登月火箭剩余運(yùn)載能力估計(jì)與停泊軌道重規(guī)劃

王 聰，王勁博，宋征宇

(1. 北京航天自動(dòng)控制研究所，北京 100854；2. 中山大學(xué)系統(tǒng)科學(xué)與工程學(xué)院，廣州 510275；3. 中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076)

0 引 言

載人登月任務(wù)的第一步是利用運(yùn)載火箭將載人飛船送入地月轉(zhuǎn)移軌道,火箭2 000余秒的飛行時(shí)間相較于地月轉(zhuǎn)移軌道約120小時(shí)的飛行時(shí)間,占比小于0.5%,卻為飛船提供了95%以上的能量,因此,運(yùn)載火箭的飛行控制精度和可靠性是載人飛船進(jìn)入環(huán)月軌道的重要前提。相比于無人月球探測任務(wù),航天員的安全性要求尤為突出,從運(yùn)載火箭制導(dǎo)控制的角度,在非致命故障下合理利用剩余運(yùn)載能力,對(duì)火箭飛行軌跡進(jìn)行重規(guī)劃,將載人飛船安全送入停泊軌道等待救援或自主返回,是載人登月火箭不可或缺的能力。

當(dāng)動(dòng)力系統(tǒng)出現(xiàn)輕微故障時(shí)(如推力微小幅度下降)[1],火箭仍可繼續(xù)采用迭代制導(dǎo)、動(dòng)力顯式制導(dǎo)[2]等經(jīng)典閉環(huán)制導(dǎo)方法進(jìn)入目標(biāo)軌道。然而,如果故障程度較大以至于目標(biāo)軌道不可達(dá),則傳統(tǒng)制導(dǎo)方法無法適用。在這種情況下,新的自主制導(dǎo)方法需要充分利用火箭剩余能量,將載荷送入較低或不同軌道面的救援軌道,這就涉及到運(yùn)載火箭故障后的在線運(yùn)載能力評(píng)估與任務(wù)、軌跡重構(gòu)。

美國SLS Block-1B火箭采用了離線仿真裝訂和在線查表評(píng)估的方式來提高其非致命故障條件下的魯棒性[3]。然而,這種方法僅適用于有限的故障模式,且在復(fù)雜故障條件下,在有限數(shù)據(jù)庫中查表擬合的重構(gòu)軌跡勢(shì)必不是最優(yōu)的,甚至是不可行的。近年來,在計(jì)算制導(dǎo)與控制(Computational guidance and control, CG&C)新范式的牽引下[4],眾多學(xué)者提出,采用在線重構(gòu)優(yōu)化的方式同時(shí)確定火箭剩余運(yùn)載能力、降級(jí)軌道和后續(xù)制導(dǎo)策略。Song等[5-6]針對(duì)衛(wèi)星發(fā)射任務(wù),提出了基于狀態(tài)觸發(fā)(State trigge-red indices, STI)的在線軌跡優(yōu)化方法,用以解耦軌道根數(shù)帶來的復(fù)雜終端約束并提高計(jì)算效率。通過求解一系列保真度和復(fù)雜度越來越高的子問題,可同時(shí)得到與目標(biāo)軌道最接近的降級(jí)救援軌道根數(shù)以及對(duì)應(yīng)的后續(xù)飛行軌跡。結(jié)合基于迭代制導(dǎo)的剩余能力評(píng)估以及STI方法,Song等[7-8]進(jìn)一步構(gòu)造了較為完整的運(yùn)載火箭自主任務(wù)重構(gòu)策略,盡可能將載荷送入原目標(biāo)軌道。考慮大氣層內(nèi)的上升段飛行,Ma等[9]基于改進(jìn)的Chebyshev-Picard迭代方法和投影牛頓法,提出了一種高效的制導(dǎo)方法來應(yīng)對(duì)火箭推力下降故障,可同時(shí)給出降級(jí)停泊軌道和對(duì)應(yīng)的制導(dǎo)指令。利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)大的非線性擬合能力,何驍?shù)萚10]提出了一種離線訓(xùn)練、在線擬合的輕量化重構(gòu)方法,一方面可直接用于入軌能力評(píng)估和在線任務(wù)重構(gòu),另一方面其計(jì)算結(jié)果可用于熱啟動(dòng)在線軌跡優(yōu)化算法[11]。不同于單飛行段易于在線數(shù)值求解,Wang等[12]提出了跨滑行段的動(dòng)力-滑行-動(dòng)力制導(dǎo)重構(gòu)方法,通過簡化問題,僅采用牛頓迭代即可快速收斂到可行解,對(duì)發(fā)射太陽同步軌道載荷具有較好的效果。

基于凸優(yōu)化的方法是在線軌跡優(yōu)化研究領(lǐng)域的一個(gè)重要分支,得益于底層計(jì)算快速、可靠的收斂特性,凸優(yōu)化方法在近年來被廣泛應(yīng)用于運(yùn)載火箭上升段、飛行器再入、火箭著陸、空間交會(huì)對(duì)接等問題的軌跡規(guī)劃與在線制導(dǎo)[13-14]。對(duì)于運(yùn)載火箭任務(wù)及軌跡重構(gòu)問題,Hao等[15]提出一種迭代二階錐規(guī)劃算法來生成半長軸最大的救援軌道,其設(shè)計(jì)了兩層迭代策略,外層迭代用于搜索救援軌道的入軌點(diǎn)緯度輻角,使得內(nèi)層迭代中終端約束的非線性程度得以下降,進(jìn)而可采用內(nèi)點(diǎn)法高效求解。Li等[16]提出了結(jié)合無損凸化和序列凸化的火箭在線軌跡重構(gòu)方法,并針對(duì)不同推力故障下降程度建立了對(duì)應(yīng)的性能指標(biāo)和終端約束模型,以提高在線計(jì)算效率。Miao等[17]提出引入虛擬控制來補(bǔ)償火箭推力故障下降造成的加速度損失,并采用凸優(yōu)化方法確定火箭在當(dāng)前故障條件下能否進(jìn)入目標(biāo)軌道。

現(xiàn)有研究多針對(duì)衛(wèi)星發(fā)射任務(wù),討論如何在故障下盡可能將載荷送入原目標(biāo)軌道,或在能力不足時(shí),將載荷送入最接近原目標(biāo)軌道的救援軌道,再通過載荷消耗燃料和壽命的方式變軌,從而完成原定任務(wù)。然而,該設(shè)計(jì)思想并不適合載人登月火箭,若在較嚴(yán)重故障下將載人飛船送入遠(yuǎn)地點(diǎn)、軌道傾角或近地點(diǎn)幅角不滿足入軌精度要求的救援軌道,則載人飛船將無法通過軌道中途修正進(jìn)入月球引力影響球;同時(shí),大橢圓救援軌道周期長,航天員將被迫飛向幾萬甚至十幾萬千米外的遠(yuǎn)地點(diǎn),風(fēng)險(xiǎn)更大。更適合的救援方式是在快速評(píng)估剩余運(yùn)載能力不能進(jìn)入原目標(biāo)軌道后,通過重規(guī)劃控制火箭進(jìn)入近地停泊軌道,既便于地面監(jiān)測,也滿足載人飛船自主返回的初始狀態(tài)。

本文針對(duì)推力下降故障,研究了基于剩余運(yùn)載能力估計(jì)的登月火箭停泊軌道重規(guī)劃方法,解決剩余運(yùn)載能力的準(zhǔn)確快速評(píng)估和飛行軌跡可靠在線重規(guī)劃的難題。第1節(jié)描述運(yùn)載火箭從起飛到入軌的全過程運(yùn)動(dòng)模型和約束條件;第2節(jié)結(jié)合地月轉(zhuǎn)移軌道特點(diǎn)和火箭構(gòu)型,介紹剩余運(yùn)載能力估計(jì)方法;第3節(jié)提出基于狀態(tài)觸發(fā)的停泊軌道重規(guī)劃方法,并給出了基于地心角估計(jì)的初始猜想凸優(yōu)化方法;第4節(jié)設(shè)計(jì)了上升段全程飛行軌跡,并通過數(shù)值仿真分析了推力下降故障下的剩余運(yùn)載能力和軌跡重規(guī)劃結(jié)果;第5節(jié)總結(jié)全文。

1 運(yùn)載火箭上升段問題描述

本節(jié)以典型的三級(jí)半構(gòu)型運(yùn)載火箭為對(duì)象,針對(duì)起飛到入軌全飛行剖面的特點(diǎn),分析助推、一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)一次、滑行和三級(jí)二次飛行段的初始狀態(tài)、終端狀態(tài)和過程約束條件,并給出相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)。

1.1 上升段飛行剖面分析

1)助推飛行段

首先考慮出塔安全,需要先垂直上升飛行,在確保出塔的情況下,定時(shí)進(jìn)入程序轉(zhuǎn)彎飛行。考慮火箭在大氣層內(nèi)飛行,除推力外,需要考慮氣動(dòng)力對(duì)箭體的作用,同時(shí)考慮飛行過程中的彎矩約束條件,避免由于載荷過大導(dǎo)致結(jié)構(gòu)受損,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)程序轉(zhuǎn)彎過程角速度變化率的約束。

2)一級(jí)飛行段

芯一級(jí)飛行段運(yùn)動(dòng)方程約束、飛行過程中的彎矩約束與助推段一致。本飛行段初始時(shí)間和速度位置與助推段終端一致,初始質(zhì)量為助推段終端質(zhì)量拋掉助推器后的剩余質(zhì)量。

3)二級(jí)飛行段

考慮運(yùn)載火箭在芯二級(jí)飛行段將飛出大氣層,可忽略氣動(dòng)力對(duì)箭體運(yùn)動(dòng)的作用,并具備拋掉整流罩的條件,不需要考慮彎矩約束,采用傳統(tǒng)的相對(duì)定時(shí)拋罩策略對(duì)拋罩時(shí)間進(jìn)行約束。本飛行段初始時(shí)間和速度、位置與芯一級(jí)飛行段終端一致,相應(yīng)的初始質(zhì)量為芯二級(jí)火箭的總質(zhì)量。

4)三級(jí)一次飛行段

考慮載人登月任務(wù)對(duì)航天員安全性的要求,三級(jí)一次飛行段的終端條件需滿足停泊軌道要求。本飛行段初始時(shí)間和速度、位置與芯二級(jí)飛行段終端一致,初始質(zhì)量為三級(jí)火箭的總質(zhì)量。

5)滑行段

滑行段為無動(dòng)力飛行段,本飛行段初始時(shí)間和狀態(tài)與三級(jí)一次終端一致,需要考慮三級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)二次點(diǎn)火預(yù)冷時(shí)間和最長滑行時(shí)間的約束條件。

6)三級(jí)二次飛行段

三級(jí)二次飛行段的終端目標(biāo)是地月轉(zhuǎn)移軌道,本飛行段初始時(shí)間和狀態(tài)與滑行段終端一致,運(yùn)動(dòng)方程約束、終端質(zhì)量約束與三級(jí)一次一致。

飛行剖面與約束條件的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖1所示。

圖1 飛行剖面與約束條件Fig.1 Flight profile and constraints

1.2 初始狀態(tài)約束

(1)

其余各飛行段的初始狀態(tài)與上一飛行段的終端位置矢量和速度矢量相等,上標(biāo)j依次對(duì)應(yīng)一級(jí)到三級(jí)二次各飛行段。

(2)

一級(jí)飛行段質(zhì)量初值為拋掉助推后的火箭剩余質(zhì)量,二級(jí)和三級(jí)一次飛行段質(zhì)量初值與燃料加注量相關(guān),在忽略沉底、預(yù)冷、姿控發(fā)動(dòng)機(jī)燃料消耗的假設(shè)條件下,滑行段和三級(jí)二次飛行段的質(zhì)量初值等于三級(jí)一次終端質(zhì)量:

(3)

1.3 終端狀態(tài)約束

各飛行段均需滿足最小剩余質(zhì)量的約束條件:

(4)

滑行段時(shí)間需滿足飛行時(shí)間約束:

(5)

(6)

式中:Funorbit表示速度位置與軌道根數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系;a為半長軸;e為偏心率;i為軌道傾角;Ω為升交點(diǎn)經(jīng)度;ω為近地點(diǎn)幅角。

1.4 過程約束

在發(fā)射點(diǎn)慣性系下描述各飛行段過程約束主要為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程:

(7)

(8)

式中:φdx為地心緯度;μ為引力常數(shù);R0為赤道半徑;ΩE為地球自轉(zhuǎn)角速度矢量。

僅在助推和一級(jí)飛行段考慮噴口壓力損失對(duì)推力的影響ΔTj,以及氣動(dòng)力作用和彎矩約束條件:

(9)

式中:q為動(dòng)壓;SA和CD為氣動(dòng)參考面積和氣動(dòng)力系數(shù);Se為噴口截面積;Pe和Pa分別為火箭所在位置的氣壓和地面氣壓;α為攻角;Qαmax為箭體結(jié)構(gòu)能承受的最大彎矩。

2 剩余運(yùn)載能力估計(jì)方法

對(duì)于第1節(jié)描述的多飛行段運(yùn)載火箭上升段軌跡規(guī)劃問題,不存在解析形式的解,只能采用數(shù)值規(guī)劃的方式進(jìn)行求解。自適應(yīng)配點(diǎn)法作為主流的求解非線性規(guī)劃問題的數(shù)值優(yōu)化方法,能夠在較少離散點(diǎn)個(gè)數(shù)的條件下達(dá)到較高的求解精度,并且在良好初值的前提下,收斂性較好。本節(jié)首先根據(jù)各飛行段特點(diǎn),提出了一種提升自適應(yīng)配點(diǎn)法收斂性的序貫求解方法,然后基于該方法給出了離線估計(jì)剩余運(yùn)載能力的數(shù)值求解方法,以及與故障程度相關(guān)的剩余運(yùn)載能力在線判別條件。

2.1 基于飛行剖面的全程軌跡序貫求解方法

根據(jù)原規(guī)劃問題的終端條件,可將其分解為由助推、芯一級(jí)、芯二級(jí)、三級(jí)一次飛行段組成的進(jìn)入目標(biāo)滑行軌道的規(guī)劃子問題,以及由滑行段、三級(jí)二次飛行段組成的進(jìn)入目標(biāo)地月轉(zhuǎn)移軌道的規(guī)劃子問題。首先求解目標(biāo)滑行軌道的規(guī)劃子問題,以該問題的終端條件作為目標(biāo)地月轉(zhuǎn)移軌道規(guī)劃子問題的初始條件,求解滑行段、三級(jí)二次飛行段的軌跡,最后對(duì)2個(gè)問題聯(lián)立求解,得到火箭全程飛行軌跡。規(guī)劃問題逐層分解策略如圖2所示。

圖2 全程規(guī)劃問題逐層分解策略圖Fig.2 Decomposition strategy for trajectory planning problems

對(duì)于求解目標(biāo)滑行軌道規(guī)劃子問題,依次分析助推段、芯一級(jí)、芯二級(jí)的約束分解策略。在助推段,首先忽略垂直上升段、假定火箭起飛后直接開始程序轉(zhuǎn)彎,然后忽略彎矩約束,放寬搜索范圍,最后為降低氣動(dòng)力非線性對(duì)規(guī)劃的影響,可先將氣動(dòng)參數(shù)作為常值考慮。在芯一級(jí)飛行段,放寬彎矩約束,并假定氣動(dòng)參數(shù)為常值。在芯二級(jí)飛行段,可先假定整流罩隨芯一級(jí)一起分離,降低求解過程中質(zhì)量突變對(duì)規(guī)劃的影響。

對(duì)于求解目標(biāo)地月轉(zhuǎn)移軌道規(guī)劃子問題,地月轉(zhuǎn)移軌道終端速度大,迭代求解過程中狀態(tài)量和控制量細(xì)微的調(diào)整都將對(duì)終端軌道面內(nèi)約束產(chǎn)生很大的影響。軌道半長軸計(jì)算公式如下:

(10)

式中:C3為特征能量[18],其對(duì)于速度的偏導(dǎo)數(shù)為2V,與終端時(shí)刻的速度成正比。運(yùn)載火箭通過停泊軌道的滑行調(diào)整軌道拱線指向,并加速進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道,入軌點(diǎn)在近地點(diǎn)附近,因此入軌時(shí)刻速度大。以近地點(diǎn)200 km,遠(yuǎn)地點(diǎn)380 000 km的地月轉(zhuǎn)移軌道為例,入軌點(diǎn)速度達(dá)到10 916 m/s。若數(shù)值求解過程中速度修正1 m/s,將導(dǎo)致特征能量變化21 833 m2/s2,相當(dāng)于半長軸a變化2 138 km。

因此,對(duì)于地月轉(zhuǎn)移軌道的規(guī)劃問題,其目標(biāo)軌道根數(shù)對(duì)入軌時(shí)刻速度十分敏感,在初始猜想偏差較大時(shí)易導(dǎo)致求解過程來回振蕩,難以收斂的情況。可在約束目標(biāo)軌道近地點(diǎn)高度、升交點(diǎn)經(jīng)度、軌道傾角和近地點(diǎn)幅角的情況下,序貫求解遠(yuǎn)地點(diǎn)高度較低的飛行軌跡,以前一次解作為更高遠(yuǎn)地點(diǎn)高度等式約束的初始猜想,直至收斂至滿足進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道全部約束條件的飛行軌跡。

2.2 推力下降故障下的剩余運(yùn)載能力估計(jì)

本文重點(diǎn)考慮由于發(fā)動(dòng)機(jī)秒流量下降引起的推力下降故障。秒流量下降故障相當(dāng)于總沖不變情況下,剩余燃料仍可用,在視加速度下降的同時(shí),換來了更長的燃料燃燒時(shí)間。在質(zhì)量微分方程和推力計(jì)算方程中引入剩余推力百分比κ:

(11)

對(duì)于復(fù)雜的多飛行段運(yùn)動(dòng)過程,忽略運(yùn)動(dòng)方程和約束條件很難實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的能力評(píng)估,因此采用不同故障狀態(tài)下規(guī)劃飛行軌跡的方式,搜索出火箭能夠進(jìn)入原目標(biāo)軌道的故障適應(yīng)范圍。將式(11)作為新的約束條件引入軌跡規(guī)劃問題,采用2.1節(jié)的序貫求解方法求解。以最小化κ為目標(biāo)函數(shù),通過遍歷不同故障發(fā)生時(shí)刻tfault和火箭能夠入軌的剩余推力百分比κ,得到火箭能夠進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道的狀態(tài)集ST{tfault,κ}和能夠進(jìn)入停泊軌道的狀態(tài)集SC{tfault,κ}。飛行過程中,根據(jù)故障發(fā)生時(shí)火箭所處的飛行段,判斷故障時(shí)間和故障狀態(tài)所屬的狀態(tài)集,從而完成剩余運(yùn)載能力的迅速評(píng)估,如圖3所示。

圖3 剩余運(yùn)載能力評(píng)估流程Fig.3 Assessment process of residual carrying capacity

3 停泊軌道重規(guī)劃方法

本節(jié)介紹一種基于數(shù)值方法的停泊軌道重規(guī)劃方法。考慮載人登月火箭助推級(jí)和芯一級(jí)火箭的發(fā)動(dòng)機(jī)臺(tái)數(shù)多的特點(diǎn),在單臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)出現(xiàn)推力下降故障時(shí),可通過其他發(fā)動(dòng)機(jī)的性能提升進(jìn)行彌補(bǔ),對(duì)運(yùn)載能力影響較小。對(duì)于二級(jí)火箭,我國通常采用雙發(fā)動(dòng)機(jī)的配置,若發(fā)生單臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)推力嚴(yán)重下降的故障,則兩臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)推力不對(duì)稱將導(dǎo)致其在箭體軸向的分力產(chǎn)生嚴(yán)重的干擾力矩,在推力不足的同時(shí),影響火箭姿態(tài)控制的穩(wěn)定性,即火箭姿態(tài)將呈現(xiàn)來回晃動(dòng)的現(xiàn)象,如圖4所示。

圖4 火箭單臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)故障姿態(tài)示意圖Fig.4 Rocket attitude after single engine failure

圖4中φref和φfault分別為故障前俯仰姿態(tài)角和故障后俯仰姿態(tài)角曲線。從航天員安全角度出發(fā),本文提出在二級(jí)發(fā)生嚴(yán)重故障后,火箭直接執(zhí)行發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)和二三級(jí)分離的動(dòng)作時(shí)序,通過對(duì)三級(jí)的重規(guī)劃飛向停泊軌道。

對(duì)于具備二次啟動(dòng)能力的三級(jí)火箭,通常認(rèn)為增加滑行段能夠有效提升運(yùn)載能力。但對(duì)于在二級(jí)火箭發(fā)生嚴(yán)重故障的情況,若設(shè)置滑行軌道,則需要考慮滑行時(shí)間和三級(jí)二次飛行段發(fā)動(dòng)機(jī)最短工作時(shí)間的限制條件。由于火箭故障時(shí)速度較低,且三級(jí)火箭過載小于二級(jí)火箭,需要借助地球引力的作用,通過降低火箭高度獲得速度增量,才可能滿足滑行段的條件,然而此時(shí)火箭高度較低,在安全的高度條件下不足以提供期望的速度增量。因此,更優(yōu)的選擇是將三級(jí)火箭兩次點(diǎn)火的控制策略重規(guī)劃為單次點(diǎn)火,燃料全部用于提升火箭速度和高度。

三級(jí)進(jìn)入停泊軌道的問題描述為

(12)

合適的初始猜想有利于提升式(12)描述的非線性規(guī)劃問題的求解收斂性,而凸優(yōu)化方法具有不需要給定初值且收斂性好的特點(diǎn),于是本節(jié)首先給出了基于地心角估計(jì)的初始猜想凸優(yōu)化方法。同時(shí),考慮停泊軌道的近地點(diǎn)高度是確保航天員安全留軌的關(guān)鍵軌道根數(shù),結(jié)合終端軌道根數(shù)約束強(qiáng)非線性的特點(diǎn),給出了一種基于狀態(tài)觸發(fā)的停泊軌道重規(guī)劃方法,先求解僅考慮軌道高度的停泊軌道,再結(jié)合剩余能力,規(guī)劃滿足更多軌道面約束的安全停泊軌道,如圖5所示。

圖5 停泊軌道重規(guī)劃流程圖Fig.5 Flow chart of parking orbit re-planning

3.1 基于地心角估計(jì)的初始猜想凸優(yōu)化方法

凸優(yōu)化的限制在于終端自變量要固定,于是取三級(jí)火箭燃料耗盡的時(shí)間作為終端時(shí)間tk,并且為簡化軌道根數(shù)約束,在軌道系下描述終端軌道約束:

Funorbit([r,V](tk))

(13)

定義軌道系的原點(diǎn)為地心,y軸由地心指向預(yù)估入軌點(diǎn),x軸在給定軌道面內(nèi)與y軸垂直指向速度方向,z軸滿足右手定則。軌道面由i和Ω決定,為將能量用于提升軌道高度,可取故障時(shí)刻狀態(tài)對(duì)應(yīng)的ifault和Ωfault。因此,預(yù)估入軌點(diǎn)的準(zhǔn)確性直接決定了凸優(yōu)化問題是否存在可行解。故障后的運(yùn)動(dòng)過程如圖6所示。

圖6 預(yù)估入軌點(diǎn)示意圖Fig.6 Estimated orbital insert point

本節(jié)參考經(jīng)典迭代制導(dǎo)對(duì)入軌點(diǎn)的估計(jì),定義故障時(shí)刻位置與升交點(diǎn)之間地心夾角為Φ0,與預(yù)估入軌點(diǎn)之間地心夾角為ΔΦ,則預(yù)估入軌點(diǎn)地心角Φk可表示為入軌點(diǎn)地心距rk、入軌點(diǎn)速度傾角θk和剩余航程Sk的函數(shù):

(14)

(15)

式中:第1項(xiàng)為視加速度產(chǎn)生的航程;第2項(xiàng)為引力和攻角對(duì)航程的影響;積分時(shí)長為剩余飛行時(shí)間tk。圖7為基于地心角估計(jì)的初始猜想凸優(yōu)化流程。

圖7 初始猜想優(yōu)化流程圖Fig.7 Flow chart of initial guess optimization

以最大化軌道系下y向終端位置yf為優(yōu)化目標(biāo),采用下式變量代換:

(16)

可建立凸優(yōu)化命題,如下式所示,并可利用原始對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法迅速求解:

(17)

3.2 基于狀態(tài)觸發(fā)的停泊軌道重規(guī)劃方法

基于狀態(tài)觸發(fā)的停泊軌道規(guī)劃方法見圖8。

圖8 狀態(tài)觸發(fā)規(guī)劃流程圖Fig.8 Flow chart of state-triggered planning

在能量相同的條件下,圓軌道的近地點(diǎn)高度最大,因此首先根據(jù)3.1節(jié)計(jì)算的初始猜想,在放開軌道傾角、升交點(diǎn)經(jīng)度的條件下利用自適應(yīng)配點(diǎn)法規(guī)劃最大高度圓軌道。若其優(yōu)化結(jié)果的近地點(diǎn)高度滿足停泊軌道要求,則表示火箭有富余的運(yùn)載能力可用于修正停泊軌道面,否則最大高度圓軌道即為火箭能夠進(jìn)入的最優(yōu)圓停泊軌道。

考慮圓軌道終端條件偏心率嚴(yán)格為零,即

(18)

為降低其非線性,提升數(shù)值求解的收斂效果,將其轉(zhuǎn)換為

(19)

則采用俯仰程序角和偏航程序角作為控制指令的最大高度圓軌道優(yōu)化問題可表示為

(20)

對(duì)于運(yùn)載能力富余的情況,可加入軌道面約束,使飛船盡可能靠近期望的停泊軌道面,便于飛船后續(xù)再入返回著陸場。相比于式(20),可將終端約束中加入地心距等式約束,rf=aexp,即入軌點(diǎn)地心距等于期望的停泊軌道半長軸。

將目標(biāo)函數(shù)改為軌道傾角和升交點(diǎn)經(jīng)度偏差加全平方和最小的形式:

(21)

以式(21)的解作為初始猜想,進(jìn)一步優(yōu)化停泊軌道面,可最大程度利用火箭剩余運(yùn)載能力,求解出最優(yōu)軌道面停泊軌道。

4 仿真分析

首先采用本文提出的基于飛行剖面的全程軌跡序貫求解方法,求解三級(jí)半構(gòu)型火箭進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道的上升段全程軌跡規(guī)劃結(jié)果,作為評(píng)估剩余運(yùn)載能力和軌跡重規(guī)劃的基礎(chǔ),滑行軌道和目標(biāo)軌道根數(shù)見表1。

表1 軌道根數(shù)Table 1 Orbital elements

規(guī)劃結(jié)果如圖9所示。助推器173 s分離,一級(jí)火箭227 s分離,二級(jí)火箭442 s分離,三級(jí)一次飛行段634 s關(guān)機(jī)后進(jìn)入滑行段,滑行600 s后進(jìn)入三級(jí)二次飛行段,并于1 966 s船箭分離。

圖9 全程軌跡規(guī)劃結(jié)果Fig.9 Trajectory planning results for each phase

4.1 剩余運(yùn)載能力估計(jì)仿真結(jié)果

根據(jù)2.2節(jié)方法,遍歷火箭二級(jí)飛行段、三級(jí)一次飛行段發(fā)生因秒流量下降導(dǎo)致的推力下降故障的適應(yīng)范圍。對(duì)于三級(jí)二次工作段,火箭已達(dá)到停泊軌道,本文不討論其飛行過程發(fā)生故障后的停泊軌道重規(guī)劃問題。

在三級(jí)一次飛行段[442, 634] s的時(shí)間區(qū)間內(nèi),以9.6 s為間隔,遍歷20個(gè)不同故障發(fā)生時(shí)間對(duì)應(yīng)的剩余推力百分比κ適應(yīng)范圍,如圖10所示。

圖10 三級(jí)一次飛行段剩余運(yùn)載能力范圍Fig.10 Residual carrying capacity range of the first powered phase of the third stage

故障發(fā)生時(shí)間越晚,能夠容忍的故障程度越惡劣。剩余推力大于42%的故障狀態(tài)下,火箭具備將飛船送入地月轉(zhuǎn)移軌道的能力;在剩余推力大于10%的故障狀態(tài)下,火箭具備將飛船送入停泊軌道的能力。

進(jìn)一步驗(yàn)證推力下降后火箭對(duì)軌道傾角的調(diào)整能力,以三級(jí)一次飛行段單臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)剩余推力50%為例,火箭在滿足近地點(diǎn)高度的條件下,不同故障發(fā)生時(shí)間對(duì)應(yīng)的停泊軌道傾角的上下界如圖11所示。

圖11 停泊軌道傾角邊界Fig.11 Orbital inclination boundary of the parking orbit

當(dāng)故障發(fā)生時(shí)間較早時(shí),火箭有更多的時(shí)間調(diào)整偏航程序角,因此軌道傾角可調(diào)整的范圍更大;若在接近三級(jí)一次關(guān)機(jī)時(shí)發(fā)生故障,則軌道傾角處于目標(biāo)滑行軌道傾角附近。

考慮二級(jí)火箭單臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)失效后直接進(jìn)入三級(jí)飛行段的安全處理方案,假設(shè)三級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)工作正常,則剩余運(yùn)載能力范圍僅與二級(jí)飛行段發(fā)生故障的時(shí)間相關(guān),如圖12所示。藍(lán)色虛框表示火箭在420 s后發(fā)生故障,仍能夠進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道,紅色虛框表示火箭在357 s后發(fā)生故障,仍具備將載荷送入停泊軌道的能力。從圖中可以看出火箭在357 s時(shí)高度僅為140 km,速度5 200 m/s,距離形成安全停泊軌道需要近2 200 m/s的速度增量。

圖12 二級(jí)飛行段剩余運(yùn)載能力范圍Fig.12 Residual carrying capacity range of the second stage

4.2 軌跡重規(guī)劃結(jié)果

假設(shè)火箭在400 s發(fā)生嚴(yán)重推力下降故障,關(guān)閉二級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)并在二三級(jí)分離后,采用三級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)將飛船送入停泊軌道。在主頻3.6 GHz i7 CPU的臺(tái)式機(jī)上,采用原始對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法計(jì)算初始猜想、自適應(yīng)配點(diǎn)法求解最大高度圓軌道和最優(yōu)軌道面停泊軌道的迭代次數(shù)和求解時(shí)間見表2。

表2 迭代次數(shù)與求解時(shí)間Table 2 Number of iterations and solution time

求出最大高度圓軌道的時(shí)間小于1 s,此時(shí)火箭已不存在墜毀的風(fēng)險(xiǎn),有更多的時(shí)間對(duì)軌道面進(jìn)行優(yōu)化。目標(biāo)函數(shù)值的收斂過程曲線如圖13所示。

圖13 目標(biāo)函數(shù)收斂過程Fig.13 Convergence process of the objective function

初始猜想和最大高度圓軌道的優(yōu)化目標(biāo)均為最大化軌道高度,因此,目標(biāo)函數(shù)值小于零。從收斂過程可看出,凸優(yōu)化計(jì)算初始猜想除第1次迭代變化較大外,能夠迅速收斂,在迭代10次后,最大高度與最終結(jié)果偏差小于1 km;自適應(yīng)配點(diǎn)法計(jì)算最大高度圓軌道由于迭代初值較好,在迭代60次后,目標(biāo)函數(shù)值與最終結(jié)果偏差小于1 km。對(duì)于最優(yōu)軌道面的優(yōu)化,其目標(biāo)函數(shù)值在10次迭代后能夠基本收斂。因此本文提出的序貫重規(guī)劃方法通過合理的設(shè)計(jì)初始猜想,在迭代次數(shù)較少的同時(shí),也具備較好的收斂特性。

軌跡重規(guī)劃結(jié)果如圖14所示。初始猜想的結(jié)果與最大高度圓軌道優(yōu)化結(jié)果趨勢(shì)基本一致,能夠起到提升非線性規(guī)劃收斂效率的作用。三級(jí)火箭在工作1 001 s后燃料耗盡,對(duì)應(yīng)的最大圓軌道高度為621 km,軌道傾角和升交點(diǎn)經(jīng)度保持故障時(shí)刻的值不變。因此火箭具備將部分運(yùn)載能力用于調(diào)節(jié)軌道面的條件,假設(shè)期望停泊軌道面參數(shù)與標(biāo)稱滑行軌道面一致,主要考慮消除軌道傾角的偏差,令式(21)中ki=1 000,kΩ=1,則規(guī)劃結(jié)果如圖中紅線所示。規(guī)劃出的最優(yōu)軌道面停泊軌道與期望停泊軌道的軌道傾角偏差為0.01°,且火箭燃料仍有剩余,有能力將飛船送入期望停泊軌道。軌跡重規(guī)劃結(jié)果為飛行時(shí)間921.4 s,進(jìn)入軌道傾角27.29°,高度162 km的圓軌道。

圖14 軌跡重規(guī)劃結(jié)果Fig.14 Trajectory replanning results

重規(guī)劃的程序角曲線如圖15所示,由于提前進(jìn)入三級(jí)飛行段,火箭過載變化過程與原軌跡不同,因此程序角與原飛行過程差異較大。規(guī)劃結(jié)果程序角變化率均不大于2(°)/s,過程平緩,能夠滿足火箭姿態(tài)控制系統(tǒng)對(duì)角速度變化的需求。

圖15 重規(guī)劃的程序角Fig.15 Replanning guidance command

5 結(jié) 論

針對(duì)載人登月火箭,建立了上升段全程軌跡規(guī)劃問題,并基于飛行剖面和約束特點(diǎn),提出了對(duì)原規(guī)劃問題逐層分解、序貫規(guī)劃求解的策略,提升了方法的收斂性,可以用于求解秒流量下降故障情況下的剩余運(yùn)載能力估計(jì)問題。通過分析二級(jí)火箭發(fā)動(dòng)機(jī)配置可能存在的姿控穩(wěn)定性問題,提出了在二級(jí)發(fā)生嚴(yán)重故障后直接通過對(duì)三級(jí)的重規(guī)劃飛向停泊軌道的方案。從收斂性提升角度,提出了凸優(yōu)化初始猜想生成方法,參考迭代制導(dǎo)預(yù)估入軌點(diǎn)建立軌道坐標(biāo)系,降低了入軌終端條件非線性度,構(gòu)建了凸優(yōu)化問題。提出的綜合考慮安全性和計(jì)算效率的序貫求解方法,以運(yùn)載能力作為觸發(fā)條件,依次優(yōu)化軌道高度、軌道面、期望停泊軌道。最后,通過數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證了停泊軌道重規(guī)劃方法能夠在故障狀態(tài)下迅速判斷剩余運(yùn)載能力,并結(jié)合數(shù)值優(yōu)化方法規(guī)劃出合理的飛行軌跡和相應(yīng)的程序角指令。