具有雙參數(shù)發(fā)展系統(tǒng)的隨機脈沖隨機集值微分系統(tǒng)的可控性

李文勝

(西安航空學院 理學院,西安 710077)

0 引言

微分包含作為微分方程和不等式的一種推廣,具有非常重要的意義。近幾十年來,微分包含有關理論得到了廣泛關注。Li等[1]探討了一類時滯依賴于狀態(tài)的脈沖中立型發(fā)展微分包含解的存在性

式中,A(t)是在Banach空間上定義的線性閉算子族,其產生雙參數(shù)發(fā)展系統(tǒng)U(t,s)。假設U(t,s)是緊且有界的,g是連續(xù)的,F是可測的,Li等[1]先將所給模型轉化成對應的積分方程,然后應用微分包含理論、雙參數(shù)發(fā)展系統(tǒng)結合凝聚映射不動點定理,在公理化的抽象的象空間B上證明了此類方程溫和解的存在性。

Malinowski和Michta[2]研究了隨機微分包含和集值微分方程之間的關系

F1和G1是非激勵集值隨機過程,作者利用微分包含結合隨機過程有關理論,在給定條件的基礎上,證明了所給方程解的存在性。文中集值微分方程的解是定義在由L×L隨機向量空間的非空、有界、閉凸子集構成的超空間。在此基礎上,證明了隨機微分包含對應的集值隨機微分方程的解,該結果能夠推斷出隨機微分包含問題的可解集,同時考慮隨機微分包含問題解的存在性。

Debbouche和Antonov[3]引入了脈沖控制包含條件的概念,即首次將脈沖條件作為多值映射和控制的包含條件。建立了巴拿赫空間中一類半線性Hilfer分數(shù)階微分控制包含的近似可控性概念。對于主要結果,Debbouche和Antonov[3]使用了不動點定理、集值映射結合算子半群理論,研究了對應的一類半線性Hilfer分數(shù)階微分包含的近似可控性。

Ahmad和Luca[4]討論了一類非局部邊界條件下序列分數(shù)階積分-微分方程及包含解的存在性。作者考慮了涉及黎曼-劉維爾積分和黎曼-斯蒂爾杰斯積分的Caputo型序列分數(shù)階積分微分方程和包含在非局部邊界條件下解的存在性。利用收縮映射原理和Krasnoselskii不動點定理來證明分數(shù)階方程中的兩個算子之和,以及非線性替代的Leray-Schauder類型來證明Kakutani映射,以及Covitz-Nadler不動點定理來證明分數(shù)階包含。最后,給出了一些例子來說明主要結果。

Ravichandran等[5]利用Krasnoselskii不動點定理和Leray-Schauder定理結合預解析算子和一些解析方法研究了一類巴納赫空間中時滯依賴狀態(tài)的分數(shù)階中立型積分微分系統(tǒng)精確能控性的新結果,并提供了一個應用程序來舉例說明這個概念。

Dineshkumar等[6]主要研究了Sobolev型分數(shù)階隨機積分-微分時滯包含的近似能控性。利用分數(shù)階微積分、多值映射、Bohnenblast和Karlin不動點定理的結果證明論文主要結果。首先,作者研究了模型的近似能控性,然后進一步討論了非局部條件的對應模型。最后,給出了一個應用實例來說明所得到的理論結果。文獻[7-12]從不同的角度對微分包含進行了研究。

本文在上述工作基礎上,研究了一類雙參數(shù)發(fā)展系統(tǒng)下具有時滯依賴狀態(tài)的隨機脈沖隨機集值微分方程

(1)

x0=φ

(2)

x(ξk)=bk(τk)x(ξk),i=1,2,…,n

(3)

1 預備知識

引理1.1[14]若為Caratheodory集值映射,且對任意給定的ψ∈B,SF,ψ={f∈L2(Rτ,H)∶f(t)∈F(t,ψ),t∈Rτ}是非空的,如果Γ∶L1(Rτ,X)→C(Rτ,X)為連續(xù)線性映射,則Γ°SG∶C(Rτ,X)→Pcp,cv(C(Rτ,X)),x→(Γ°SF)(x)=Γ(SG,x)是C(Rτ,X)×C(Rτ,X)上的閉圖算子。

引理1.2[15]Γ∶B→P(B)是上半連續(xù)的凝聚多值映射,其中B是Hilbert空間H中的有界凸子集,若對任給的x∈B,Γ(x)是B中的凸閉子集,則Γ在B中有一個不動點。

2 主要結果

定義2.1.Θt適應隨機過程{x(t)∶t0-r≤t≤T}稱為問題(1)～(3)的溫和解,當且僅當

討論具有雙參數(shù)發(fā)展系統(tǒng)的隨機脈沖隨機微分包含(1)～(3)解的可控性, 假定以下條件成立:

H4～H5類似于文獻[16]。

定理2.1.假設條件H1～H5成立。如果

(4)

則系統(tǒng)(1)～(3)是可控的。

證明:定義如下控制:

在賦予一致收斂范數(shù)的空間Y={u∈C(J,X)∶u(0)}=φ(0)上定義算子Γ∶Y→P(Y), 定義如下

第一步,Γ將B中的有界集映射成有界集。

首先證明Γ1將B中的有界集映射成有界集。

由此可得

同理可證明Γ2將B中的有界集映射成有界集,所以Γ將B中的有界集映射成有界集。

第二步,Γ2是全連續(xù)多值映射。

(ii) (Γ2B2)(t)={x(t)∶x∈Γ2(B2),t∈[t0,T]}是相對緊的。

t=t0時,Γ2(Br)(t)是相對緊的。當t0

令

因為U(t,s),(t>s)是緊的,Uε(t)={xε(t)∶u∈Γ2(Br),0<ε

當ε→0時,上式一致收斂于零。由此可知,存在相對緊集序列無限逼近于集合{u(t)∶u∈Γ2(Br)},所以,{x(t)∶x∈Γ2(Br)}是Y中的相對緊集。根據(jù)Arzela-Ascoli引理知Γ2是全連續(xù)集值映射。

第三步,Γ2有閉圖。

證明u*∈Γ2(y*),其中yn→y*,yn∈Br,un∈Γ2(yn),un→u*,如果un∈Γ2(yn),則存在fn∈SF,yn,使得對任給的t∈[t0,T],有

接下來證明存g*∈Sf,y*在, 使得

3 結語

利用時滯依賴狀態(tài)及隨機微分方程有關理論結合適當?shù)亩嘀涤成洳粍狱c定理,在滿足已知條件的基礎上,先將隨機脈沖隨機微分包含轉化成積分系統(tǒng),然后按照所給不動點定理證明了具有一類雙參數(shù)發(fā)展系統(tǒng)的隨機脈沖隨機集值微分方程解的可控性,此可控性的分析方法對同類集值微分系統(tǒng)解的可控性的研究具有一定的促進意義。