基于分類討論的高中數學解題方法探究

葉碧桃

(福建省霞浦第七中學,福建 寧德 355100)

高中生在解答數學問題時,常常會遇到一些特殊的情況,解答到某一步之后,問題突然變得異常復雜,無法按照統一的方法和標準繼續進行,這主要是因為題目中包含多種情況.鑒于此,我們考慮融入分類討論思想,按照一定的標準和要求,將問題進行拆分,使其成為若干個小問題,并逐一進行解答.文章將結合例題詳細闡述分類討論思想在高中數學例題中的具體應用.

1 分類討論解決集合問題

集合是高中數學知識體系中的重要組成部分,也是學生最早接觸到的知識點.在日常考試中,集合問題也屬于常考題目類型,占據著很大的分值比例.同時,在部分集合題目中,由于存在參數,學生在解答的時候需要進行準確分類處理,由此逐一討論和解答,最終得出正確的答案.

例1設集合A={x|-2≤x≤a}B={y|y=2x+3,x∈A},C={z|z=x2,x∈A},且C?B,求實數a的取值范圍?

解析在解答本題目時,因為集合A和集合C中的范圍均和實數a的正負數存在密切的關系.因此,在解題時不能一概而論,必須要借助分類討論的思想,對實數a展開討論:

因為A={x|-2≤x≤a},所以B={y|y=2x+3,x∈A}={y|-1≤y≤2a+3]

①當-2≤a≤0時,集合C={z|z=x2x∈A}={z|a2≤z≤4}

②當0

③當a>2時,集合C={z|z=x2,x∈A}={z|0≤z≤a2}

因為C?B,因此2a+3≥4,解不等式得出-1≤a≤3,結合條件a>2,即可得出2

2 分類討論解答函數問題

函數問題歷來是高中數學的重中之重,無論是選擇題、填空題,還是壓軸題,都能看到函數的影子.鑒于函數知識的繁雜性和抽象性,學生在解答問題時,唯有借助分類討論思想,才能化繁為簡,形成明確的解題思路,最終完成數學問題的順利解答.

例2已知函數f(x)=x2+bln(x+1),b≠0.,求函數f(x)的極值點?

3 分類討論解答不等式問題

不等式求解是高中數學學習的重難點之一,在考試中尤為常見.通常,在解答這一類型問題時,必須要融入分類討論的思想,對其不同的情況展開討論,才能真正提升學生的解題效率.

例3當a取什么值的時候,不等式(a2-3a+2)x2+(a-1)x+2>0的解是一切實數?

解析在本題目中,由于無法確定是一元一次不等式,還是一元二次不等式,在開展解答時,唯有融入分類討論的思想,對不同的情況展開討論:

①當a2-3a+2=0,通過解方程即可得出a=1,或者a=2.之后,再將其分別代入方程中,當a=1時,原不等式為2>0恒成立,因此a=1符合原不等式;當a=2時,代入不等式中,變成x+2>0,解不等式得出x>-2不符合題意.

4 分類討論解決數列問題

高中數學涉及的數列存在一定的規律性,即等差與等比數列.題目難度系數雖然比較小,但在考查時,由于數列中常常含有一定的未知量、變量,稍有疏忽就會出現漏解的現象.鑒于此,可融入分類討論思想,全面提升學生的解題效率.

假如Sn=a1+a2+……+an.如果Sn=2015,求n的值是多少?

解析這一題目比較抽象,因為a的值無法確定,致使數列的周期也有所不同.此時,在解題時唯有結合前n項和展開分類討論,才能正確解答這一問題:根據已知條件得出a2=-a1+3=-a+3.

①當0

②當1≤a≤2時,因為1≤-a+3≤2,則有a3=-a2+3=a∈[1,2],即an+2=an,又因為a1+a2=a3,則Sn=2 015=671×3+2,則a1=a=2,即:n=671×2+1=1 343.綜上分析得n的值為1 343.

5 分類討論解答幾何問題

幾何問題是高中數學教學的重要組成部分,也是考查的重點.在解答這一問題時,受到不確定性影響,導致學生在解題時常常存在漏解的現象.鑒于此,必須要融入分類討論思想,優化學生解題.

例5如圖1所示,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC內的任意一點,并且∠AOB>∠AOC,求證:OB

圖1 例5題圖

解析在證明這一問題時,可結合:三角形中大角對大邊,小角對小邊進行證明.

又因為∠AOB>∠AOC,即α1>α2,且α1+α2>180°

因此,90°<α1<180°,0°<α2<180°

因為在這一區間內,sinα2是非單調函數,必須要融入分類討論的思想進行解答:

①當α2≥90°時,因為α1≥90°,且α1>α2,sinα1

所以sinβ

②當α2<90°時,因為α1>90°,則有180°-α1<90°,又因為α1+α2>180°

因此α2>180°-α1,則sinα1=sin180°-α1

所以sinβ

綜上討論,根據題意得出:∠ABC=∠ACB,∠OBC>∠OCB

所以OB

綜上所述,分類討論思想不僅僅是一種數學思想,還是解答數學問題的重要工具,也是發展學生數學思維能力的關鍵.鑒于此,在日常高中數學課堂教學中,必須堅持開放性的教學觀念,鼓勵學生在典型的數學題目中,總結分類討論思想的分類標準等,以便于學生將其靈活應用到數學解題中,真正提升學生的數學解題能力.