在球坐標系中分析液體對球面的靜壓力

黃 亮

(重慶市南開中學校,重慶 400030)

中學教學中,在處理理想液體對球面的靜壓力問題時,多從“阿基米德原理”入手.依托實驗數據,關注整體效果.鮮有涉及壓力產生方式、作用原理、過程細節及影響因素,致使該處存疑較多.球面(球體、球臺、球缺等)作為基本幾何體,其所受液體壓力問題十分典型、基礎.是理論學習與工程實踐中的重要物理“元模型”,直接影響相關現象解釋與原理分析.

定性討論時,由球面幾何對稱性引申出的部分“結論”,也有待論證.以便師生了解推導過程,準確把握適用條件、應用范圍.為探尋新型教學方式提供理論依據.

球坐標系作為三維正交坐標系的一種,在運用其分析球面受力時,描述方式簡潔、變換過程靈活,符合學生的認知規律.利于師生將問題的探討引向縱深.

在物理問題中,球坐標系用徑向距離(位矢模長)r、極角(天頂角)θ、方位角φ確定空間中某點的位置,如圖1.以下沿用這一慣例.部分學科中,會采用(ρ,φ,θ)表示距離、天頂角、轉角等.需注意角的標記方式,切勿混淆.

圖1 球坐標的物理意義

用球坐標表示球面上某處的面積元素[1](面積元、面積微元)時,可比擬“切西瓜”和“分月餅”的場景,如圖2.從空間幾何的角度來幫助學生理解:將“西瓜”水平切出薄圓片→沿薄片半徑切出一個小扇面→扇面對應的“瓜皮”部分可認為是面積元素dS.

圖2 球坐標中的面積元素

用級數或雅可比行列式的推導結果相同,過程不作展開.

1 分析方法與步驟

分析液體靜壓力前,沿重力加速度g的負方向設z軸,取球心處為原點建立球坐標系,如圖3.令液體密度為ρ,球體半徑為R,球心O所在深度為h0,則球面的面積元素為:

圖3 球面所受液體壓力的分析

dS=R2sinθdθdφ

該面積元素所在處液體深度為

hS=(h0-Rcosθ).

靜止液體內部沒有相對運動,切向力為0.故面積元素上所受液體靜壓力FS為該處的法向力,數值上等于該處液體靜壓強(法應力)p與面積dS的乘積

FS=pdS=ρghSdS=ρg(h0-Rcosθ)R2sinθdθdφ.

Fs指向球心,將其沿x、y、z方向分解后分別討論.[2]積分區域D為球面的浸沒部分,用球坐標表示為

D={(r,θ,φ)|r=R,θ1≤θ≤θ2,φ1≤φ≤φ2}.

球面所受液體壓力的x方向分量(向Oxy平面投影得水平分量Fxy后再向x軸二次投影)為

(1)

y方向分量(向Oxy平面投影得水平分量Fxy后再向y軸二次投影)為

(2)

x、y軸滿足右手系原則,當z軸取定后,兩者的指向是任意的.且面積元的深度只與z軸相關.因此x、y方向上的規律具有相似性.因此可根據實際需要,令坐標系繞z軸旋轉至合適位置以方便討論.

z方向分量(向z軸投影)為

(3)

若為球形空腔盛裝液體類問題,面積元上的壓力元素方向背離球心,將FS取反即可,分析方法不變.

2 常用結論與規律

根據問題條件,確定浸沒部位球坐標(r,θ,φ)的取值范圍(積分區域D)后分別代入式(1)(2)(3)計算并討論.

2.1 完整球面浸沒

D={(r,θ,φ)|r=R,0≤θ≤π,0≤φ≤2π},

2.2 豎直半球浸沒

D={(r,θ,φ)|r=R,0≤θ≤π,0≤φ≤π}.

球冠所受壓力在y方向分量的大小等于球缺底面圓所受的液體壓力,兩者反向.z方向分量即為浮力,如圖4.推廣:

圖4 豎直浸沒的半球、球臺與球缺

(a) 浸沒球面的始末端關于y軸對稱時:φ1+φ2=nπ(n=1,3),∑Fx=0 ;始末端關于x軸對稱時:φ1+φ2=2π,∑Fy=0 ;且均與θ取值無關.

(b) 豎直球缺浸沒時,球冠與其底面圓在水平方向上所受液體壓力等大反向,在豎直方向上所受的液體壓力與浮力等大同向.

(c) 豎直球臺浸沒時,球冠所受液體壓力與兩底面圓所受壓力差等大反向,在豎直方向上所受的液體壓力與浮力等大同向.

物體浸入靜止流體中時,不會因液體壓力作用而發生“左右擺動”或“前后偏移”.說明水平方向上的液體靜壓力是平衡的.故2)中結論可向任意曲面推廣:浸沒曲面在水平某方向上受到的液體壓力分量,同曲面在與該方向垂直面上的正投影平面受到的液體壓力等大.

2.3 水平半球浸沒

上半球:D={(r,θ,φ)|r=R,0≤θ≤π/2,0≤φ≤2π}.

球冠所受壓力在z方向分量的大小等于球缺底面圓所受的液體壓力與浮力的差.方向沿z軸負向,如圖5.

圖5 水平浸沒的半球、球臺與球缺

下半球:D={(r,θ,φ)|r=R,π/2≤θ≤π,0≤φ≤2π}.

球冠所受壓力在z方向分量的大小等于球缺頂面圓所受的液體壓力與浮力的和.方向沿z軸正向.推廣:

(a) 水平球缺浸沒時,球冠與其底面圓在豎直方向上所受液體壓力差與浮力等大同向,在水平方向上所受的液體壓力合為零.

(b) 水平球臺浸沒時,球冠所受液體壓力在豎直方向與其兩底面圓所受壓力合與浮力等大同向,水平方向上所受的液體壓力合為零.

2.4 1/4球浸沒

圖6 1/4球浸沒的兩種典型情況

水平1/4球面,所受壓力在y方向分量的大小等于其豎直半圓面所受液體壓力(球面在Oxz面上的正投影為半圓);z方向分量的大小等于底部半圓面所受的液體壓力與浮力之差.方向沿z軸負向.

豎直1/4球:D={(r,θ,φ)|r=R,0≤θ≤π,0≤φ≤π/2},

豎直1/4球面,所受壓力在x、y方向分量的大小均等于其豎直半圓面所受液體壓力;z方向分量等于浮力.

2.5 1/8球浸沒

D={(r,θ,φ)|r=R,0≤θ≤π/2,0≤φ≤π/2},

圖7 1/8球浸沒

1/8球面,所受壓力在x、y方向分量的大小均等于豎直1/4圓面所受液體壓力(球面在Oxz面、Oyz面上的正投影均為1/4圓);z方向分量等于底部1/4圓面所受壓力與浮力之和.

3 典型問題的解析

例1.將半球形漏斗倒扣后緊貼水平桌面放置.從位于漏斗最高處的孔向內注水,如圖8(a).當漏斗內的水面剛好達到孔的位置時,漏斗浮起,水開始從下部流出.若漏斗內壁半徑為R,水的密度為ρ,重力加速度取g.試求漏斗質量m.

圖8 漏斗的受力分析

解析:漏斗浮起時,水對內壁壓力的豎直分量∑Fz等于其重力.如圖8(b).則漏斗質量為

在球坐標中很好地展現了內部液體對漏斗“托舉”作用的產生機理.漏斗浮起瞬時,“托舉力”與其重力平衡,將問題轉化為“同一直線上的二力平衡”.

例2.水池的豎直內壁上設置有一個半球形的玻璃觀察窗如圖9(a),窗體向池內凹陷且外半徑為R,池中液面距離觀察窗球心的豎直高度差為h0,水的密度為ρ,重力加速度取g,試求窗體受到的水的靜壓力.

圖9 觀察窗的受力分析

可見池水對觀察窗向球心“擠壓”“往外推”的同時也在“向上抬”,如圖9(b).隨著液面高度的增加,靜壓力愈加趨近水平.

4 結語

球坐標的建立方式遵循了人們在生活中以自身為原點對空間的觀察習慣,直觀樸素.與笛卡爾坐標能很好地換算,中學生容易接受.且由于球面所受液體靜壓力始終沿其切面的法線方向.因此,在球坐標中力的分析被簡化了.不論定量推算,還是定性分析,均顯得嚴謹、自然,并合乎物理學研究問題的一般方法.

此外,在球殼、球體的質心位置判斷、轉動慣量分析等力學問題中,以及帶電球面的場強、電勢討論等電磁學問題中,球坐標均有廣闊應用,提供了清晰簡明的觀察視角.

教學中,恰當引入球坐標的方法或思路,能激發學生的探究興趣,拓寬學科視野,有助于培育基本物理思想,提升其建構模型的意識和能力,[4]為進一步學習物理知識打好思維基礎.