多角度分析圓錐曲線中線段之積相等問題

余玉蓉

圓錐曲線綜合試題是高考的必考題，常常以壓軸題的形式出現，以圓錐曲線為載體，滲透平面幾何知識的命題方式備受青睞，頻繁出現在高考試題和模考試題中，此類題型除了考查學生的運算能力外，還重點考查學生處理圓錐曲線與平面幾何相結合中的思想方法，用這種方法解題，將大大減少運算的過程，還可以提高數學邏輯思維能力，本文以2022年東北三省四市高三質量監測二第21題為例進行多角度的分析與求解。

思路1 選擇恰當的形式，實現線段之積轉化為代數關系。

點評：從上面的求解過程來看，實現幾何條件轉化為代數關系，可以直接從幾何圖形出發，利用三角形的性質求解。

點評：三角形是基本的幾何圖形，研究三角形問題，可以從純幾何的角度考慮，借助三角形的面積尋找邊角關系，實現幾何條件轉化為代數形式，從而求出點的坐標。

點評：本解法從平面幾何知識出發，通過探究三角形相似，實現了幾何條件向代數關系的轉化，簡潔明了，在解題時，要從不同角度分析，挖掘已知條件與其他知識間的聯系，拓展我們的解題思路。

點評：角平分線就是一種對稱關系，通過對稱關系可以處理幾何中線段之積相等的問題，為解決該問題拓寬了視野。

從上述的求解過程來看，線段之積的幾何條件都轉化為斜率之間的關系，為解決此類問題找到了突破口，求解圓錐曲線中的線段之積問題的思路與方法：①轉化為角的正弦值，利用正弦定理分析；②利用三角形面積相等，轉化為角的正弦值分析；③利用三角形邊長的比，結合三角形相似來分析轉化；④計算點到兩條直線的距離，即角兩邊的距離，構建距離關系，利用角平分線的性質分析。