跨平面球體平衡器振動抑制機理的研究

陳延斌, 陳海衛

(1.江南大學 機械工程學院,江蘇 無錫 214122; 2.江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室,江蘇 無錫 214122)

轉子在線平衡技術是國內外研究的熱點與難點,其可分為主動式與被動式等不同形式。

主動在線平衡技術目前在高端機床與航空發動機等領域研究應用較多。張西寧等[1]設計了一種新的注排液式砂輪在線平衡頭, 解決了在線平衡過程中因平衡腔滿腔導致的平衡能力喪失問題,并提供了一種液體控制策略,包括初次平衡進程和相位注液控制進程兩部分。運俠倫等[2]以注液式平衡頭為研究對象,針對平衡腔型線展開研究,通過流體仿真分析,完成了容腔結構的優化設計。最后基于高速電主軸試驗臺,對其平衡效果進行了驗證。潘鑫等[3]對電磁滑環式平衡頭軸向勵磁方式進行改進,設計了一種基于徑向勵磁和永磁-電磁聯合驅動方法的新型平衡頭,并通過試驗驗證了其可行性和有效性。

被動在線平衡技術可分為液體式、球體式與擺錘式等多種,其中球體平衡器具有平衡效果好,結構簡單等優點,應用前景廣泛。目前球體平衡器多為平面型結構,如圖1(a)所示,球體被約束于一個或多個平面圓環滾道中。對于平面轉子而言,臨界轉速之上,由于“自動定心”作用,轉子幾何型心S將圍繞其等效質心C旋轉,此時球體所受離心力F存在分量Ft,會驅動球體向偏心C對側移動,從而對轉子偏心起到平衡作用。當偏心與平衡器位于同一平面時,該結構可實現轉子質徑積的平衡,但當平衡器與偏心異面時,由于平面的約束,單一平衡器作用有限,此時需借助多個平面型平衡器實現轉子質徑積與質徑矩的調節。郭文軍等[4]研究了具有兩組平面型平衡器的轉子結構制振特性及球體的運動規律。王志[5]分析了兩組平面型平衡器在不同轉速和不同偏心相位下的制振特性,指出了二階臨界轉速之上平衡器對質徑積與質徑矩的調節作用。Ehyaei等[6]建立了帶有n組平面型球體平衡器的轉子系統動力學模型,分析了系統動態響應與穩定性問題,研究了不同偏心分布情況下轉子的平衡問題。DeSmidt[7]建立了帶有兩組平面型球體平衡器的柔性轉子動力學模型,進而通過攝動法討論了系統穩態解的穩定性,指出了球體平衡器在柔性軸各階固有頻率之間的穩定區域。之后,還建立了帶球體平衡器的航發轉子模型[8],研究了平衡器在轉子突發失衡情況下的抑振機理,指出了球體平衡器應對突發失衡時正常工作的條件。Rodrigues等[9]討論了帶有兩組平面型球體平衡器的柔性轉子動力學行為,研究結果表明,平衡器對轉子質徑矩有一定平衡作用,可有效補償轉子軸線的偏移與傾斜。Tadeusz等[10]采用兩組平面型平衡器對柔性轉子進行振動抑制研究,考慮了平衡器間距及偏心圓盤位置等因素對轉子振動特性及穩定性的影響。Haidar等[11]考慮了平衡球間的碰撞與摩擦作用并建立了一種大長徑比柔性轉子振動模型,分析了平衡球碰撞對系統動態特性的影響。Chen等[12]建立了雙盤-雙平面型平衡器彈支柔性轉子系統的動力學模型,通過分岔理論分析了系統穩定性,并通過試驗驗證了高速穩定區中球體的平衡作用。

(a) 平面平衡器

(b) 本文跨平面結構圖1 球體平衡器原理Fig.1 Working principle of a plane balancer

事實上,球體具備沿轉子軸線方向跨平面運動的能力,如圖1(b)所示,臨界轉速之上,在偏心U的作用下,轉子圍繞支點AB同步進動,如將球體置于圓柱滾道,不難發現,球體所受離心力F存在分量Ft,其會驅使球體向偏心所在平面運動,可同時實現質徑積與質徑矩的調節,目前對這種平衡機理的研究缺乏。為此,本文將傳統平衡器的平面圓環滾道改為圖1(b)所示的圓柱滾道,增加球體沿轉子軸線方向運動自由度,從而可同時實現轉子質徑積與質徑矩的調節。在此基礎上,對這種跨平面平衡器的振動抑制機理進行了詳細分析。

1 動力學模型

帶跨平面球體平衡器的彈支轉子模型如圖2所示,其由一剛性軸和兩組彈性支承組成,軸上固定有兩組偏心盤和一組具有圓柱滾道的跨平面球體平衡器。考慮到高速條件下,球體所受離心力遠大于重力,這里忽略重力影響。建立圖2所示坐標系,其中參考系Og-XgYgZg固結于地面;動系Or-XrYrZr固結于轉子中心,其隨著轉子平移,但不隨轉子旋轉,采用[αβγ]描述動系相對參考系的姿態。

圖2 跨平面球體平衡器-彈支轉子模型Fig.2 Model of an elastically supported rotor with a cross-plane ball balancer

1.1 平衡球的動力學描述

平衡球在Or-XrYrZr中的位置矢量可表示為

rbi=[Rbcos(θ+φi)Rbsin(θ+φi)hi]T

(1)

式中:Rb為平衡球的旋轉半徑;φi為第i個球相對轉子的轉角;hi為球體在動系中的Z坐標,用于描述球體沿轉子軸向位置的變化。平衡球在參考系Og-XgYgZg中的絕對位置可表達為

sbi=x+Agrrbi

(2)

式中:x為動系原點的位移矢量;Agr為動系相對參考系的姿態矩陣。對式(2)求導,得球體的速度矢量為

(3)

(4)

式中

Mb=

(5)

式中,q=[xyαβφh]T,忽略α,β,φi,hi相關二次項,并設Sb=sin(φ+θ),Cb=cos(φ+θ),最終可得:

其中

式(5)中

1.2 偏心質量的動力學描述

依照1.1節步驟,得偏心質量動力學描述為

(6)

其中,q=[xyαβ]T,令Su=sin(φ+θ),Cu=cos(φ+θ),φ為偏心相對轉子的相位,為常量,推導得:

Mu=

Gu=

1.3 偏心盤、剛性轉軸與平衡器殼體的動力學描述

對于剛性轉軸和偏心盤等,同樣可運用式(5)所述方法建立其線性描述

其中:Jd為剛體繞X與Y軸的慣性張量;Jp為剛體繞Z軸的慣性張量,此時,fd=04×1。

1.4 轉子支承力與球體所受阻尼力的動力學描述

設轉子兩端采用線性彈簧阻尼部件支承,以其中一組支承結構為例,其剛度陣和阻尼陣可描述為

其中:k,c分別為X、Y方向支承剛度與阻尼系數;hs為支撐座Z向位置。最終,支承座廣義力可描述為

(7)

設平衡球在滾動過程中受到黏性阻尼力作用,其在軸向與圓周方向受到的阻尼力可表達為

(8)

1.5 轉子系統振動模型

分析討論過程中,跨平面平衡器中設置4個平衡球,將各部件動力學描述進行組裝,最終得系統整體模型如下

(9)

式中,q=[xyαβφ1φ2φ3φ4h1h2h3h4]T。

2 穩定性分析

2.1 系統平衡解分析

根據質量與質量矩平衡條件,當系統存在n組偏心時,若有m個平衡面,為實現轉子平衡,則在該m個平衡面中應添加的配重為[13]

(10)

設mbk、εbk(復數)分別為第k個平衡面中的配重質量與偏心位置,zbk為平衡面與參考面間的距離,mui、εui和zui分別表示第i個偏心的質量、偏心位置(復數)和相對參考面的距離。由于本文跨平面球體平衡器中設置4個平衡球,其軸向位置不確定,可形成多達4個平衡面,此時,式(10)存在無窮多組解,因而本文轉子系統平衡解不唯一。

2.2 系統穩定性分析

圖3 轉子Campbell圖Fig.3 Campbell diagram of the rotor

為確定平衡器的穩定與不穩定區,采用文獻[14]類似方法,應用Floquet理論對轉子周期解的穩定性進行判別。通過Poincaré映射將周期解轉化為Poincaré不動點,進而判別其穩定性。考慮如下方程

r(q(0))=FT(q(0))-q(0)=0

(11)

式中:q(0)表示某0時刻轉子系統的穩態解;FT(q(0))表示一個周期T=1/Ω后系統的解,采用4階Runge-Kutta法迭代求解。系統周期軌道的穩定性可由如下單值矩陣的特征值(Floquet乘子)確定

(12)

在圖2所示的模型中,設轉子兩端偏心盤相位分別為φu1=0,φu2=π/2,此時需同時對轉子質徑積與質徑矩進行平衡。考慮如下參數值:平衡球質量mb∈[0.000 5,0.005],穩態轉速Ω∈[0 80],其余參數取值如表1所示。

表1 轉子系統參數Tab.1 Parameters of the rotor system

首先討論mb=3 g情況下,系統隨轉速Ω的單參數分岔特性。圖4為轉子X向振幅隨轉速Ω的單參數分岔圖,圖中實線代表穩定的周期解,虛線代表不穩定的解。可看到,低速階段,系統周期解雖穩定,但轉子本身處于不平衡狀態;高速階段轉子X方向幅值基本為0,轉子處于平衡狀態;在中間轉速區間內,周期解不穩定。圖5(a)給出了Ω=15 Hz附近,某Floquet乘子隨轉速的變化情況,可見其沿著實軸穿越出單位圓,此時系統發生鞍結(SN)分岔,系統周期解也變得不穩定,圖5(b)給出了Ω=43 Hz附近,某對Floquet乘子的變化情況,可見,該對乘子從單位圓外部穿越入至內部,系統周期解也從不穩定轉為穩定。

圖4 轉子X向振幅隨轉速Ω的單參數分岔圖Fig.4 One-parameter bifurcation diagram showing variations of the vibration amplitude of the rotor with the increase of the rotation speed Ω

(a) 鞍結分岔

(b) Hopf分岔圖5 Floquet乘子穿越單位圓Fig.5 Variations of the Floquet multipliers

圖6給出了系統周期解隨平衡球質量mb與轉子轉速Ω變化時的雙參數分岔圖。圖中可分為穩定區Ⅰ、Ⅱ和不穩定區,其中穩定區Ⅰ為完全平衡區,此區域內,球體可實現轉子質徑積與質徑矩的完全平衡;穩定區Ⅱ為不平衡穩定區,此時平衡球質量不足或轉速過低,系統難以實現完全平衡,其具體可細分為穩定區Ⅱ1和Ⅱ2。在穩定區Ⅰ與穩定區Ⅱ1之間,系統發生了叉形分岔(BP),叉形分岔點處mb的取值為完全平衡系統偏心所需的球體最小質量。穩定區Ⅰ與不穩定區之間由Hopf分岔線分隔。不穩定區范圍分布較廣,圖中虛線給出了圖3中轉子各臨界轉速所處位置,可看出,不穩定區幾乎橫跨了一階臨界轉速到三階臨界轉速間的全部區域。當球體質量較低時,在一階臨界轉速和三階臨界轉速之間存在一小塊穩定區,但隨著平衡球質量的增大,該區域會消失,不穩定區會擴大。

圖6 球體質量mb-轉速Ω雙參數分岔圖Fig.6 Two-parameter bifurcation diagram upon variations of mb and Ω

圖7和圖8描述了球體質量mb=2.5 g情況下系統若干雙參數分岔圖。其中圖7(a)為轉子支承剛度k與轉速Ω的雙參數分岔圖。可看出隨著支承剛度k的增大,穩定區Ⅰ向高速區移動,這可能由于剛度k的增大使得轉子臨界轉速提升所致;不穩定區總體呈帶狀分布,其同樣隨著轉子支撐剛度的增大而向高轉速區移動。圖7(b)為支承阻尼c與轉速Ω的雙參數分岔圖,不難看出,支承阻尼對穩定區Ⅰ的影響較大,當c較大或較小時均會使得穩定區Ⅰ有所減小。圖8(a)為球體阻尼cb與轉速Ω的雙參數分岔圖。可見,球體阻尼對穩定區Ⅱ影響較小,但對穩定區Ⅰ影響較大,當cb降到0.01 N·s/m以下時,不穩定區快速向高轉速區擴張。圖8(b)為圓柱滾道軸向邊界hbm與轉速Ω的雙參數分岔圖,在高速區間內,穩定區Ⅰ與穩定區Ⅱ間存在叉形分岔邊界。可見hbm對低轉速區域的影響較小,而在高轉速區,穩定區Ⅱ將隨著hbm的減小而向高速區偏移。

(a) 支承剛度k-轉速Ω雙參數分岔圖

(b) 支承阻尼c-轉速Ω雙參數分岔圖圖7 支承剛度k-轉速Ω、支承阻尼c-轉速Ω雙參數分岔圖Fig.7 Two-parameter bifurcation diagram upon variations of k and Ω, variations of c and Ω

(a) 球體阻尼cb-轉速Ω雙參數分岔圖

(b) 平衡器軸向邊界hbm-轉速Ω雙參數分岔圖圖8 球體阻尼cb-轉速Ω、平衡器軸向邊界hbm-轉速Ω雙參數分岔圖Fig.8 Two-parameter bifurcation diagram upon variations of cb and Ω, variations of hbm and Ω

3 數值仿真驗證

圖9給出了Ω=60 Hz,mb=1 g條件下轉子系統的響應曲線,不難看出,安裝平衡器后系統穩態振幅和振動角度均有一定程度的減小,但并未降到0,這本質由平衡球質量過小導致,此時平衡器平衡能力不足。可見,仿真結果與圖6中穩定區Ⅱ1的特性一致。

(a) 振幅

(b) 振動角度圖9 Ω=60 Hz,mb=1 g時轉子響應曲線Fig.9 Dynamic response of the rotor when Ω=60 Hz and mb=1 g

圖10顯示了Ω=10 Hz,mb=3 g條件下轉子系統的響應曲線,此時系統處于穩定區Ⅱ2,從圖10可看出,安裝平衡器后系統的穩態振幅與角度均有明顯的增大,這反映出穩定區Ⅱ2中平衡器的反作用。

(a) 振幅

(b) 振動角度圖10 Ω=10 Hz,mb=3 g時轉子響應曲線Fig.10 Dynamic response of the rotor when Ω=10 Hz and mb=3 g

圖11顯示了Ω=60 Hz,mb=3 g條件下轉子系統的響應,系統處于穩定區Ⅰ中,不難看出,安裝平衡器后,系統穩態振幅與振動角度均降到0,實現了轉子質徑積與質徑矩的完全平衡。

(a) 振幅

(b) 振動角度圖11 Ω=60 Hz,mb=3 g時轉子響應曲線Fig.11 Dynamic response of the rotor when Ω=60 Hz and mb=3 g

圖12給出了Ω=30 Hz,mb=3 g條件下系統的響應,可看到,轉子振幅和振動角度不能保持穩定狀態,其本質由球體與轉子旋轉無法同步所致,這與圖6中不穩定區所對應的特性一致。

(a) 振幅

(b) 振動角度圖12 Ω=30 Hz,mb=3 g時轉子響應曲線Fig.12 Dynamic response of the rotor when Ω=30 Hz and mb=3 g

4 試驗分析

4.1 試驗裝置

為驗證上文理論結果,圖13(a)搭建了帶有跨平面球體平衡器的轉子試驗平臺,包括彈性支承、跨平面平衡器、偏心圓盤、電機與傳動部件等。彈性支承由4根剛度相同的彈簧組成,分別連接轉子軸承座和底座。平衡器由外殼和平衡球組成,其中外殼采用中空的圓柱形鋼化玻璃制作,兩端通過端蓋封閉,平衡球可沿轉子軸向和圓周方向自由運動。平衡器兩端設置兩個偏心盤,其相位分別為φu1=0,φu2=π/2。圖13(b)為測量設備,在轉子左右軸承座處各設置兩個加速度傳感器測量振幅,同時配合高速相機觀測平衡球穩態位置。

(a) 轉子試驗臺

(b) 測量設備圖13 試驗裝置Fig.13 Test setup

4.2 試驗結果與分析

圖14(a)、(b)顯示了Ω=50 Hz,mb=2.5 g條件下,平衡器安裝前后轉子系統的動態響應情況,該條件對應圖6所示的穩定區Ⅰ,可看出轉子系統的穩態振幅明顯減小。圖14(c)為高速相機觀測到的平衡球穩態位置,可見,雖然穩態階段平衡球位置較為分散,但左側與右側的平衡球分別與左右兩側的偏心對向分布。由式(10)解的多樣性,球體的穩態位置有無窮多種,圖14(c)所示僅為其中一種。

(a) 轉子左端振幅

(b) 轉子右端振幅

(c) 球體穩態位置圖14 Ω=50 Hz,mb=2.5 g條件下轉子的響應Fig.14 Dynamic response of the rotor when Ω=50 Hz and mb=2.5 g

圖15(a)、(b)給出了Ω=10 Hz,mb=2.5 g條件下轉子兩端的振幅曲線,該條件對應圖6中的穩定區Ⅱ,從測試曲線來看,此時平衡器并未起到振動抑制作用,甚至使得轉子振幅比未安裝平衡器的情況下大一些。從圖15(c)來看,球體并未向偏心對側移動,甚至有些球體移動到了偏心的同側,這會加劇轉子的不平衡。

(a) 轉子左端振幅

(b) 轉子右端振幅

(c) 球體穩態位置圖15 Ω=10 Hz,mb=2.5 g條件下轉子的響應Fig.15 Dynamic response of the rotor when Ω=10 Hz and mb=2.5 g

圖16給出了Ω=20 Hz,mb=2.5 g條件下轉子兩端的振幅曲線,該條件對應圖6中的不穩定區,不難看出,此時轉子兩端振幅會出現周期性的波動,這本質是由球體穩態位置無法與轉子同步所引起。

(a)

(b)圖16 Ω=20 Hz,mb=2.5 g條件下轉子的響應Fig.16 Dynamic response of the rotor when Ω=20 Hz and mb=2.5 g

綜合圖14～16的結果不難看出,實驗結果與理論結果一致。

5 結 論

本文提出了一種同時具有軸向與周向自由度的跨平面球體平衡器,并對其動態特性進行了研究。相較于傳統平面型球體平衡器,該類結構不僅可調節轉子質徑積,同時也可調節轉子質徑矩。在轉子一階臨界轉速到三階臨界轉速之間,該類平衡器存在一定范圍的不穩定區,轉子動態特性設計過程中應予以避免。當轉子轉速高于三階臨界轉速且球體質量足夠大的情況下,該類平衡器具備完全平衡轉子質徑積與質徑矩的能力。