余玉蓉

圓錐曲線綜合試題是高考的必考題,常常以壓軸題的形式出現,以圓錐曲線為載體,滲透平面幾何知識的命題方式備受青睞,頻繁出現在高考試題和模考試題中,此類題型除了考查學生的運算能力外,還重點考查學生處理圓錐曲線與平面幾何相結合中的思想方法,用這種方法解題,將大大減少運算的過程,還可以提高數學邏輯思維能力,本文以2022年東北三省四市高三質量監測二第21題為例進行多角度的分析與求解。
思路1 選擇恰當的形式,實現線段之積轉化為代數關系。
點評:從上面的求解過程來看,實現幾何條件轉化為代數關系,可以直接從幾何圖形出發,利用三角形的性質求解。
點評:三角形是基本的幾何圖形,研究三角形問題,可以從純幾何的角度考慮,借助三角形的面積尋找邊角關系,實現幾何條件轉化為代數形式,從而求出點的坐標。
點評:本解法從平面幾何知識出發,通過探究三角形相似,實現了幾何條件向代數關系的轉化,簡潔明了,在解題時,要從不同角度分析,挖掘已知條件與其他知識間的聯系,拓展我們的解題思路。
點評:角平分線就是一種對稱關系,通過對稱關系可以處理幾何中線段之積相等的問題,為解決該問題拓寬了視野。
從上述的求解過程來看,線段之積的幾何條件都轉化為斜率之間的關系,為解決此類問題找到了突破口,求解圓錐曲線中的線段之積問題的思路與方法:①轉化為角的正弦值,利用正弦定理分析;②利用三角形面積相等,轉化為角的正弦值分析;③利用三角形邊長的比,結合三角形相似來分析轉化;④計算點到兩條直線的距離,即角兩邊的距離,構建距離關系,利用角平分線的性質分析。