將數(shù)列構(gòu)造成新的等差或等比數(shù)列,或者構(gòu)造成能累加、累乘的形式,即可使問題得解,甚至可用待定系數(shù)法、特征方程法或不動(dòng)點(diǎn)法來求數(shù)列的通項(xiàng)公式.這樣,極大地提高了數(shù)列的求解能力,培養(yǎng)了學(xué)生邏輯思維素養(yǎng),下面只說明等式兩邊同除問題.

例3在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=2an+2n+1,求an.

評析這題主要考查對等差數(shù)列、等比數(shù)列的掌握情況,利用整體換元思想,將非等差數(shù)列或非等比數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列,利用等差及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng),再解出an即可.通過對不同題型的講解和歸納,能夠讓學(xué)生對數(shù)列的相關(guān)問題有更加直觀的認(rèn)識,更加深刻地體會(huì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的內(nèi)涵和本質(zhì),真正讓學(xué)生對等差數(shù)列和等比數(shù)列能夠有靈活解題的感受.

4 利用觀察歸納猜想培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力

數(shù)學(xué)中有各種各樣的猜想,如著名的哥德巴赫猜想、費(fèi)馬猜想等等,都是由某一類事物的部分對象具有某些特征,推出該事物的全部對象都具有這些特征,或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的歸納推理[2],一般是從具體問題出發(fā),觀察、分析、比較、聯(lián)想,歸納類比,提出猜想,最后再證明.

評析這個(gè)例題,通過計(jì)算前四項(xiàng),觀察歸納出通項(xiàng)公式,再用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想.當(dāng)然,該題也可以兩邊取倒數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列求解.我們在邏輯思維培養(yǎng)教學(xué)的過程中,可以通過觀察、歸納、猜想的方式對學(xué)生進(jìn)行邏輯思維的培養(yǎng).

綜上所述,文章通過數(shù)列的相關(guān)知識對高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中邏輯思維的培養(yǎng)進(jìn)行了闡述,為了更好地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維,可以通過總結(jié)提煉求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法,利用化歸思想構(gòu)造新數(shù)列求通項(xiàng)公式,借助一題多解求通項(xiàng)公式或證明不等式拓展學(xué)生的邏輯思維,利用觀察歸納猜想發(fā)現(xiàn)問題,找到規(guī)律再通過數(shù)學(xué)歸納法證明,從而達(dá)到提高解題能力、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維的目的.