基于突變理論的空間鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性研究

王健李紅民閆凱

(1. 山東建筑大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250101；2.山東建筑大學(xué)土木工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250101)

0 引言

空間結(jié)構(gòu)因跨度大、抗震性能好等優(yōu)點(diǎn)已廣泛應(yīng)用于體育場館、會展中心、鐵路站房等公共建筑形式。 隨著服役年限的增加，在材料劣化、環(huán)境侵蝕、隨機(jī)荷載等因素的影響下，結(jié)構(gòu)構(gòu)件不可避免地會產(chǎn)生損傷，空間鋼結(jié)構(gòu)桿件眾多，具有較高的超靜定次數(shù)，關(guān)鍵構(gòu)件的失效會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失穩(wěn)，造成突然倒塌的事故。 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性是力學(xué)中研究的熱點(diǎn)問題，學(xué)者們對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性作了大量的理論研究，如經(jīng)典的特征值穩(wěn)定理論、臨界點(diǎn)穩(wěn)定理論等，較有影響的判定準(zhǔn)則有BUDIANSKY 和ROTH 提出的B-R 運(yùn)動準(zhǔn)則、能量準(zhǔn)則、李雅普諾夫(Lyapunov)穩(wěn)定理論判別準(zhǔn)則等[1]。 但從工程應(yīng)用的角度來看，現(xiàn)有的理論研究方法在實(shí)際應(yīng)用中均存在不同的限制條件。

為了預(yù)防既有建筑結(jié)構(gòu)安全性事故，大量工程建立了結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測系統(tǒng)。 結(jié)構(gòu)安全評估作為健康監(jiān)測系統(tǒng)的組成部分，可分為包括層次分析法、極限分析法的確定性方法和包括構(gòu)件可靠度分析法、體系可靠度分析法的可靠度分析方法[2]，但準(zhǔn)確、高效地利用海量監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析和安全評估還需深入研究。 RAFIEI 等[3]建立了基于深度學(xué)習(xí)的整體和局部結(jié)構(gòu)評估模型，以加速度頻譜作為深度限制波茲曼機(jī)的輸入，隱含層提取的特征用來確定結(jié)構(gòu)健康程度。 BAO 等[4-5]通過機(jī)器學(xué)習(xí)利用所獲數(shù)據(jù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)的損傷識別和狀態(tài)評估，提出了結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測數(shù)據(jù)科學(xué)與工程的研究方向。 朱宏平等[6]提出精準(zhǔn)復(fù)雜結(jié)構(gòu)精準(zhǔn)體檢技術(shù)，通過檢測關(guān)鍵局部區(qū)域結(jié)構(gòu)評估結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)。 賀海建等[7]以海口東站鋼結(jié)構(gòu)雨棚健康監(jiān)測為例，建立了單只傳感器的三級閾值預(yù)警。 楊淵等[8]基于長短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬評估了凱威特型(K6)網(wǎng)殼屋蓋結(jié)構(gòu)。 羅堯治等[9]和熊仲明等[10]以層次分析法為基礎(chǔ)運(yùn)用模糊綜合評價(jià)法對大跨度空間鋼結(jié)構(gòu)進(jìn)行了綜合評估。

突變理論是研究系統(tǒng)從一種狀態(tài)跳躍到另一種狀態(tài)的數(shù)理方法，非常適合于空間鋼結(jié)構(gòu)因構(gòu)件失效、承載能力驟降而失穩(wěn)的問題分析。 目前，該理論已在大壩、隧道等工程結(jié)構(gòu)中開展應(yīng)用研究，并取得了豐碩成果[11-13]。 通常，應(yīng)變速率作為反映結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性的指標(biāo)，在結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)中具有重要作用，關(guān)于鋼結(jié)構(gòu)應(yīng)變速率效應(yīng)的研究，陳俊嶺等[14]揭示了材料強(qiáng)度和彈性模量會隨著應(yīng)變速率的增加而提高。 但現(xiàn)有研究并未涉及應(yīng)變速率效應(yīng)對既有結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響，同時(shí)鮮見以結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測系統(tǒng)為依托針對空間鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性判據(jù)研究的相關(guān)文獻(xiàn)。

文章依托濰坊北站南站房為工程背景，基于突變理論建立空間鋼結(jié)構(gòu)桿件失穩(wěn)的尖點(diǎn)突變模型，推導(dǎo)出鋼結(jié)構(gòu)桿件失穩(wěn)動力學(xué)判據(jù)；采用主成分分析法對應(yīng)變傳感器監(jiān)測數(shù)據(jù)降維并提取結(jié)構(gòu)特征數(shù)值；利用突變級數(shù)法對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性進(jìn)行綜合評估，通過實(shí)例分析，驗(yàn)證了所提方法的有效性。

1 空間結(jié)構(gòu)穩(wěn)定判據(jù)理論

1.1 動力學(xué)模型反演

空間鋼結(jié)構(gòu)自由度較多，根據(jù)顯式物理量判別結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性更具有實(shí)際意義[15]。 外界荷載作用下結(jié)構(gòu)發(fā)生失穩(wěn)時(shí)，結(jié)構(gòu)單元應(yīng)變能發(fā)生突變，應(yīng)力、應(yīng)變將突然跳躍較大數(shù)值。 將應(yīng)變速率-時(shí)間序列作為結(jié)構(gòu)非線性動力模型的已知特解，反演出結(jié)構(gòu)應(yīng)變速率的非線性動力模型。

將應(yīng)變速率作為結(jié)構(gòu)動力學(xué)系統(tǒng)的變量X，動力學(xué)方程由式(1)表示為

式中f(X) 為結(jié)構(gòu)動力系統(tǒng)隨時(shí)間t變化的一般非線性函數(shù)。

由ti(i ＝1，2，…，m) 時(shí)刻監(jiān)測數(shù)據(jù)可得式(1)近似表達(dá)式，由式(2)表示為

假設(shè)式(1)為非線性多項(xiàng)式，設(shè)f(X) 由矩陣Q和相應(yīng)的A構(gòu)成，由式(3)表示為

式中Q為(n -1)× m階應(yīng)變速率矩陣，Q ＝；A為多項(xiàng)式相應(yīng)系數(shù)矩陣，

在所建立的模型中，僅A未知，因此可采用多項(xiàng)式擬合最小二乘法，即用殘差的加權(quán)平方和最小值的方法求解A。 采用多項(xiàng)式的最小二乘曲線擬合，可求得系數(shù)ai(i ＝0，1，2，3) ，得到3 階階次動力學(xué)方程，由式(4)表示為

1.2 突變理論

突變理論是分析事物狀態(tài)從一種狀態(tài)到另一種狀態(tài)跳躍變化的數(shù)學(xué)方法，突變理論包括7 種變換類型，尖點(diǎn)突變模型勢函數(shù)[16]由式(5)表示為

式中x為系統(tǒng)狀態(tài)變量；u、v為勢函數(shù)的控制變量。

尖點(diǎn)突變模型勢函數(shù)對系統(tǒng)狀態(tài)變量x的一階導(dǎo)數(shù)，由式(6)表示為

奇點(diǎn)滿足方程由式(7)表示為

由平衡方程和奇點(diǎn)可建立尖點(diǎn)突變模型，如圖1 所示。 分叉集曲線即Δ ＝0 為平衡曲面的褶皺處在(u，v) 平面上的投影。 當(dāng)分叉集Δ ＞0 時(shí)，方程只有1 個(gè)實(shí)根，即系統(tǒng)狀態(tài)變化是連續(xù)的，不會發(fā)生突變；當(dāng)分叉集Δ ＝0 時(shí)，方程有3 個(gè)實(shí)根，此時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)分叉集Δ ＜0 時(shí)，方程有3 個(gè)不相等的實(shí)根，系統(tǒng)狀態(tài)跨越分叉集發(fā)生突變，出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象。

圖1 尖點(diǎn)突變模型圖

1.3 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性判據(jù)推導(dǎo)

式中bi(i ＝0，1，2，3，4) 為待定系數(shù)。

據(jù)此，通過判別式(8)可定義空間鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性判定準(zhǔn)則:Δ ＞0 為穩(wěn)定狀態(tài)；Δ ＝0 為臨界狀態(tài)；Δ ＜0 為失穩(wěn)狀態(tài)。

1.4 突變級數(shù)法

突變級數(shù)法是基于突變理論演化出來的一種綜合評估方法，其計(jì)算步驟為:(1) 將結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分為若干指標(biāo)；(2) 選取合適的突變系統(tǒng)類型通過分歧方程歸一化公式定量計(jì)算指標(biāo)突變級數(shù)；(3) 確定結(jié)構(gòu)整體突變級數(shù)值[13]。

尖點(diǎn)突變模型可用于2 個(gè)指標(biāo)的綜合評估，通過聯(lián)立V′(x) 和V″(x)，即式(6)和(7)消去x，計(jì)算出尖點(diǎn)突變模型的系統(tǒng)分叉集方程，由式(12)表示為

假設(shè)評估目標(biāo)E分解為2 個(gè)指標(biāo)，表示為E?(xa，xb)。 通過式(12)可解出尖點(diǎn)突變歸一化公式，由式(13)表示為

式中a、b為E?(xa，xb) 中的控制變量。

利用歸一化公式進(jìn)行綜合評估計(jì)算突變級數(shù)值時(shí)需考慮非互補(bǔ)原則和互補(bǔ)原則。 對于非互補(bǔ)型指標(biāo)，即指標(biāo)間不存在相關(guān)性，按大中取小取值為min{xa，xb} ；對于互補(bǔ)指標(biāo)，即指標(biāo)間存在相關(guān)性，按平均值法取值為。

1.5 主成分分析

監(jiān)測系統(tǒng)布置大量的傳感器，監(jiān)測數(shù)據(jù)維數(shù)過多容易淹沒有效特征數(shù)據(jù)。 同時(shí)，采用突變級數(shù)法綜合評估時(shí)，指標(biāo)選取過多將會增加計(jì)算的復(fù)雜度和信息的冗余度。 主成分分析法可以從相互關(guān)聯(lián)的高維數(shù)據(jù)中提取有效特征，將高維相關(guān)變量轉(zhuǎn)變?yōu)榈途S線性無關(guān)的變量，實(shí)現(xiàn)對數(shù)據(jù)的降維[17]。 假設(shè)監(jiān)測數(shù)據(jù)有n個(gè)樣本、m個(gè)傳感器，且第j個(gè)傳感器對應(yīng)第i個(gè)測量為yij，則可構(gòu)造n × m維的矩陣Y，由式(14)表示為

采用Z-Score 對其標(biāo)準(zhǔn)化，標(biāo)準(zhǔn)化公式由式(15)表示為

計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化后數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣R由式(16)表示為

式中rij(i，j ＝1，2，…，m) 為標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)間的相關(guān)系數(shù)，滿足rij ＝rji。

求出監(jiān)測數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣R特征值λi及對應(yīng)單位正交特征向量，由式(17)表示為

式中ωi為特征值λi對應(yīng)特征向量。

計(jì)算方差貢獻(xiàn)率，由式(18)表示為

將各個(gè)主成分方差貢獻(xiàn)率相加計(jì)算得到其累計(jì)貢獻(xiàn)率，當(dāng)m個(gè)主成分方差累積貢獻(xiàn)率＞85%，說明提取特征可有效反映高維數(shù)據(jù)信息，則可得到主成分F，由式(19)表示為

式中Ω＝(ω1ω2…ωm)T為特征值對應(yīng)特征向量。

通過主成分的提取不僅將原始具有相關(guān)性的監(jiān)測數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性無關(guān)的特征數(shù)據(jù)，而且可以提取出與實(shí)際狀態(tài)變量相近的結(jié)果，因此很適合提取分析結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測數(shù)據(jù)。

2 工程實(shí)例

2.1 工程概況

濰坊北站屋蓋為大跨度空間桁架結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)使用年限為100 a，安全等級為一級。 抗震分區(qū)將屋蓋結(jié)構(gòu)分為4 個(gè)區(qū)域，東西向最長結(jié)構(gòu)單元為194 m、外懸挑最大長度約為38.5 m。 屋蓋構(gòu)件選用Q345B 鋼材，強(qiáng)度設(shè)計(jì)值為305 MPa、彈性模量為210 GPa。 為了保障結(jié)構(gòu)安全運(yùn)維，建立健康監(jiān)測系統(tǒng)對關(guān)鍵桿件實(shí)時(shí)監(jiān)測，并進(jìn)行狀態(tài)評估。 其南站房的屋蓋結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測系統(tǒng)中光纖光柵應(yīng)變傳感器共布置19 支，布置位置如圖2 所示。

圖2 測點(diǎn)傳感器布置圖

2.2 穩(wěn)定性分析

由于整體布置傳感器數(shù)量較多，文章選取南站房屋蓋結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測系統(tǒng)2019 年5 月1 日—6 月30 日應(yīng)變傳感器監(jiān)測數(shù)據(jù)分析研究，監(jiān)測數(shù)據(jù)如圖3 所示。 在此期間，結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測系統(tǒng)運(yùn)行正常，無傳感器損壞等故障，監(jiān)測數(shù)據(jù)可反映實(shí)際結(jié)構(gòu)監(jiān)測指標(biāo)參量。

圖3 屋蓋應(yīng)變監(jiān)測值圖

以測點(diǎn)W03B101 為例，監(jiān)測數(shù)據(jù)按式(2)求得應(yīng)變速率，測點(diǎn)W03B101 應(yīng)變速率見表1。

表1 測點(diǎn)W03B101 應(yīng)變速率

將應(yīng)變速率作為非線性動力學(xué)方程特解，按1.1節(jié)基礎(chǔ)理論反演出動力學(xué)方程，由式(20)表示為

對式(20)積分，得到的算式由式(21)表示為

對式(21)進(jìn)行Tschirnhaus 變換，得到的算式由式(22)表示為

式(23)為尖點(diǎn)突變模型標(biāo)準(zhǔn)形式，u＝-2.052 550、v＝3.174 264，則可得到判別式Δ ＝8u3＋27v2＝202.872 4，即Δ＞0，說明測點(diǎn)W03B101 位置處結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定的。 同理，可得其他測點(diǎn)判別結(jié)果，南站房屋蓋結(jié)構(gòu)測點(diǎn)處穩(wěn)定性的計(jì)算結(jié)果見表2。

表2 南站房屋蓋測點(diǎn)尖點(diǎn)突變模型勢函數(shù)系數(shù)及判別表

根據(jù)尖點(diǎn)突變理論建立模型對空間結(jié)構(gòu)屋蓋監(jiān)測結(jié)果進(jìn)行分析，由表2 可知，各測點(diǎn)應(yīng)變速率尖點(diǎn)突變模型的判別式Δ＞0，可以判斷南站房屋蓋結(jié)構(gòu)所有應(yīng)變測點(diǎn)處于穩(wěn)定狀態(tài)。 同時(shí)，結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測系統(tǒng)中各指標(biāo)監(jiān)測數(shù)據(jù)分析與數(shù)值研究均表明濰坊北站南站房的屋蓋結(jié)構(gòu)滿足穩(wěn)定性要求。 為了說明方法的適用性，以文獻(xiàn)[15]中凱威特型單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)分析驗(yàn)證。 由上述方法可得到結(jié)構(gòu)單元尖點(diǎn)突變模型標(biāo)準(zhǔn)形式:V(z)＝z4-19.425z2-8.16521z -158.448。 其中，u＝-19.425、v＝-8.165 21，則可得到判別式Δ ＝8u3＋27v2＝-158.448，即Δ＜0，說明結(jié)構(gòu)單元發(fā)生失穩(wěn)。

2.3 綜合評估

對空間結(jié)構(gòu)綜合評估時(shí)，因監(jiān)測數(shù)據(jù)較多易淹沒有效特征數(shù)據(jù)，因此采用主成分分析法降維并提取結(jié)構(gòu)特征數(shù)據(jù)。 根據(jù)式(15)～(18)提取主成分特征值及方差貢獻(xiàn)率見表3。

表3 主成分特征值及方差貢獻(xiàn)率表

由表3 可知，主成分F1和F2的貢獻(xiàn)率分別為75.857%和20.533%，累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)96.390%。 這說明F1、F2兩個(gè)主成分可以反映出應(yīng)變監(jiān)測數(shù)據(jù)96.390%的信息量，提取信息較為充分，有效降低了信息維數(shù)。 通過對監(jiān)測數(shù)據(jù)分析可知，第一主成分F1反映了屋蓋結(jié)構(gòu)測點(diǎn)W03B101、 W04B111、W05B102、 W05B103、 W05B202、 W05B203、W07A101、 W07A201、 W07C111、 W07C112、W07D112、W07D113、W09B102、W09B103 的應(yīng)變情況，第二主成分F2反映了屋蓋結(jié)構(gòu)測點(diǎn)W09B202、W09B203、W11G101、W10C001、W12B101 的應(yīng)變情況，可以看出屋蓋結(jié)構(gòu)右半?yún)^(qū)域應(yīng)變情況對屋蓋結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定狀態(tài)的影響占到75.857%，與有限元計(jì)算下的屋蓋受力分析得出結(jié)果相符。F1、F2兩個(gè)特征向量由式(24)和(25)表示為

式中y1～y19分別為不同測點(diǎn)應(yīng)變監(jiān)測數(shù)值，με。

在用式(13)評估之前，對指標(biāo)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，由式(26)表示為

式中q1、q2、q3、q4為標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間值；d1、d2、d3為指標(biāo)區(qū)間值，με。

依據(jù)GB 50017—2017《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)》[18]考慮Q345 鋼理論屈服應(yīng)變及結(jié)構(gòu)構(gòu)件實(shí)際受力性能，設(shè)定應(yīng)變指標(biāo)區(qū)間值和標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間見表4。

表4 指標(biāo)區(qū)間值表

以2019 年6 月30 日監(jiān)測數(shù)據(jù)為例，通過式(24) 和(25) 提取出主成分F1＝140.342、F2＝132.52，再通過式(26)對主成分?jǐn)?shù)值標(biāo)準(zhǔn)化，由式(27)和(28)表示為

由于提取出兩個(gè)主分量F1、F2滿足尖點(diǎn)突變模型、突變級數(shù)法2 個(gè)指標(biāo)的要求，運(yùn)用尖點(diǎn)突變模型歸一化公式(13)計(jì)算2 個(gè)指標(biāo)突變級數(shù)值，由式(29)和(30)表示為

由于提取主成分向量F1、F2線性無關(guān)，因此依據(jù)非互補(bǔ)原則求取突變級數(shù)值，由式(31)表示為

即其突變級數(shù)值為0.927。 同理，可求得其他時(shí)間突變級數(shù)值，由歷史監(jiān)測數(shù)據(jù)得到結(jié)構(gòu)突變級數(shù)值較大且基本穩(wěn)定，說明空間鋼結(jié)構(gòu)屋蓋整體穩(wěn)定性較好。

綜上分析，得出空間鋼結(jié)構(gòu)屋蓋穩(wěn)定性分析和綜合評估結(jié)果的一致性較好，尖點(diǎn)突變理論在空間結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析和綜合評估中具有適用性，同時(shí)驗(yàn)證了主成分分析在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測海量數(shù)據(jù)降維中具有有效性。 應(yīng)該指出，文章所提結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析方法是廣義上的穩(wěn)定，即結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的幾何突變。 該方法不僅適用于具有結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性評估，同時(shí)為既有建筑結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析和綜合評估提供了新思路。

3 結(jié)論

文章基于突變理論和空間鋼結(jié)構(gòu)應(yīng)變監(jiān)測數(shù)據(jù)，建立非線性動力學(xué)—突變模型，通過穩(wěn)定性判據(jù)分析空間結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，通過計(jì)算突變級數(shù)值進(jìn)行了綜合評估，得到以下結(jié)論:

(1) 空間鋼結(jié)構(gòu)受力具有非線性特征，通過分析結(jié)構(gòu)桿件的應(yīng)變速率來分析空間結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性是可行的。 基于突變理論對空間結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析進(jìn)行了初步探討，提出了通過應(yīng)變速率判別式Δ值的正負(fù)來判斷空間結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的方法。

(2) 采用主成分分析提取監(jiān)測數(shù)據(jù)特征并降維，與結(jié)構(gòu)有限元受力分析結(jié)果相符，并通過特征數(shù)據(jù)計(jì)算突變級數(shù)值來判斷空間結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定性。

(3) 結(jié)合濰坊北站工程分析空間結(jié)構(gòu)屋蓋穩(wěn)定性，采用尖點(diǎn)突變模型推導(dǎo)出的判別準(zhǔn)則和計(jì)算突變級數(shù)值的方法均表明空間鋼結(jié)構(gòu)屋蓋處于穩(wěn)定狀態(tài)，驗(yàn)證了所提方法的合理性。

(4) 所提出的空間結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性實(shí)用判別和綜合評估方法，不僅能夠判別結(jié)構(gòu)局部的穩(wěn)定性，而且能夠反映空間結(jié)構(gòu)整體隨荷載作用其突變級數(shù)值不斷變化的全過程，此方法適用范圍廣、工程應(yīng)用性強(qiáng)。