空間機械臂碰撞過程的模糊無模型自適應振動控制

浦玉學, 周潤閏, 陳 演, 張 方

(1.合肥工業(yè)大學 土木與水利工程學院,合肥 230009; 2.復旦大學 航空航天系,上海 200433;3.南京航空航天大學 機械結(jié)構(gòu)力學及控制國家重點實驗室,南京 210016)

近些年來,空間機械臂代替宇航員執(zhí)行輔助對接、目標搬運、在軌建設以及捕獲釋放等空間操作任務成為重要發(fā)展趨勢[1-2]。然而在空間機械臂執(zhí)行上述任務[3]時,尤其是在對接、捕獲過程中不可避免地與合作目標或非合作目標發(fā)生碰撞[4]。無論主動捕獲或被動碰撞均會引起機械臂瞬時動量急劇變化,機械臂桿彈性振動加劇,軌跡跟蹤精度降低,甚至會導致空間機械臂系統(tǒng)失穩(wěn)[5]。

空間機械臂碰撞過程的研究受到了廣泛關(guān)注。Wee等[6]針對完全剛性臂建立了空間機器人的動力學模型,基于最小碰撞沖擊的目標,研究空間機器人的軌跡優(yōu)化算法。Yoshikawa等[7]將空間機械臂與目標碰撞物混合體等價為一個彈簧阻尼系統(tǒng),進一步分析在碰撞過程中系統(tǒng)對于碰撞力的響應。董楸煌等[8]對漂浮基空間機械臂捕獲目標衛(wèi)星過程及捕獲后混合體系統(tǒng)響應進行動力學和控制分析。賈慶軒等[9]對空間機械臂在軌捕獲問題進行了碰撞分析,分析表明空間機械臂在碰撞過程中存在碰撞力矩可能超過電機承受力矩的問題。

目前關(guān)于空間機械臂碰撞過程研究主要以合作目標(衛(wèi)星捕獲)為研究對象,但對于非合作碰撞物(如太空碎片)與空間機械臂產(chǎn)生碰撞的研究較少。王文龍等[10]對航天器對接、捕獲技術(shù)進行綜述,提煉了捕獲非合作目標的八項關(guān)鍵技術(shù),給出在該領域開展研究的方向和建議。郭吉豐等[11]探討了空間非合作目標柔性捕獲機構(gòu)的研究進展,提出一步式消旋法更具有研究前景。然而隨著太空環(huán)境逐漸惡化,非合作碰撞物對空間機械臂的干擾不容忽視,尤其是碰撞引起的機械臂系統(tǒng)模型突變,導致空間機械臂的運動狀態(tài)與系統(tǒng)參數(shù)急劇變化且不可預測,給傳統(tǒng)基于精確模型參數(shù)的控制方法帶來嚴重挑戰(zhàn)。另外,空間機械臂的輕量化設計趨勢使得機械臂桿柔性變大,上述碰撞將引起機械臂桿產(chǎn)生較大的彈性振動[12],嚴重影響機械臂軌跡跟蹤和末端定位精度。由于非合作碰撞物的不確定性,如何采用非模型控制方法實現(xiàn)空間機械臂碰撞過程的軌跡跟蹤和振動控制逐漸成為研究熱點。

無模型自適應控制(model-free adaptive control, MFAC)指僅利用受控系統(tǒng)的輸入、輸出數(shù)據(jù)直接進行控制器的設計和分析,并能實現(xiàn)未知非線性受控系統(tǒng)的參數(shù)自適應控制和結(jié)構(gòu)自適應控制的一種控制理論與方法。MFAC算法具有算法簡單,計算量小的優(yōu)點,但對于步長因子和權(quán)重因子的取值較為敏感。對于空間機械臂碰撞過程的模型參數(shù)和振動響應急劇變化的情況,傳統(tǒng)無模型控制算法難以達到較優(yōu)的控制效果,因此設計合適的控制參數(shù)的在線自整定策略至關(guān)重要。

考慮到空間柔性機械臂碰撞過程模型參數(shù)的不確定性,本文建立空間機械臂與非合作碰撞物的碰撞過程動力學模型,并以此為控制對象。提出了模糊策略與無模型自適應控制相結(jié)合的模糊-無模型自適應控制(Fuzzy-MFAC)方法,對MFAC算法中步長因子與權(quán)重因子進行在線自整定,提高無模型自適應控制性能。

1 空間機械臂動力學模型

將空間機械臂作為研究對象,分別采用拉格朗日方程和牛頓-歐拉法建立空間機械臂和非合作碰撞物的動力學模型,然后基于動量守恒原理對兩者碰撞過程進行分析,根據(jù)其相互作用內(nèi)力關(guān)系,聯(lián)立兩者的動力學方程,得到機械臂-碰撞物混合系統(tǒng)綜合動力學模型。本章建立碰撞過程的空間機械臂動力學模型,為后文控制方法驗證和控制仿真試驗開展提供模型對象。

1.1 空間機械臂與碰撞物動力學模型

空間機械臂在軌運行與非合作碰撞物發(fā)生碰撞的運動過程,如圖1所示。碰撞模型由衛(wèi)星主體、空間機械臂與非合作碰撞物組成。

圖1 空間機械臂碰撞過程Fig.1 Collision process of space manipulator

為了簡化模型,將空間機械臂與衛(wèi)星主體相連的臂桿視為剛性臂,著重討論第二根柔性臂桿,并假設關(guān)節(jié)角轉(zhuǎn)動和彈性振動與非合作碰撞物的運動均發(fā)生在同一個平面上。建立坐標系,如圖2所示。OX0Y0為固定于關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)軸上的慣性坐標系,OX1Y1為機械臂發(fā)生彈性振動時的參考坐標系,始終與柔性機械臂的根部相切。m1,l1,ρ1,E1,I1,A1分別為柔性臂的質(zhì)量、長度、密度、彈性模量、對中性軸的慣性矩、橫截面積。τ為關(guān)節(jié)的驅(qū)動力矩,θ為柔性臂轉(zhuǎn)動角位移,ω(x,t)為柔性臂的彈性位移,J1為關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動慣量。m2和J2分別為非合作碰撞物的質(zhì)量和中心轉(zhuǎn)動慣量。

1.1.1 柔性機械臂模型

本文假設機械臂為均勻細長桿,等效為Euler-Bernoulli梁[13],在t時刻桿上任意一點P的橫向彈性變形可由假設模態(tài)法表示為

(1)

式中:qi(t)與Φi(x)分別為機械臂的第i階模態(tài)坐標和模態(tài)函數(shù);n為保留的模態(tài)項數(shù),此處取n=4。則P點相對于參考坐標系OX1Y1的矢量rp為

rp=x1eX1+ω(x1,t)eY1

(2)

同時eX1與eY1在慣性坐標系OX0Y0下可以寫為

(3)

均對t求導可得

(4)

(6)

機械臂的系統(tǒng)彈性勢能可以表示為

(7)

由于碰撞前機械臂系統(tǒng)與碰撞物之間無相互作用,則根據(jù)第二類拉格朗日方程可得柔性機械臂系統(tǒng)的動力學方程為

(8)

式中:M∈5×5為柔性機械臂系統(tǒng)的廣義質(zhì)量矩陣;H∈5×1為包含科氏力和離心力矢量;K∈5×5為系統(tǒng)剛度矩陣;τ為關(guān)節(jié)對柔性機械臂的作用力矩。

1.1.2 非合作碰撞物模型

對于非合作碰撞物的剛體系統(tǒng),可得非合作碰撞物的速度與對應廣義坐標速度的運動學關(guān)系為

(9)

式中:vt為非合作碰撞物在慣性坐標系下的線速度;α為非合作碰撞物質(zhì)心在慣性坐標系下坐標以及姿態(tài)角,α=(xt,yt,θt)T;Jt∈2×3為碰撞物的運動Jacobian矩陣。使用拉格朗日方程建立動力學方程為

(10)

式中:Mt∈5×5為非合作碰撞物系統(tǒng)的廣義質(zhì)量矩陣;Ct∈5×1包含科氏力和離心力矢量。

1.2 碰撞過程機械臂系統(tǒng)動力學分析

在碰撞的瞬時,機械臂與碰撞物同時受到?jīng)_擊力作用,則兩個動力學方程改變?yōu)?/p>

(11)

(12)

式中:Fp為機械臂末端所受到的沖擊力;Fp′為剛體系統(tǒng)所受外力。由牛頓第三定律可知,

Fp=-Fp′

(13)

則有

(14)

(15)

由于碰撞過程非常短暫,則Δt趨向于0,又碰撞力極大。做出假設,碰撞過程中系統(tǒng)廣義坐標并未發(fā)生明顯變化而廣義速度瞬時發(fā)生了變化,柔性臂系統(tǒng)與碰撞物系統(tǒng)的廣義質(zhì)量矩陣、Jacobian矩陣均為廣義坐標的函數(shù),則視為未發(fā)生明顯變化,令關(guān)節(jié)對柔性機械臂的作用力τ=0,再進一步積分可得

(16)

式中,左側(cè)為有限量,右側(cè)因為Δt趨向于0,則積分總和趨向于0,則式(16)可改寫為

(17)

非合作碰撞物與機械臂碰撞后的工況分為兩種情況:機械臂與非合作碰撞物碰撞后吸附;機械臂與碰撞物碰撞后彈開。

1.2.1 空間機械臂與非合作碰撞物碰撞后吸附

由兩者發(fā)生碰撞后發(fā)生吸附不再分開,則兩個系統(tǒng)速度相同有

(18)

聯(lián)立式(15)與(16)有

(19)

由此得到了碰撞過后系統(tǒng)的廣義速度公式,這體現(xiàn)了碰撞過程中沖量對系統(tǒng)運動狀態(tài)的影響,后文繼續(xù)進行碰撞后的動力學分析。

碰撞過后空間機械臂與非合作碰撞物發(fā)生吸附,成為一個整體,因此放在一起進行動力學分析,聯(lián)立兩個單獨系統(tǒng)的動力學方程

(21)

消去碰撞力Fp與Fp′,再由非合作碰撞物吸附在機械臂末端可整理得混合體系統(tǒng)動力學方程為

(22)

式中:Mz∈5×5為整體的廣義質(zhì)量矩陣;Hz∈5×1為交叉耦合矩陣;Kz∈5×5為剛度矩陣;G為作用力位置矩陣,G=(1,0,0,0,0)T。

1.2.2 空間機械臂與非合作碰撞物碰撞后彈開

空間機械臂與非合作碰撞物碰撞后彈開等同于機械臂在某一時刻受到一個瞬時碰撞產(chǎn)生外部沖擊力F,沖擊力矩為τa。令碰撞處產(chǎn)生一個虛位移δXa,機械臂的位置幾何關(guān)系為

δXa=Jδq

(23)

根據(jù)虛功原理,機器人系統(tǒng)的主動力、主動力矩對作用點的虛位移做功之和為零,即

(24)

聯(lián)立式(20)與(21)可得

τa=JTF

(25)

當機器人末端受到外部沖擊作用時,根據(jù)靜力平衡條件,機器人系統(tǒng)的碰撞動力學方程為

(26)

2 空間機械臂系統(tǒng)主動控制方法

目前,針對空間機械臂的控制方法大多為基于模型的控制[14],例如力矩補償法、阻抗控制等[15],這些傳統(tǒng)的控制方法需要得到系統(tǒng)精確的模型[16-17],而對于發(fā)生碰撞的機械臂系統(tǒng)而言獲取精確的模型參數(shù)很難實現(xiàn)。無模型自適應控制因其基于系統(tǒng)輸入、輸出數(shù)據(jù)進行控制器的設計特點,能夠適應于空間機械臂在太空工作時發(fā)生碰撞導致模型參數(shù)難以精確描述的情況,由此得到不依賴于柔性機械臂精確參數(shù)的MFAC算法是必要的[18]。

2.1 無模型自適應控制

MFAC算法是一種無需建立過程模型的自適應控制方法,即控制系統(tǒng)不考慮模型,也無需精確的碰撞過程定量知識。MFAC算法的優(yōu)勢在于只需要系統(tǒng)的輸入量與輸出量就可以對控制對象進行有效控制,其控制原理如下

τ(k)=τ(k-1)+

(27)

式中:τ(k)為柔性機械臂的關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩;ρ∈(0,1]是力矩步長因子,目的是使控制算法更具有一般性,λ>0是一個力矩權(quán)重因子,用來限制控制輸入量的變化;y*(k+1)為期望柔性機械臂關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動角速度;y(k)為實際的機械臂關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動角速度。

對于非線性系統(tǒng)而言,關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動角位移與關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩之間必定存在一個非線性關(guān)系,令

(28)

則當Δτ≠0時,一定存在一個偏導數(shù)ψ(k),且該偏導數(shù)滿足

Δy(k+1)=ψ(k)τ(k)

(29)

式中,ψ(k)的估計算法為

(30)

or |Δu(k-1)|≤ε

(31)

由偽偏導數(shù)方程和控制律方程可以得到無模型自適應控制器的設計不需要受控模型的具體參數(shù),僅使用受控系統(tǒng)的I/O數(shù)據(jù),其算法簡單,計算量小的優(yōu)點便于實現(xiàn)實時控制。但是由于MFAC算法對于步長因子和權(quán)重因子的取值較為敏感,不合適的初值會影響MFAC算法的控制性能。以空間機械臂為研究對象,使機械臂關(guān)節(jié)運動指令如下

(32)

式中:t0和tb為空間機械臂運動的起始時刻和終止時刻;θ0和θb分別為系統(tǒng)關(guān)節(jié)的起始位置和終止位置。設定θ0=0,θb=2π,運動時間tb=4 s,總仿真時間為10 s。無模型自適應控制參數(shù)ρ與μ對控制效果具有很大影響,為量化分析這種影響,控制器其他參數(shù)不變,取力矩步長因子ρ分別為0.1、0.2、0.3,混合體運動軌跡偏差如圖3所示。控制器其他參數(shù)不變,取偏導數(shù)權(quán)重因子μ分別為0.2、0.4、0.6,混合體運動軌跡偏差如圖4所示。

圖3 ρ與運動軌跡偏差關(guān)系Fig.3 Relationship between ρ and trajectory deviation

圖4 μ與運動軌跡偏差關(guān)系Fig.4 Relationship between μ and trajectory deviation

由此可以驗證合適的初值能夠提高MFAC算法的控制性能。由圖3可得,隨著ρ的增大,運動過程中跟隨誤差變大,末端振動變大,控制效果變差。由圖4可得,隨著μ的增大跟隨效果更優(yōu),但是收斂速度變慢,整體控制效果變好。因此,在MFAC算法中實時更新其中的參數(shù)是必要的。

2.2 模糊-無模型自適應控制器設計

MFAC算法需要在控制過程中實時更新參數(shù),而模糊策略能夠根據(jù)系統(tǒng)的輸入、輸出誤差在線調(diào)整控制系統(tǒng)的參數(shù)[19]。由此提出的模糊-無模型自適應控制(Fuzzy-MFAC)是在無模型自適應控制的基礎上實時更新無模型自適應控制的參數(shù),實現(xiàn)MFAC算法中的步長因子和權(quán)重因子進行實時在線整定。

模糊控制器的輸入為[y*(k+1)-y(k)]與Δy(k),即期望柔性機械臂關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動角位移對實際柔性機械臂關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動角位移差值E;實際柔性機械臂關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動角速度差值Ec。Δμ與Δρ為模糊控制器的輸出,作為無模型控制器的輸入對偏導數(shù)權(quán)重因子μ與力矩步長因子ρ進行修正,實現(xiàn)無模型控制器參數(shù)的實時整定[20]。基于Fuzzy-MAFC算法結(jié)構(gòu)框圖,如圖5所示。

圖5 模糊無模型控制器結(jié)構(gòu)框圖Fig.5 Fuzzy-MAFC controller block diagram

確定模糊化輸入、輸出變量及確定隸屬度函數(shù),則更新MFAC算法的參數(shù)為

(33)

式中:μ0與ρ0為柔性機械臂靜止時設置的初值;μ與ρ為修正過后的MFAC算法參數(shù);Δμ與Δρ為模糊控制器實時輸出的參數(shù)變化量。

模糊控制器的精度由設計的論域數(shù)值決定,本文將根據(jù)空間機械臂的結(jié)構(gòu)特點選擇適應的模糊輸入、輸出論域。使模糊控制器輸入變量的論域為[-0.6,-0.4,-0.2,0,0.2,0.4,0.6],輸出變量的論域為[-0.3,-0.2,-0.1,0,0.1,0.2,0.3];模糊子集的設定為[NB,NM,NS,ZO,PS,PM,PB],分別為負大、負中、負小、零、正小、正中、正大。其隸屬度函數(shù)如圖6所示。

(a) E、Ec隸屬度函數(shù)

(b) Δμ、Δρ隸屬度函數(shù)圖6 輸入輸出變量隸屬度函數(shù)Fig.6 Membership function of input and output variables

空間機械臂模糊控制規(guī)則具體為: 誤差偏大時,需適當縮小誤差,即E過大,則取較大Δμ與Δρ對誤差進行調(diào)整;誤差中等時,需適當縮小誤差,并避免縮小時出現(xiàn)過度調(diào)整,以確保響應速度,即E中等,則縮小Δμ;誤差偏小時,需保障穩(wěn)定性,避免狀態(tài)突變,即E過小,則取較小Δμ與Δρ對誤差進行調(diào)整。由此得到Δμ與Δρ的模糊控制規(guī)則,如表1、表2所示。

表1 Δμ的模糊控制規(guī)則表Tab.1 Fuzzy control rule table for Δμ

表2 Δρ的模糊控制規(guī)則表Tab.2 Fuzzy control rule table for Δρ

去模糊化即清晰化模糊推理所得理論[21],本文采用重心法進行解模糊,求解后得到輸出變量Δμ與Δρ。

(34)

(35)

式中,μi與ρi為各組元素的權(quán)重。模糊控制器所得輸出清晰量為Δμ與Δρ,再由式(33)可得對應的力矩步長因子ρ與偏導數(shù)權(quán)重因子μ。

3 數(shù)值分析仿真

對空間機械臂進行關(guān)于碰撞問題的仿真分析。將對同一被控對象在不進行任何控制(No Control)、僅使用傳統(tǒng)MFAC算法和使用Fuzzy-MFAC方法三種狀態(tài)進行仿真分析,揭示碰撞對于空間機械臂的影響,驗證Fuzzy-MFAC方法的優(yōu)越性。

仿真時設定空間機械臂與非合作碰撞物A、B的具體參數(shù)如表3所示。

表3 機械臂與碰撞物參數(shù)Tab.3 Manipulator and collider parameters

由機械臂參數(shù)可以分析得到機械臂第一階頻率為20.3 Hz。仿真過程中空間機械臂以式(36)所示軌跡進行運動

(36)

式中:t0和tb為空間機械臂運動的起始時刻和終止時刻;θ0和θb分別為系統(tǒng)關(guān)節(jié)的起始位置和終止位置。設定θ0=0,θb=π/2,運動時間tb=1 s,總仿真時間為10 s。

3.1 空間機械臂碰撞仿真試驗設計

為討論設計控制器對空間機械臂的控制效果,共設置三種空間機械臂與非合作碰撞物相碰撞的工況進行分析。在碰撞過程中碰撞物A會與機械臂碰撞后彈開,需較大的碰撞速度,設置為3 m/s,而碰撞物B在與機械臂發(fā)生碰撞后與機械臂發(fā)生吸附,碰撞速度較小,選取1 m/s的速度。

試驗一:0～0.5 s空間機械臂正常工作,在0.5 s時,碰撞物A以3 m/s的速度與空間機械臂垂直碰撞,并與空間機械臂彈開,機械臂繼續(xù)工作。

試驗二:0～0.5 s空間機械臂正常工作,在0.5 s時,碰撞物B以1 m/s的速度與空間機械臂垂直碰撞,并與空間機械臂吸附,機械臂繼續(xù)工作。

試驗三:工況三設計為較為復雜的情況,整個運動過程空間機械臂共有三種狀態(tài)。

階段一:在0～0.5 s時,空間機械臂以式(31)所示軌跡進行正常工作。

階段二:在0.5 s時,碰撞物A以3 m/s的速度與空間機械臂垂直碰撞,并與空間機械臂彈開,在0.5～2.0 s時,機械臂在受到碰撞后繼續(xù)運動。

階段三:在2.0 s時,碰撞物B以1 m/s的速度與空間機械臂末端垂直碰撞,吸附于空間機械臂末端。

3.2 碰撞仿真試驗結(jié)果分析

試驗一的仿真結(jié)果如圖7所示。

(a) 空間機械臂的末端轉(zhuǎn)角響應

(b) 時域曲線

(c) 頻域曲線

(d) 控制參數(shù)變化曲線圖7 試驗一仿真結(jié)果Fig.7 Simulation results of test one

由圖7可知,空間機械臂與碰撞物的碰撞會嚴重影響空間機械臂的正常工作,在未控制情況下機械臂產(chǎn)生了往復運動,而Fuzzy-MFAC方法仿真振幅衰減小于90%的時間為4.2 s,傳統(tǒng)MFAC算法仿真振幅衰減小于90%的時間為5.4 s,振動衰減速度提高了22%。對機械臂關(guān)節(jié)運動到位后的振動響應進行頻域分析,結(jié)果見圖6(c),可以發(fā)現(xiàn)Fuzzy-MFAC方法仿真結(jié)果相較于傳統(tǒng)MFAC算法仿真結(jié)果在第一階模態(tài)振動響應幅值降低了48%。

試驗二的仿真結(jié)果如圖8所示。

(a) 空間機械臂的末端轉(zhuǎn)角響應

(b) 一階模態(tài)變化時程

(c) 頻域曲線

(d) 控制參數(shù)變化曲線圖8 試驗二仿真結(jié)果Fig.8 Simulation results of test two

由圖8可知,MFAC算法對于模型的改變并不敏感,兩種控制方法的控制效能均良好。Fuzzy-MFAC方法仿真結(jié)果相較于MFAC算法仿真結(jié)果振幅衰減的速率提高32%,第一階頻率降低了46%。碰撞物吸附在機械臂末端,可以從頻響曲線上看出頻率降低到18.1 Hz。

試驗三的仿真結(jié)果如圖9所示。Fuzzy-MFAC方法仿真振幅衰減小于90%的時間為4.8 s,而傳統(tǒng)MFAC算法振幅衰減小于90%的時間為7.1 s,速率提高了34%,第一頻率降低了42%。可以看出在復雜工況下,Fuzzy-MFAC方法的優(yōu)點得到較好體現(xiàn),跟隨效果較優(yōu)且穩(wěn)定速度快。

(a) 空間機械臂的末端轉(zhuǎn)角響應

(b) 一階模態(tài)變化時程與頻域

(c) 頻域

(d) 控制參數(shù)變化曲線圖9 試驗三仿真結(jié)果Fig.9 Simulation results of test three

4 結(jié) 論

本文針對發(fā)生碰撞的空間機械臂系統(tǒng),研究其柔性臂桿的振動抑制。由于MFAC算法對參數(shù)初值的敏感性,使用模糊策略與傳統(tǒng)無模型自適應控制相結(jié)合,提出了Fuzzy-MFAC方法。其中,制定模糊規(guī)則使其能實時為無模型自適應控制更新權(quán)重因子與步長因子。

仿真結(jié)果表明,模糊-無模型自適應控制方法相較于傳統(tǒng)MFAC算法在振動抑制上有很大優(yōu)勢,振動衰減速率提高約34%,由頻域分析得到振幅減小約42%。Fuzzy-MFAC方法簡單、計算量小、反饋及時迅速的優(yōu)點恰能為空間機械臂的碰撞問題提供有效理論支撐,具備極大的應用潛力。