圭表測距
——從初中物理第一課說起

歐建文 熊 慧 朱昌勇

(韶關學院智能工程學院物理系,廣東 韶關 512005)

物理學是一門注重實驗的科學,也是一門崇尚理性、重視邏輯推理的科學,它充分將邏輯性強的數學推理作為工作用語,探索發現自然界的奧秘. 廣袤的星空為物理學提供了天然的實驗室,很多自然規律都來自于對星空的觀測和測量. 中學物理第一課就涉及到了最基礎的長度測量,好奇的學生可能在不經意間會問出“太陽距離我們有多遠?”這樣的問題.

依靠先進的科技,對當代人來說這是一個常識;但是在科技落后的古代,它卻是個驚天之謎. 根據成書于公元前一世紀左右的《周髀算經》記載,我國古代數學家陳子對太陽的距離進行了測量.[1,2]

1 圭表測太陽高度

陳子在東周都城洛陽一帶立了一個八尺高的圭表,如圖1.[3]圭表是測量日影長度的天文儀器,由“圭”和“表”兩個部件組成. 垂直于地面的直桿叫作“表”;水平放置于地面上,帶有刻度用以測量影長的標尺叫作“圭”. 陳子在夏至這一天,用圭表測量到了日影長一尺六寸,并以此為基點,在正南方向一千里的地方,測量到表影長一尺五寸;而在正北方向一千里,日影長一尺七寸. 測量太陽高度的方法,原理如圖2所示.S表示太陽,AB和CD是相隔一定距離的兩個圭表,在同一時刻測量日影的長度,再利用幾何知識可以推算出太陽的高度.

圖1 圭表

圖2 圭表測太陽高度示意圖

方法1:設太陽高度SG=h千里,GF=k千里,圭表高度AB=CD=a千里,圭表一日影長BE=b千里,圭表二日影長DF=c千里,兩圭表距離BD=d千里. 計算矩形ABDC的面積為

矩形ABDC的面積也可以直接算得S?ABDC=AB·BD=ad.

得ab-ac+ch-bh=ad.

得到

h′=fa/b.

(1)

h′=ga/c.

(2)

所以

(3)

2 圭表測地球周長

局限于天圓地方的古代哲學思想,古人認為地球是平的,在天與地是平行平面的基本假設下提出太陽高度的測量原理. 現在,我們改變地球是平的基本假設,視地球是圓的,同樣利用圭表測日影的方法,經過簡單的幾何推導,可以測量地球的周長,見示意圖3.

圖3 圭表測量地球周長

太陽距離地球非常遙遠,陽光幾乎是平行傳播到地球,在洛陽測得太陽光與圭表之間的夾角∠1,洛陽往北一千里測得夾角∠2,通過平行關系得∠1′=∠1,∠3=∠4. 所以,兩地與地心連線之間的夾角等于兩地圭表測得的太陽高度角之差:∠4=∠3=∠2-∠1′=∠2-∠1.

在洛陽,八尺長的圭表,日影長度是一尺六,太陽高度角的正切值為8/1.6,對應的角度為78.6901°;洛陽往北一千里,日影長度變長到一尺七,太陽高度角的正切值為8/1.7,對應的角度為78.0031°;兩地太陽高度角之差為0.6870°,該角度的大小正比于從洛陽到正北方一千里地方的那部分地球的周長為

因此,地球周長為524.04千里. 注意:古代的千里與現代千里不同. 在不同的時期,古代長度度量單位的數值也是不一樣的,李德魯通過比對北回歸線與洛陽的距離,指出《周髀算經》的一里約為77米.[4]因此,524.04千里相當于現在的40351 km. 由圭表最后得到的地球周長為40351 km,與現在用軌道航天器精確測量的地球周長值40070 km,相差0.7%. 利用簡單的幾何和基本的科學推理,更改下天圓地方的觀念,就可以利用兩千多年前的圭表測日方法,測量出了精度在1%以內的地球周長.

3 結語

根據觀測和嚴密的邏輯推理,人們就能測量出整個地球的大小——這是中華傳統科技的魅力,也是物理學科的魅力. 隨著科技的進步,除了本文介紹的幾何方法外,還有更多的先進方法用于天體測量中. 地球大小的測量與地圖繪制、衛星定位等生產生活信息息息相關,其測量精度也不斷提高. 教師在教學過程中可鼓勵學生積極探索多種多樣的測量方法,不斷探索教學新方式、新方法.