運用Mathematica軟件進行開普勒定律教學

鄭 磊 李 學

(1. 北京市第十三中學,北京 100120;2. 北京市第九中學,北京 100041)

1 引言

“行星的運動”是人教版高中物理必修第二冊第七章的內容,教學重點是開普勒定律,理解該節內容對接下來學習萬有引力定律具有至關重要的作用。開普勒定律是開普勒在第谷等人天文觀測的基礎上,運用數學手段總結得出的,在常態化教學中一般通過史實的介紹,幫助學生了解開普勒定律,這種未經鋪墊就直接給出開普勒定律的教學方式略顯突兀。如果能夠帶領學生“重走”開普勒的探究之路,引導學生自主觀察、歸納、總結得出行星運動規律,便能更有效地幫助學生理解開普勒定律,為以后萬有引力定律的學習掃清障礙。

基于以上想法,利用Mathematica軟件就可以幫助我們解決這個問題,該軟件可以支持數值和符號計算,實現引擎、圖形系統、編程語言、文本系統等多種模式的交互式組合,3D動畫演示功能比較成熟。中學教師可以利用Mathematica軟件的3D建模與繪圖功能,帶領學生對天體運動進行探究。

2 運用Mathematica軟件進行教學

運用Mathematica軟件進行“行星的運動”教學的思路如下:建立行星的動力學微分方程,[1]仿真呈現其運動軌跡,分別創建出行星在不同狀態下的運動過程,引導學生觀察不同狀態下的運動軌跡,進行歸納總結,最終得出結論。

2.1 開普勒第一定律

利用Mathematica軟件對上述方程進行數值求解,[2]即可得到該行星繞太陽運動的坐標,再通過軟件的3D繪圖功能可模擬行星繞太陽的運動情況,圖1所示為行星初速度v0=30 km/s時的運動軌跡。

圖1

圖2

從圖2我們可以發現,行星繞太陽做圓周運動是個特例,只有行星在軌道上以特定的速度運行時才能做圓周運動,在其他初速度下的運動軌跡都為橢圓,且太陽處于橢圓的其中一個焦點上。通過軟件的動畫模擬,如果初速度v0小于30 km/s,行星做向心運動,速度先增大后減小;如果初速度v0大于30 km/s,行星做離心運動,速度先減小后增大(圖3)。開普勒早在1605年,便試圖用磁力假說解釋行星運動的橢圓軌道,只不過當時的解析幾何學的發展不夠完備,開普勒只能根據當時已有的理論推導行星運動軌道的特性,這大大增加了求解的難度,但經過不懈的努力,他還是給出了橢圓軌道距離的正確表達式。[3]

圖3

2.2 開普勒第二定律

繼續利用Mathematica軟件處理該行星的運動(初速度v0=36 km/s),其強大的數學計算功能,取相等的時間間隔記錄一次行星的位置,將這些位置與太陽進行連線,計算這些位置與太陽的連線所掃過的面積,并逐漸縮小時間間隔,發現行星與太陽的連線在任意相等的時間內掃過的面積均相同(圖4)。結合圖3的動畫演示,說明了行星在公轉軌道上運動的另一特點:行星距離太陽較近時,運行速度較大;離太陽較遠時,運行速度較小。

Δt=0.46yearS=4.1×1022 m2

Δt=0.15yearS=1.4×1022 m2

Δt=0.077yearS=6.43×1021 m2圖4

2.3 開普勒第三定律

為了重演開普勒探究第三定律的過程,將表1中各行星軌道的半長軸與運行周期進行相關的排列組合,試圖找到行星軌道的半長軸與運行周期的規律,最為簡單的方法就是描點繪圖,通過將每一個行星軌道的半長軸與運行周期作為坐標點(x,y)繪制圖像,觀察圖像的形狀。

表1

當然,我們不能僅探究周期一次方與半長軸一次方之間的關系,通過圖5可以看出T-r圖線為一條曲線,我們不妨將行星的半長軸和周期進行指數運算,再一一將他們進行排列組合,找到T-r2、T-r3等多種組合方式,利用Mathematica軟件強大的繪圖功能繪制出不同的Tm-rn圖像(圖5)。從圖5的6條函數圖像中,我們能夠發現一條最為特殊的函數圖像,就是T2-r3,它是一條過坐標原點的直線,這條直線告訴我們,繞太陽運動的所有行星,其公轉軌道半長軸的立方跟公轉周期的平方之比為一定值。觀察這條直線,自然科學規律的簡潔性與普適性一目了然,這正是無數物理學家堅持不懈、為之奮斗的目標所在。

圖5

開普勒經過長達十年的研究,在1619年發表了開普勒第三定律:所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比都相等。當然,開普勒提出開普勒第三定律的過程,遠比我們通過簡單的排列組合后描點繪圖尋找規律的方法要復雜得多,他為了找到太陽系行星公轉軌道的規律,嘗試了無數種組合方式,耗時數年以當時的數學手段成功得出了結論。數百年后的今天,我們的數字化技術已經得到飛速發展。反觀當時的開普勒,無論是他發表的科學成就,還是他探秘溯源的科學精神,無疑都是留給我們的寶貴財富。

3 反思與啟示

3.1 經歷探究過程,養成科學態度

《普通高中物理課程標準(2017年版2020年修訂)》中提出:“高中物理課程是普通高中自然學科領域的一門基礎課程,旨在落實立德樹人根本任務,進一步提高學生的物理學科核心素養,為學生的終身發展奠定基礎,促進人類科學事業的傳承與社會的發展?！蔽锢韺W科核心素養包括物理觀念、科學思維、科學探究、科學態度與責任四個方面。在課堂上讓學生觀察行星的運動軌跡、行星位置與太陽連線的運動特點,以排列組合的方式將(Tm-rn)坐標描點繪制Tm-rn圖像,總結運行周期與軌道半長軸的關系等探究活動,重演開普勒觀察現象、提出猜想、總結規律的探究過程,培養學生自主實踐、獨立思考、總結規律的能力。學生在自主實踐活動中,深刻理解知識,養成科學態度與責任,學習科學家實事求是、認真嚴謹的科學精神,引導學生以史為鑒,結合自身的探究經歷進行反思,領悟物理學的真諦。

3.2 在物理教學中科學地應用信息技術

隨著數字信息化時代的到來,科技已經滲透到生活中的方方面面,在教學中科學地應用信息技術,往往能夠達到事半功倍的效果。以開普勒三定律的教學為例,在教學中引入Mathematica軟件,利用其強大的數值運算和3D繪圖功能,省去了繁雜的計算過程,通過3D動畫演示功能創設可視化環境,將行星的運動直觀地呈現給學生,有效地培養了學生的觀察和總結規律的能力。

科學計算軟件以其數字化編程的特點,決定了它相比傳統教學手段具有一些特有的優勢:Mathematica軟件可以用于模擬理想實驗,打破了實驗室的條件限制;利用Mathematica軟件可以生成3D動畫進行演示,能夠讓教師根據教學需求改變實驗參數,模擬、分析參數變化帶來的影響,可快進、暫停、慢放動畫,幫助教師引導學生觀察變化,總結物理規律,驗證猜想;實驗結果方便儲存,在科技如此便捷的今天,通過微信等即可完成傳輸,在一定程度上提高了教師的教學效率。

3.3 取其之長,避其之短

如何在教學中應用信息技術,需要教師不斷學習,不斷創新。值得注意的是,應用數字化教學工具并不是完全取代傳統實驗教學,對于設備操作復雜或實驗條件困難的課程,可以應用科學計算軟件與傳統實驗相結合,二者相輔相成,更能促進學生的發展。對于本課例,學生還沒有學習萬有引力定律,在行星繞太陽運動的動力學方程理解方面存在一定的困難,教師在進行教學時應結合學生的實際,不必要求學生掌握3D建模原理,只需要通過實驗結果總結規律即可。這樣不僅能減輕學生的學習負擔,而且能夠激發學生的探索欲望,使其在動態的教學環境下自主進行歸納總結,加深對物理規律的理解。