基于MIMO 雷達降維酉求根MUSIC 算法角度估計?

尹大雨 章 飛 姬傳堂

（江蘇科技大學電子信息學院 鎮江 212100）

1 引言

多輸入多輸出（multiple-input-multiple-output MIMO）雷達［1~6］采用多個天線發射和接收相互正交的雷達信號，因此能夠產生虛擬陣元，擴大陣列孔徑，提高測量精度，從而引起了國內外學者的廣泛關注。近些年來，MIMO 雷達波達方向［7~11］（Direction of Arrival，DOA）估計問題一直是個熱點研究方向。文獻［12］研究了基于均勻線陣與非均勻線陣MUSIC 的相關算法，但需要譜峰搜索，計算量較大。文獻［13］提出了基于雙基地MIMO 雷達的求根MUSIC 方法，通過傳統求根MUSIC 算法分別估計出DOD 和DOA，雖避免了譜峰搜索，但當信噪比較低時，精度不高。文獻［14］采用了降維求根MUSIC算法，該算法雖然降低了計算維度，但還需要進行復值協方差矩陣的特征值分解和計算。文獻［15］通過酉求根MUSIC 算法，將協方差矩陣轉化為實值協方差矩陣，在文獻［13］的基礎上降低了運算量，但當陣元數較多時，計算量依然比較可觀。文獻［16］提出了一種單基地MIMO 雷達降維酉ESPRIT 的方法，降低了傳統ESPRIT 算法的計算量，但需要較多快拍數來提高角度估計精度。文獻［17］提出了波束空間算法，以減輕角度估計算法的計算負擔，且有著較好的效果。文獻［18］提出一種降維變換，用于通過合并MIMO 雷達虛擬陣列中的重復元素來降低MIMO 雷達角度估計的復雜性。文獻［19］提出了一種基于單基地MIMO 雷達波束空間降維MUSIC 空間譜的方法，該方法取得了較高的角度分辨率，但仍然需要進行譜峰搜索，計算量大。

針對均勻線陣MIMO 雷達MUSIC 算法存在譜峰搜索計算量大，本文提出了一種基于單基地MIMO 雷達均勻線陣的波束空間降維酉求根MUSIC算法。該算法在傳統MUSIC 算法的基礎上通過降維變換與波束空間方法對接收數據進行降維處理，接著酉變換構建實值協方差矩陣，然后進行實值特征值分解得到噪聲子空間。通過構建多項式，用多項式求根的方法來代替傳統MUSIC 算法中的譜峰搜索，多項式所得的根即是目標的DOA 估計。該方法不需要進行譜峰搜索，計算量大大減少。

2 單基地均勻線陣MIMO 雷達數據模型

考慮包含一個均勻線陣的單基地MIMO 雷達系統，如圖1 所示。發射陣列和接收陣列均是為間距半波長的均勻線陣，其中發射陣列包含M 個陣元，接收陣列包含N 個陣元。假設存在K 個不相關的信號，則接收陣列匹配濾波器的輸出信號為

圖1 單基地MIMO雷達示意圖

式中的θk為第K 個目標的角度估計A=[ar(θ1) ?at(θ1),…,ar(θk)?at(θk)]，ar(θk)和at(θk)分別是對應于θk的接收和發射導向矢量。ar(θk)?at(θk)表示Kronecker積；sk(t)=βkej2πfkt，fk是多普勒頻率，βk表示幅度；n(t)表示零均值方差為σ2IMN的MN×1 維的復高斯白噪聲向量。由L個快拍數構成的數據矩陣為

式中的矩陣X為X=[x(t1),x(t2),…,x(tL)]，S=[s(t1),s(t2),…,s(tL)]，N=[n(t1),n(t2),…,n(tL)]。

3 波束空間降維變換處理

接收-發射聯合導向矢量ar(θk)?at(θk)可以表示為

其中：

則矩陣A可表示為A=GB。

根據式（4），定義W=GHG，同時可以表示為

對于接收信號x(t)使用降維變換得

因為降維變換矩陣是稀疏矩陣且降維變換沒有引起色噪聲，所以變換帶來的計算復雜度很小。波束空間變換［20］也是降低計算復雜度的一種方法，將之用于式（6）。定義矩陣Q：

當θ?[θleft,θrig?t] ，假 設 波 束 形 成 矩 陣T?C(M+N-1) ×F由對應于矩陣Q 的較大特征值F（F

其中V=W(-1/2)GHn(t)，根據文獻［17］，式（9）中波束空間處理的波束形成增益定義為

式中A(θ)=ar(θ)?at(θ)，Z(t)?CF×1，V'=THV，由于THT=IF，V'是一個F×1 的高斯白向量，均值為0，方差為σ2IF。對于信號模型（9）協方差矩陣RZ可由L個快排得到即

信號子空間是由×QS的K個最大特征值所對應的特征向量組成。在無噪聲的情況下，信號子空間可以表示為QS=THBDS，其中DS為滿秩矩陣。可見信號子空間是THB的線性組合。噪聲子空間是由×Qn的F-K 個較小特征值所對應的特征向量所組成的，輸入信號所對應的轉向矢量位于信號子空間QS中，因此與噪聲子空間QS正交。

由此可得波束空間低復雜度MUSIC 空間譜如下：

4 酉變換實值協方差矩陣

顯然當RZ為中心厄密特矩陣時，具有RZ=這一性質。一般情況下，我們采用前后平均式的方法來改善角度估計可以得到：

其中JMN表示M×N維副對角線元素均為1，其余元素均為0的交換矩陣。對RQH進行酉變換處理

OMN為稀疏酉矩陣，其偶數維和奇數維分別為

由式（14）推導可知：

5 單基地均勻線陣MIMO 酉變換ROOT-MUSIC 算法

對實值協方差矩陣RU進行特征值分解：

式中US為P×P的對角矩陣，其對角元素包含P個較大的特征值；Un為對角元素較小的MN-P個特征值的對角矩陣；ES由P 個較大特征值對應的特征向量組成；En由余下的特征向量組成。由傳統ROOT-MUSIC 算法的原理可以求到單基地MIMO雷達的空間波束降維酉求根多項式：

令f(z)=0，即只需求出式（19）的N 個接近于單位圓上的根即可，也就是對于等距均勻線陣有

由式（20）可以估計出第i 個目標的DOA。結合以上理論分析，本文的方法步驟可以總結如下：

Step 1：根據單基地MIMO雷達搭建數據模型。

Step 2：對接收信號進行降維變換，即y(t)=W(-1/2)GH x(t)。

Step 3：基于式（8）構建波束空間變換矩陣T，利用波束空間處理獲得z（t）。

Step 4：對接收矩陣z（t）構造協方差矩陣RZ。

Step 5：對協方差矩陣進行酉變換處理。

Step 6：對實值協方差矩陣進行Root-MUSIC算法運算，估計出目標的DOA。

6 仿真實驗

本論文采用Monte Carlo 實驗來衡量算法的角度估計性能。定義均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）為

式中J=300表示Monte Carlo試驗次數，表示第J次實驗中θk的DOA估計值，θk為角度真實值。

本文采用的是均勻線陣的單基地MIMO 雷達，陣元間距為半波長，發射陣元數M=6，接收陣源數N=6，快拍數=300，存在3個信號目標其角度分別為θ1=10° ，θ2=30° ，θ3=45° 。實驗一：在信噪比SNR=5 的情況下對本文角度估計算法進行100 次仿真實驗，如圖2 顯示，可以看出本文算法能夠同時對多個獨立目標進行準確角度估計，且適用于低信噪比情況，無需進行譜峰搜索。

圖2 本文算法在SNR=5的角度估計

實驗二：3 個相互獨立的目標，信噪比由-5dB到20dB，間隔為5dB。圖3 中顯示的是本文算法與MIMO MUSIC 算法，ESPRIT 算法，UESPRIT 算法隨信噪比變動RMSE變化趨勢。表1則給出具體對比數據，可以看出，隨著信噪比的不斷增大，四種算法的均方根誤差都逐漸變小，且本文算法精度更高，更穩定。

表1 隨信噪比變化RMSE對比

圖3 角度估計精度與信噪比的變化趨勢

實驗三：3 個相互獨立目標信噪比均為5dB，收發陣元數均為6，進行蒙特卡洛實驗次數為300次，圖4 顯示了在各個算法下的角度估計均方根誤差與快拍數之間的關系，表2 給出了具體對比數據，可以看出各個算法隨著快拍數的增加均方根誤差逐漸減小。本文算法精度最高，且在快拍數低的時候有比MUSIC 算法，ESPRIT 算法和UESPRIT 算法更高的精度。

表2 隨快拍數變化RMSE對比

圖4 角度估計精度與快拍數的變化關系

實驗四：快拍數=50，信噪比=10dB，在陣元數分別為10、20、30、40的情況下進行300次蒙特卡洛實驗。圖5 顯示了在不同陣元數的情形下角度估計精度的變化趨勢，表3 給出了具體數據對比，可以看出，隨著陣元數的增加，各算法精度都在逐漸提高。在低陣元數的情況下本文算法有著比MUSIC算法，ESPRIT算法和UESPRIT算法更高的精確度。

表3 隨陣元數變化RMSE對比

圖5 角度估計精度與陣元數的變化關系

7 結語

針對均勻線陣單基地MIMO 雷達的角度估計問題。提出了一種基于波束空間降維酉變換的實值求根MUSIC 算法，該算法通過降維變換與波束空間方法對接收數據進行降維處理，采用酉變換的方式將一般協方差矩陣轉化為實值協方差矩陣，降低了特征值分解時計算的復雜度和運算量。仿真結果表明，在低信噪比，低快拍數的情況下，該算法有著比普通MUSIC 算法，ESPRIT 算法和UESPRIT算法更高的角度估計精度。