2PPaPaR并聯機構性能分析及優化設計

蒲志新 郭建偉 潘玉奇 白楊溪

遼寧工程技術大學機械工程學院,阜新,123000

0 引言

少自由度并聯機構因定位精度高、負載能力強、可操作性好等特點而被廣泛應用在工業領域中[1-2]。目前,3T1R并聯機構作為少自由度并聯機構中的一類,應用領域十分廣泛,因此對此類并聯機構的研究備受學者的關注。由PIERROT等[3]提出的四自由度并聯機構是在Delta機器人基礎上額外添加一條RUPU支鏈,從而增加了一組可繞固定軸轉動的自由度。然而添加的此條運動支鏈在高速運動過程中會產生較大的磨損,為解決這一問題,孔民秀等[4]針對Delta-4機構的設計缺點提出一種改進的機構,將RUPU支鏈中的移動副用四邊形連桿機構代替,有效地減小了傳動過程中的摩擦,并分析了機構運行的可靠性。文獻[5-8]介紹了一類由雙動平臺組成的3T1R并聯機構,使末端執行器的轉動范圍有較大的增大。

3T1R并聯機構的應用前景十分廣泛,故研究其性能指標并進行優化設計對促進其性能的提高具有重要意義。在滿足實際工況下可以通過遺傳算法、粒子群算法、蟻群算法等優化方法,對各項性能指標進行優化以達到更優的效果[9-10]。李菊等[11]提出了三平移并聯機構,以可達工作空間和能量傳遞效率為性能指標對機構進行參數優化設計。曾達幸等[12]基于主成分分析法對Delta機器人多維全域指標進行優化,驗證了主成分分析法在并聯機構尺寸參數優化求解中的有效性。周亞杰等[13]提出了一種具有高精度、高強度的3-PUS-PU柔順并聯機構,提出定位精度指標和緊湊性指標,對機構的幾何尺寸參數通過粒子群算法進行優化設計,從而獲得最優結構。

除此之外,并聯機構在結構上也向著結構對稱、構型簡單的方向發展。文獻[14-15]提出了一種由兩條對稱支鏈組成的并聯機構,本文根據此類機構設計一種新型的2PPaPaR并聯機構,以它為研究對象進行運動學分析,并以其可達工作空間、定位精度和可操作度為目標,通過粒子群算法對機構幾何尺寸參數進行優化設計。

1 機構分析

1.1 構型分析

2PPaPaR并聯機構簡圖見圖1,該機構由定平臺、動平臺和兩條對稱分布的PaPa支鏈組成,其中,Pa是指平行四邊形機構,由4個轉動副組成。以其中一條支鏈為例進行分析,支鏈上端平行四邊形機構(Pa)與主動移動副(P)相連接,沿直線導軌移動;支鏈下端平行四邊形機構(Pa)與繞豎直方向轉動的轉動副(R)相連接,兩條支鏈通過這兩個轉動副(R)與動平臺連接在一起;支鏈上端平行四邊形機構(Pa)與下端平行四邊形機構(Pa)通過共用的一根連桿,剛性地連接在一起。主動副共有4個,分別為移動副B1、B2和轉動副C12、C22。

(a)2PPaPaR并聯機構示意圖

(b)2PPaPaR并聯機構側視圖

(c)2PPaPaR并聯機構俯視圖圖1 2PPaPaR并聯機構的結構簡圖Fig.1 Structural diagram of the 2PPaPaRparalleling manipulator

建立并聯機構坐標系。定坐標系oxyz建立在定平臺的兩條平行導軌之間的起始端,原點o定義為兩導軌起始端連線中點;x軸方向由導軌的起始端指向終止端;y軸位于導軌開始端的連接線上,方向由第一支鏈指向第二支鏈;z軸位于導軌起始端連接線中點豎直向上。同時在動平臺的中心點處建立動坐標系px′y′z′,原點p位于動平臺中心,三個軸的方向在初始條件下與定坐標系的軸線方向相同。該并聯機構的結構參數如表1所示,其中i表示支鏈的編號,i=1,2。

1.2 自由度計算

各支鏈上運動螺旋的形式如圖1a所示。在支鏈1上,$11為移動副B1的軸線方向,$12為連接定平臺的四邊形機構,$13為連接動平臺的四邊形機構,$14為轉動副的轉動軸線;在支鏈2上,$21為移動副B2的軸線方向,$22為連接定平臺的四邊形機構,$23為連接動平臺的四邊形機構,$24為轉動副的轉動軸線。對該機構支鏈1進行分析,其運動螺旋系可以表示為

表1 2PPaPaR并聯機構結構參數

(1)

根據運動螺旋與約束螺旋互易積為0的概念,計算第一支鏈的約束螺旋,具體表示為

(2)

同理,對2PPaPaR并聯機構的支鏈2進行分析,其運動螺旋系可以表示為

(3)

對式(3)求其反螺旋,可得支鏈2的約束螺旋為

(4)

繼續對式(2)、式(4)進行反螺旋求解,可得該機構的自由度性質及數量:

(5)

由式(5)可以看出,該并聯機構具有4個自由度,并且在該并聯機構中,動平臺的運動方式為三移動一轉動,分別是沿x軸方向、y軸方向和z軸方向的移動以及繞z軸的轉動。

2 運動學分析

2.1 位置分析

位置分析的目的是為了找出輸入參數與輸出參數之間的關系,即分析主動副的輸入量(q1,q2,α1,α2)與動平臺的位姿(x,y,z,θ)之間的變換關系。通過分析2PPaPaR并聯機構的運動特性,可得定坐標系到動坐標系的轉換矩陣:

(6)

根據圖1、表1所建立的并聯機構坐標系以及結構參數的設置,可以得到點C12和點C22在參考坐標系oxyz中的坐標為

(7)

根據幾何關系,動平臺各個端點Ri在定坐標系oxyz中的坐標為

(8)

同時動平臺各個端點通過動坐標系到定坐標系進行旋轉變換,又可以得到另一種表達式,其端點Ri在動坐標系px′y′z′中的坐標為

(9)

將動平臺端點Ri在動坐標系px′y′z′中的坐標通過轉換矩陣轉換得到其在定坐標系oxyz中的另一種坐標表達式:

(10)

將式(9)代入到式(10)的轉換矩陣中可得

(11)

通過動平臺端點Ri在定坐標系中的兩種表達式,消去中間變量sinβi和cosβi,可以得到如下約束方程:

(12)

2.2 位置逆解

位置逆解是指當結構參數與動平臺位姿(x,y,z,θ)確定時,對主動副位置(q1,q2,α1,α2)進行求解。

(13)

M1=y-dcosθ/2+a/2

M2=y+dcosθ/2-a/2

N=z+n

2.3 位置正解

位置正解是指當結構參數與主動副位置(q1,q2,α1,α2)確定時,對動平臺位姿(x,y,z,θ)進行求解。

對約束方程式(12)解方程組可得4組關于位置正解的方程,經分析最終可以確定位置正解公式為

(14)

由式(14)可知,2PPaPaR并聯機構的運動學分析較為簡單。

2.4 正逆解算例驗證

為了驗證位置分析表達式的正確性,通過代入幾組數據列出算例,分別進行運動學正解和逆解的驗證。結構參數賦值如下:a=0.4 m,b=0.7 m,c=1.0 m,d=0.15 m,e=0.06 m,f=0.08 m,h=0.2 m,n=0.34 m。

根據式(13)、式(14)的運動學正逆解公式,通過MATLAB軟件進行編程,取三組動平臺位姿參數(x,y,z,θ)代入運動學逆解程序中,確定的主動副位置(q1,q2,α1,α2)如表2所示。然后將表2中求得的主動副位置(q1,q2,α1,α2)代入運動學正解程序中,可以求得動平臺位姿(x,y,z,θ)的三組解,如表3所示。

表2 位置逆解數值表

由表2與表3的數據可以看出,位置逆解算例和位置正解算例的結果相同,這驗證了2PPaPaR并聯機構的位置分析和正逆解公式的正確性。

2.5 工作空間

并聯機構的性能優劣在很大程度上取決于其工作空間的形狀及大小,因此并聯機構的工作空間求解是十分必要的。

工作空間的求解較為復雜,且求解方法眾多,其中基于位置逆解的求法是最為簡單、實用的。本文采用數值法對工作空間進行研究,其搜索過程如圖2所示。

圖2 工作空間搜索流程圖Fig.2 Workspace search flowchart

為了更直觀地了解2PPaPaR并聯機構,根據對并聯機構結構的分析,分別對其驅動副中移動副的移動距離和轉動副的轉動范圍進行以下約束:

(15)

2PPaPaR并聯機構相關的尺寸參數如表1所示,通過MATLAB編寫工作空間搜索程序,進而求解得到機構工作空間,結果如圖3所示。

圖3 2PPaPaR并聯機構的工作空間Fig.3 Workspace of a 2PPaPaR parallel agency

由圖3可以看出,2PPaPaR并聯機構的工作空間近似由x=0處動平臺中點能到達的區域沿x軸拉伸得到。該機構具有良好的工作空間對稱性,這也表明該機構在實際條件下能夠實現較好的位置調整功能。

3 奇異性分析

3.1 速度雅可比矩陣求解

速度雅可比矩陣是一個變換矩陣。建立各支鏈主動關節輸入速度與末端執行器輸出速度之間的映射關系,求得2PPaPaR并聯機構的雅可比矩陣的數學關系式為

(16)

從該并聯機構的構型參數中可以得到如下約束關系:

(17)

將式(17)對時間求導代入式(16)中,化簡得

(18)

(19)

可以得到機構雅可比矩陣為

(20)

3.2 正向奇異

對矩陣Ja和Jb求取行列式得

(21)

當|Ja|=0、|Jb|≠0時發生正向奇異,稱之為邊界奇異。由式(21)可知:

(22)

由式(22)求解可得,驅動桿CiDi與輸出桿EiFi的夾角γi=αi+βi中,至少有一條支鏈上的夾角γi=0或π。此時可分為三種情況進行討論。

情況一:當γi=0時,有|Ja|=0,此時并聯機構的第i條支鏈的驅動桿CiDi與輸出桿EiFi向內折疊至平行,如圖4a所示。

情況二:當γi=π時,也有|Ja|=0,此時并聯機構的第i條支鏈的驅動桿CiDi與輸出桿EiFi向外展開至平行,如圖4b所示。

(a)γi=0

(b)γi=π圖4 正向奇異Fig.4 Forward singularity

情況三:一條支鏈滿足情況一,另一條支鏈滿足情況二,此時機構會產生干涉現象。可以通過限制主動副C12和C22的轉動角度α1和α2來避免此類情況的發生。

3.3 逆向奇異

當|Ja|≠0、|Jb|=0時發生逆向奇異,稱之為位形奇異。由式(21)可知:

(23)

當式(23)成立時,同樣分三種情況進行討論。

情況一:結構尺寸d=0,即轉動副R1和R2間距離為0,此時并聯機構失去轉動自由度,因此此種情況不做考慮。

情況二:當sin(β1+β2)=0時,輸出桿E1F1與輸出桿E2F2之間的夾角δ=π-(β1+β2)=0或π,驅動桿CiDi與輸出桿EiFi不平行,逆向奇異如圖5a所示。通過在其結構參數之間添加a+2b≤2c+d的約束關系,可以有效避免此類情況的發生。

情況三:當cosθ=0,即動平臺轉動角度θ=±π/2時,逆向奇異發生,如圖5b所示,此類情況可以通過限制主動副B1、B2的相對位移來避免。

(a)δ=0

(b) θ=±π/2圖5 逆向奇異Fig.5 Reverse singularity

3.4 混合奇異

當|Ja|=0、|Jb|=0時,發生混合奇異,稱之為構形奇異,此時該機器人同時滿足正向奇異和逆行奇異兩種情況。受到機構的結構限制,此類情況很難實現。

4 性能指標分析

4.1 可達工作空間

可達工作空間性能指標可以直觀地表達機構的工作空間大小。通過對機構工作空間的求解,可以得到機構工作空間內點的個數Wi,搜索點的個數設為Q,則可達工作空間的性能指標WV為

(24)

WV越趨近于1,其可達工作空間性能指標越好,工作空間體積越大。

4.2 定位精度

定位精度是并聯機構重要的性能指標之一,對機構輸入速度的偏差與輸出速度的偏差進行運動學分析,可以得到誤差放大因子為

(25)

其中,誤差放大因子CJ可以代表機構的定位精度,CJ越小其定位精度越高;λmax、λmin分別為速度雅可比矩陣奇異值的最大值和最小值。

以x=1000 mm處y∈[-300,300]mm、z∈[-1800,-900]mm的二維平面為例,繪制定位精度指數分布情況,如圖6所示,可以看出定位精度具有對稱性,與機構結構特征吻合。

為衡量機構在工作空間全域下的定位精度,引入全局條件數:

(26)

4.3 可操作度

可操作度性能指標是指動平臺在可達位置工作空間內變化位姿的能力,是并聯機構性能分析中的重要部分。通過分析并聯機構的速度雅可比矩陣,選取可操作度評價指標ωJ作為并聯機構可操作度性能指標:

(27)

可操作度評價指標ωJ為1時,并聯機構的可操作度為最佳;若可操作度評價指標ωJ趨于0或者無窮時,機構趨向于奇異位置。再次取中間位置x=1000 mm處的平面,繪制可操作度指數分布如圖7所示,可以看到,可操作度指數也呈對稱性分布,且與機構特點相符。

圖7 可操作度指數分布圖(優化前)Fig.7 Actionability exponential distribution plot (before optimization)

機構在工作空間全域下的可操作度為

(28)

5 優化設計

5.1 數學模型建立

5.1.1設計變量

通過2PPaPaR并聯機構各性能指標分析可以看出,尺寸參數中,a、b、c、d(圖1和表1)對各性能指標的影響最為明顯,因此在優化設計中取尺寸參數a、b、c、d為設計變量。

5.1.2目標函數

對于并聯機構,在滿足設計要求的前提下,通常希望得到最大的工作空間和最優的工作性能。對于上節提出的可達工作空間性能指標、全域定位精度指標和全域可操作度性能指標,可利用參考目標距離法,將三個目標函數轉化為一個單目標函數,該方法類似于將多個目標進行同向化處理,應用簡單且廣泛。采用該方法可將目標函數定義為

(29)

式中,Zi為目標函數參考值。

5.1.3約束條件

根據2.4節對并聯機構結構參數的賦值,給出了2PPaPaR并聯機構各設計參數的尺寸約束范圍,如表4所示。

表4 設計參數的約束范圍

為了避開奇異位形和干涉情況,設計變量需滿足以下約束條件:

(30)

5.2 優化算例

粒子群優化(particle swarm optimization,PSO)算法是一種仿生算法,其全局收斂性與遺傳算法(genetic algorithm,GA)相近,但它具有更快的收斂速度,因此本文選用PSO算法作為優化方法。

利用粒子群算法進行優化求解時,其優化的結果會因為定義的參數不同而改變。經過不斷調試后,最終確定本次優化求解的參數配置如表5所示,通過MATLAB進行編程計算,目標函數收斂過程如圖8所示,最終得到的優化結果如表6所示。

表5 粒子群算法參數設置

圖8 目標函數隨迭代次數變化曲線Fig.8 Curve of objective function with number of iterations

表6 粒子群算法優化結果

由圖8可以看出,目標函數逐漸趨于某一固定值,并在之后保持不變,經過428次迭代優化結果達到最佳。

由表6可以看出,在運用粒子群算法對2PPaPaR并聯機構優化求解后,機構轉動副C12與C22之間的距離a和動平臺轉動副R1、R2之間的距離d都有所增大,從動桿的桿長b有所減小,通過計算,機構可達工作空間性能指標提高了53%,全域定位精度指標提高了74%,全域可操作度指標提高了46%,為機構尺寸參數設計提供了參考。

5.3 結果對比

由于機構在實際加工中,其精度和制造成本會受到限制,因此將優化后的設計參數圓整,得到一組新的機構參數為:a=430 mm,b=800 mm,c=1100 mm,d=400 mm。依據此參數重新對并聯機構的工作空間進行計算,結果如圖9所示。

圖9 機構優化后的工作空間Fig.9 The workspace after the organization is optimized

同樣取中間位置x=1000 mm處的二維平面,繪制優化后的定位精度指數分布如圖10所示。對比圖6可以發現,定位精度指標得到了明顯的提高,在工作空間內均小于8.5。

圖10 定位精度指數分布圖(優化后)Fig.10 Positioning accuracy index distribution (after optimization)

圖11所示為尺寸優化后機構的可操作度指數分布情況,可以發現整個平面在x=1000 mm處的可操作度均趨近于1,對比圖7可以發現其可操作度性能也得到了明顯提高。

圖11 可操作度指數分布圖(優化后)Fig.11 Actionability exponential distribution plot (after optimization)

6 結論

(1)提出了一種新型的3T1R并聯機構,該機構具有結構簡單、構型對稱、工作空間大、靈巧度好等特點。

(2)建立了機構的運動學模型,基于閉環矢量法求解了其運動學的正逆解,然后求解了工作空間,并對機構的奇異性進行分析。

(3)分析了機構的可達工作空間性能指標、定位精度指標和可操作度性能指標,并利用粒子群算法以三個指標為目標函數,對機構的結構尺寸進行了優化設計,得到了較優的機構尺寸參數,同時機構的性能指標有了明顯提高,為樣機的搭建奠定了基礎。