基于分數階滑模控制的高精度印刷機糾偏系統研究

陳一軍，郭忠旭，武吉梅，邵明月，王靜

基于分數階滑模控制的高精度印刷機糾偏系統研究

陳一軍，郭忠旭，武吉梅*，邵明月，王靜

（西安理工大學 印刷包裝與數字媒體學院，西安 710048）

解決卷對卷印刷收卷不齊的問題，提高收卷精度。對印刷機收卷糾偏原理進行分析，建立收卷糾偏系統數學模型，提出基于分數階滑模控制的糾偏算法，分析其穩定性。在不同收卷線速度、不同跑偏干擾輸入信號的條件下進行仿真。搭建收卷糾偏實驗平臺，對2種控制方法進行收卷糾偏控制實驗。仿真結果表明，分數階滑模控制器比傳統PID控制器具有較好的動態性能和穩態性能。實驗結果表明，分數階滑模控制算法比傳統PID控制具有更高的糾偏精度。分數階滑模控制算法可以有效提高印刷機收卷糾偏精度，滿足高精度印刷要求。

糾偏；分數階滑模控制；收卷控制；MATLAB仿真

卷對卷印刷在印刷行業具有廣泛的應用，印刷機在收卷過程中，由于卷材的張力變化、兩段料卷拼接不齊，以及卷材的厚度不均勻等因素的影響，呈現出交替隨機的橫向偏移。這種現象會造成收卷時邊緣不整齊，影響印品質量[1]。為此，目前印刷機通常配有收卷糾偏系統[2]。

印刷機收卷糾偏系統由于工作環境復雜，所以存在諸多不利于控制系統設計的影響因素，如非線性因素、外部干擾因素、收卷軸負載變化等。由于收卷糾偏系統具有多種干擾因素的影響，使得傳統PID控制器難以提高其控制性能。在“中國制造2025”背景下，智能控制策略發展迅速，新型控制策略在傳統制造業上應用越來越多。因此，在收卷糾偏控制系統設計時解決被控對象干擾因素多、不確定性強的問題具有一定的理論和工程實際意義。

相較于其他控制方法，滑模控制算法具有很多優點。如對參數攝動具有不敏感性、對不確定性外部擾動具魯棒性強等特點，因此滑模控制算法具有廣泛的應用[3]。但滑模控制因為其系統的執行時切換開關，使其具有一定的滯后性，滑模面上的滑動模態不能準確發生，造成系統抖振。分數階系統具有能量傳遞及收斂速度緩慢的特點，在滑膜控制器的設計中加入分數階理論能夠有效地降低滑模控制的抖振幅度及頻率，可以有效減弱系統的抖振，減少調節時間，降低系統的能量損耗，并且具有較好的魯棒性[4]。

1 收卷糾偏工作原理

印刷機收卷糾偏系統是利用超聲波傳感器對卷材進行邊緣檢測，檢測到卷材與設定值發生橫向偏移時，將檢測到的偏移信號作為系統的輸入信號，傳輸到糾偏控制器中，控制器比較檢測到偏移信號與設定偏移量，產生偏差信號，并將該信號轉換成脈沖量傳遞給步進電機驅動器，由步進電機帶動糾偏執行機構完成糾偏動作，上述過程反復進行，形成閉環控制，直至偏差信號為0。凹版印刷機收卷糾偏系統的結構原理簡圖如圖1所示[5]。

圖1 卷筒紙印刷收卷糾偏系統結構

2 收卷糾偏系統數學模型

收卷糾偏系統的數學模型見圖2。

圖2 印刷機收卷糾偏控制系統的數學模型

步進電機兩相勵磁電壓平衡方程可以表示為式（2）。

步進電機轉子力矩平衡方程分別表示為：

式中：e為電磁轉矩；L為負載轉矩；為總轉動慣量；為黏滯摩擦因數。

由式（3）可得步進電機的機械運動方程：

作拉普拉斯變換，將初值0代入可得：

可得步進電機的傳遞函數數學模型為：

對于糾偏系統的傳動部分，是由步進電機驅動滑動絲杠機構，將旋轉運動轉換成橫向運動，其傳遞函數為：

卷材偏移檢測處到收卷軸上的傳輸通道傳遞函數：

系統的開環傳遞函數見式（11）。

根據系統開環傳遞函數，繪制系統伯德圖，見圖3。

圖3 系統伯德圖

開環伯德圖如圖3所示，截止頻率i為8 rad/s，相頻截止頻率g為8.02 rad/s，相位裕度為52°，幅值裕度為10 dB，系統穩定符合工程上一般要求。

3 分數階滑模控制器設計

將滑模變結構控制與分數階理論結合，首先設計分數階滑模面。首先通過添加分數階微分項增加了滑膜控制的靈活性，對滑模控制易于出現的抖振問題能夠有效抑制；然后設計分數階滑模控制的趨近率，使系統能夠穩定在分數階滑模面后保持滑模運動，且具有較小的穩態誤差；最后通過李雅普諾夫理論驗證分數階滑模控制器的穩定性[7]。

以步進電機為系統控制對象設計跟蹤誤差系統，結合步進電機的機械運動方程可以設計為式（12）[8]。

對式（13）求導可以得：

分數階滑模面可以設計為：

為了滿足滑模條件，設計如下趨近率，其表達式見式（2）。

式中：1和2為滑模增益，1>0，2>0。

對滑模面進行求導：

定義1=、2=，式（16）可以寫為：

基于李雅普諾夫（Lyapunov）理論證明分數階滑模控制的穩定性。現構建如下李雅普諾夫函數[9]：

其中：

為了使Lyapunov函數為正定，只要保證矩陣為正定即可。顯然，只要滿足矩陣中2>0，矩陣總是正定的。所以1()滿足以下不等式：

則有：

根據式（22）、式（25）可以得出結論：

令：

則式（27）可以表示為：

式中：1(0)表示Lyapunov函數的初始值。因為>0，所以收斂時間計算如下：

結合式（25）和式（30），根據Lyapunov穩定性理論可知本文所提出的分數階滑模控制算法是穩定的，且收斂時間有限。

4 仿真分析

為了驗證所提出的分數階滑模控制對印刷機收卷糾偏的效果，利用MATLAB/Simulink對其進行仿真實驗，并將分數階滑模控制算法與傳統PID控制進行性能比較。首先基于圖4所搭建的仿真模型[9]，在仿真模型中設置階躍、正弦和多頻正弦3種干擾信號模擬不同工況下的系統抗干擾情況[10]。本次仿真還依據式（10）中卷材偏移檢測處到收卷軸上的傳輸通道傳遞函數中關于速度對跑偏信號的影響，設置不同收卷線速度對糾偏情況進行仿真[11-12]。

圖4 基于分數階滑模控制系統的 Simulink模型

在不同線速度、不同跑偏信號的條件下，收卷糾偏控制系統的動、靜態性能數據如表1所示。

根據系統仿真圖和2種控制方式仿真結果表可知，在不同線速度及不同干擾跑偏信號下基于分數及滑模控制的糾偏控制方案較傳統PID控制具有更小的動態誤差和穩態誤差，糾偏效果得到明顯提升。

5 實驗分析

選用改進的陜西北人印刷機械有限公司FR-400機組式凹版印刷機作為實驗平臺，設計加裝了收卷糾偏機構，如圖8所示。糾偏電機選用力川LCDA86H閉環步進電機，直流60 V供電，其定位精度較高；跑偏傳感器選用精科US-400S超聲波傳感器，具有較高的檢測精度；卷材選用幅寬為600 mm PET薄膜，其具有較好的柔韌性，可減小因張力過大造成薄膜變形對跑偏的影響。

圖5 階躍信號干擾下PID控制與分數階滑模控制抗干擾效果對比

圖6 正弦信號干擾下PID控制與分數階滑模控制抗干擾效果對比

圖7 多頻正弦信號干擾下PID控制與分數階滑模控制抗干擾效果對比

表1 在不同線速度和跑偏輸入信號條件下收卷系統的動、靜態性能對比

Tab.1 Dynamic and static performance of the winding system under conditions of different sets of different line speeds and different off-track input signals

圖8 收卷糾偏控制系統實驗平臺

為了驗證分數階滑模控制系統的糾偏效果，以超聲波傳感器中心位置為基準，設置坐標偏移量為5 mm，設置收卷線速度為150 r/min，測試傳統PID控制及分數階滑模控制糾偏控制絕對誤差，系統流程控制框圖如圖9所示，測試所得結果如表2所示。

由表2數據可以看出，傳統PID控制糾偏絕對誤差最大值為0.32 mm，平均值為0.24 mm；分數階滑模控制糾偏絕對誤差最大值為0.16 mm，平均值為0.15 mm，滿足印刷工藝要求。通過實驗數據分析可知分數階滑模糾偏控制糾偏效果的絕對誤差最大值及平均值均低于傳統PID控制的相應值，因此，分數階滑模控制可以有效提升糾偏控制精度。

圖9 收卷糾偏系統控制系統流程

表2 糾偏效果數據

Tab.2 Data of guiding effect

6 結語

文中設計了一種基于分數階滑模控制的印刷機收卷糾偏控制器，用于解決卷對卷印刷中收卷不齊的問題[15]。利用李雅普諾夫理論證明了分數階滑模控制算法穩定性；在多速度多干擾的情況下，將所設計的分數階滑模控制算法與傳統PID算法進行仿真對比，得到分數階滑模控制具有較高的抗干擾性能、較高的控制精度、較強的魯棒性。搭建了實驗平臺，進行了糾偏效果對比實驗，實驗表明分數階滑模控制具有更好的糾偏效果，可以有效提高印刷機的收卷糾偏精度，對實際印刷生產具有重要意義。

[1] 武秋敏，武吉梅. 印刷設備[M]. 北京: 中國輕工業出版社, 2018: 1-20.

WU Qiu-min, WU Ji-mei. Printing Equipment[M]. Beijing: China Light Industry Press, 2018: 1-20.

[2] ZHOU C, SONG Z K. Application of Ultrasonic in Web Guiding System[J]. Instrumentation Technology, 2010(9): 40-41.

[3] 白淏文, 韓光信. 分數階滑模控制算法在四容水箱中的應用及仿真[J]. 吉林化工學院學報, 2021, 38(7): 13-17.

BAI Hao-wen, HAN Guang-xin. Application and Simulation of Fractional-Order Sliding Mode Control Algorithm in Four-Tank[J]. Journal of Jilin Institute of Chemical Technology, 2021, 38(7): 13-17.

[4] 黃道敏, 韓麗君, 唐國元, 等. 水下機械手分數階積分滑模軌跡跟蹤控制方法研究[J]. 中國機械工程, 2019, 30(13): 1513-1518.

HUANG Dao-min, HAN Li-jun, TANG Guo-yuan, et al. Fractional Integral Sliding Mode Control for Trajectory Tracking of Underwater Manipulators[J]. China Mechanical Engineering, 2019, 30(13): 1513-1518.

[5] NESKA M, MAJCHER A. System for Automatic Web Guiding for Roll-to-Roll Machine Working in a Start-Stop Mode[J]. Solid State Phenomena, 2015, 223: 374-382.

[6] 鄧瑞, 侯和平, 徐卓飛, 等. 印刷紙帶糾偏裝置研究與系統開發[J]. 包裝工程, 2018, 39(13): 138-143.

DENG Rui, HOU He-ping, XU Zhuo-fei, et al. Research on the Guiding Control Device of Printing Paper Tape and System Development[J]. Packaging Engineering, 2018, 39(13): 138-143.

[7] MAO Bei-xing. Two Methods for Terminal Sliding-Mode Synchronization of Fractional-Order Nonlinear Chaotic Systems[J].Asian Journal of Control, 2021, 23: 1720-1727.

[8] 張建宇, 高天宇, 于瀟雁, 等. 基于自適應時延估計的空間機械臂連續非奇異終端滑模控制[J]. 機械工程學報, 2021, 57(11): 177-183.

ZHANG Jian-yu, GAO Tian-yu, YU Xiao-yan, et al. Continuous Non-Singular Terminal Sliding Mode Control of Space Robot Based on Adaptive Time Delay Estimation[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2021, 57(11): 177-183.

[9] 陳大洋, 李章承, 唐立軍, 等. 全數字閉環石英撓性加速度計系統校正與仿真[J]. 電子測試, 2020(6): 20-23.

CHEN Da-yang, LI Zhang-cheng, TANG Li-jun, et al. Calibration and Simulation of Full Digital Closed-Loop Shi Ying Flexible Accelerometer System[J]. Electronic Test, 2020(6): 20-23.

[10] 杜恩祥, 王雙龍, 常雷. 帶前饋補償的彈標軌跡變論域模糊控制器設計[J]. 裝甲兵工程學院學報, 2017, 31(2): 84-89.

DU En-xiang, WANG Shuang-long, CHANG Lei. Variable Universe Fuzzy Controller Design of Missile Mark Trajectory with Feed-Forward Compensation[J]. Journal of Academy of Armored Force Engineering, 2017, 31(2): 84-89.

[11] 趙志誠, 趙志濤, 張井崗, 等. 直流調速系統的改進型分數階滑模控制[J]. 系統仿真學報, 2018, 30(3): 1096-1101.

ZHAO Zhi-cheng, ZHAO Zhi-tao, ZHANG Jing-gang, et al. Modified Fractional Order Sliding Model Control for DC Speed Regulating System[J]. Journal of System Simulation, 2018, 30(3): 1096-1101.

[12] 李俊泓, 魏振興. 基于IMC-ESO的電機調速系統抑制干擾方法研究[J]. 電氣傳動, 2021, 51(23): 3-9.

LI Jun-hong, WEI Zhen-xing. Research on Disturbance Suppression Method of PMSM Speed-Adjusting System Based on IMC-ESO[J]. Electric Drive, 2021, 51(23): 3-9.

[13] 楊芳, 張寬橋, 余磊. 自適應非奇異快速終端二階滑模制導律[J]. 彈道學報, 2020, 32(2): 7-15.

YANG Fang, ZHANG Kuan-qiao, YU Lei. Adaptive Nonsingular Fast Terminal Second-Order Sliding Mode Guidance Law[J]. Journal of Ballistics, 2020, 32(2): 7-15.

[14] 張培娟. 對帶材收卷過程中正弦式跑偏的跟蹤控制[D]. 杭州: 杭州電子科技大學, 2013: 30-50.

ZHANG Pei-juan. Tracking Control of Sinusoidal Running Deviation in Strip Winding Process[D]. Hangzhou: Hangzhou Dianzi University, 2013: 30-50.

[15] 黃蒙. 薄膜卷材糾偏控制系統設計與研究[D]. 武漢: 武漢理工大學, 2013: 40-45.

HUANG Meng. Design and Research of Thin Film Membrane Guiding Control System[D]. Wuhan University of Technology, 2013: 40-45.

High-precision Printing Press Guiding System Based on Fractional-order Sliding Mode Control

CHEN Yi-jun,GUO Zhong-xu,WU Ji-mei*,SHAO Ming-yue,WANG Jing

(School of Printing, Packaging Engineering and Digital Media Technology, Xi'an University of Technology, Xi'an 710048, China)

The work aims to solve the problem of uneven roll-to-roll printing, and improve the winding accuracy. The principle of winding and guiding of printing press was analyzed. The mathematical model of winding and guiding systems was established. A correction algorithm based on fractional-order sliding mode control was proposed to analyze its stability. Simulation was carried out under the condition of setting different winding line speeds and different misalignment interference input signals. An experiment platform of winding and guiding was established to conduct winding and guiding experiments on the two control methods. The simulation results showed that fractional-order sliding mode controllers had better dynamic performance and steady-state performance than traditional PID controllers. The experimental results showed that the fractional-order sliding mode control algorithm had higher guiding accuracy than traditional PID controllers. In conclusion, the fractional-order sliding mode control algorithm can effectively improve the winding and guiding accuracy of the printing press and meet the requirements of high-precision printing.

guiding; fractional-order sliding mode control; winding control; MATLAB simulation

TP273

A

1001-3563(2023)19-0171-08

10.19554/j.cnki.1001-3563.2023.19.022

2022-10-28

國家自然科學基金面上項目（52075435，52205127）；陜西省自然科學基礎研究計劃重點項目（2022JZ-30）；國家新聞出版署智能與綠色柔版印刷重點實驗室招標課題（ZBKT202105）

責任編輯：曾鈺嬋