基于雙超混沌映射的偽隨機序列發生器設計＊

張 爽，李 震

(1.貴陽人文科技學院大數據與信息工程學院，貴州 貴陽 550025；2.貴州大學大數據與信息工程學院)

0 引言

偽隨機序列是由確定性算法生成的隨機數序列，它具有均勻統計特性[1]。混沌系統作為一種偽隨機序列生成源[2]，與線性同余法和單向函數等其他生成源相比，其更容易實現，且具有長期不可預測的優點[3-5]。近年來，基于混沌的偽隨機序列發生器設計研究[6-10]如火如荼。現有的偽隨機序列發生器研究大致分兩類：一類研究是基于低維混沌映射生成偽隨機序列，如Logistic、Henon 和Tent 等混沌映射。該方法運算簡單，混沌軌跡易預測，但這必然存在攻擊威脅[11-12]。另一類研究是基于高維混沌系統生成偽隨機序列，如Lorenz 和Chen 等混沌系統。這些方法在運行中都存在一個不可避免的問題，就是混沌退化問題[13]。混沌退化是由于數字設備的計算和存儲精度受限而導致混沌系統出現短周期甚至性能退化。有關的研究如文獻[14]提出一種基于時空混沌的偽隨機序列發生器算法[15-16]。該算法把混沌系統中的浮點型數據直接轉換成了整數型數據。這種讓數字精度下降的方式必然引發混沌退化問題。王永等人[17]利用有限精度下暫態數據均勻性特點設計了一種基于整數Logistic 映射的偽隨機數生成算法，可以有效保障輸出序列概率密度分布均勻。文獻[18]中闡述了由于混沌退化導致加解密成功率降低的問題。

計算機有限精度下的混沌退化問題是目前影響偽隨機序列發生器性能的重要因素，基于此，本文提出一種基于雙超混沌系統耦合的偽隨機發生器算法，以解決有限精度下混沌退化導致的偽隨機序列發生器的性能問題。本文從研究背景和研究現狀出發，給出偽隨機序列發生器的具體方案，并在此基礎上提出一種音頻加密方案。我們采用NIST（National Institute of Standards and Technology）的SP800-22 Revision 1a 標準對所提出的偽隨機序列發生器方案進行隨機性檢測，并對音頻加密方案仿真分析。

1 超混沌系統

1.1 超混沌2D-SLIM系統

超混沌2D-SLIM（Two Dimensional Sine Improved Logistic Iterative Chaotic Map）系統[20]是二維離散系統，其差分方程表示如下：

其中，a、b 為超混沌系統的控制參數。當控制參數設置為，初值x0=-0.3、y0=0.5 時，超混沌2D-SLIM系統相圖如圖1所示。

圖1 超混沌2D-SLIM系統相圖

當a?(0,3)且b=2π 時，超混沌2D-SLIM 系統的Lyapunov 譜如圖2 所示。當a=1 且b?[4,7]時，超混沌2D-SLIM系統的Lyapunov譜如圖3所示。

圖2 超混沌2D-SLIM系統的Lyapunov譜(b=2π)

圖3 超混沌2D-SLIM系統的Lyapunov譜(a=1)

由圖2和圖3可知，當a=1且b?[4,7]時，或a?(0,3]且b=2π時，系統處于超混沌狀態。

1.2 超混沌2D-LSCM系統

超混沌2D-LSCM（Two Dimensional Logistic Sine Coupling Map）系統[21]是二維離散系統，其差分方程表示如下：

其中，θ 為控制參數。當控制參數設置為θ=0.99，初值x0=0.8、y0=0.5 時，超混沌2D-LSCM 系統相圖如圖4所示。

圖4 超混沌2D-LSCM系統相圖

當θ ∈(0,1)θ?(0,1)時，超混沌2D-LSCM 系統的Lyapunov譜如圖5所示。

圖5 超混沌2D-LSCM系統的Lyapunov譜

由圖5可知，當θ ∈(0,1)時，超混沌2D-LSCM系統處于混沌狀態。當θ?(0,0.096)∪(0.1,0.156)∪(0.17,0.304)∪(0.308,0.328)∪(0.65,0.83)∪(0.84,1)時，超混沌2D-LSCM 系統具有超混沌行為，同時表明超混沌2D-LSCM系統具有復雜的動力學行為。

2 偽隨機序列發生器設計及音頻加密方案

本章基于超混沌2D-SLIM 系統和超混沌2DLSCM 系統提出一種雙超混沌映射耦合的偽隨機序列發生器，并在此基礎上設計一種音頻數據加密方案。

2.1 偽隨機序列發生器整體結構

雙超混沌映射耦合的偽隨機序列發生器整體框圖如圖6所示，具體流程如下：

圖6 偽隨機序列發生器的整體結構圖

⑴輸入外部密鑰k1,k2,….k9∈(0,1)。

⑵生成超混沌2D-SLIM系統的初值和參數。

⑶生成超混沌2D-LSCM系統的初值和參數。

⑷ 迭代超混沌2D-SLIM 系統和超混沌2DLSCM 系統，并根據公式（10）加入周期性擾動，將超混沌2D-SLIM 系統的迭代序列記為X1、Y1，將超混沌2D-LSCM系統的迭代序列記為X2、Y2。

其中，mod(a,1)表示a的小數部分。

⑸采用公式⑾將X1、Y2映射為二值序列X，根據公式⑿將X2、Y1映射為二值序列Y，由公式⒀生成偽隨機序列S。

2.2 音頻數據加密方案

基于2.1 節提出的偽隨機序列發生器，設計一種音頻數據加密方案，該方案的整體框圖如圖7 所示。具體流程：首先對音頻數據進行采樣處理。采樣是指將音頻數據從模擬信號轉化成數字信號；其次采用公式⒁對數字信號進行量化處理[22]。

圖7 音頻數據加密方案

其中，A 表示音頻數據的數字信號，Max 和Min 分別表示音頻數據數字信號中的最大值和最小值。該步驟可將音頻信號量化至[0,255]的范圍內，將量化后的序列記為S1。隨后對生成的二值偽隨機序列S 進行整形處理和進制轉換處理，處理后將獲得一串序列，將此序列記為加密密鑰key。其中整形處理是將S 分為多個長度為8 比特的序列段。進制轉換處理是將8 比特的序列段轉換成十進制整數。最后將序列S1與密鑰key進行異或處理生成加密后的數字音頻信號S2，再通過公式⒂進行反量化[22]輸出加密后的音頻信號S3。

式⒂中，Max 和Min 為明文音頻數據數字信號中最大值和最小值。解密方案的整體框圖如圖8 所示，具體步驟：首先將密文信號按式⒁進行量化處理；然后將量化后的整數序列與密鑰key 進行異或處理；最后將處理后獲取的整數序列按式⒂進行反量化處理。處理后即可獲取明文。

圖8 音頻數據解密方案

3 實驗仿真

本節首先采用NIST的SP800-22 Revision 1a標準對本文提出的偽隨機序列發生器進行性能分析，隨后對本文提出的音頻加密方案進行仿真驗證。本節仿真硬件環境為Intel(R) Core(TM) i9-10885H CPU @2.40GHz 2.40GHz和128G內存，軟件環境為Windows 10家庭中文版和MATLAB R2016a。外部輸入密鑰為：

k1=0.359484151546519、k2=0.151564685164879、

k3=0.123154888888914、k4=0.894654315461566、

k5=0.648456415484648、k6=0.548481689647833、

k7=0.489465425189611、k8=0.735465156869472、

k9=0.689452654115786

3.1 隨機特性檢測

采用NIST 的SP800-22 Revision 1a 標準對本文提出的偽隨機序列發生器進行性能分析，如果測試結果P-value 值≥0.01，表明偽隨機序列具有良好的隨機特性。表1為SP800-22 Revision 1a的測試結果。

表1 NIST隨機性檢測結果

由表1 可知，本文的偽隨機序列發生器生成的偽隨機序列通過所有NIST 的SP800-22 Revision 1a 檢測項目，表明本文提出的偽隨機序列發生器具有良好性能指標。

3.2 密鑰空間分析

本文提出的偽隨機序列發生器采用2D-SLIM 和2D-LSCM 超混沌系統，音頻加密方案的密鑰空間為混沌系統的參數和初值空間，即2D-SLIM 的參數a?(0,3]、初值x ∈(-1,1)、y ∈(-1,1)，2D-LSCM的初值x?(0,1)、y ∈(0,1)，假設每個參數變化步長為10-14，密鑰空間結果為：3 × 1014× 2 × 1014× 2 × 1014×1014× 1014=1.2 × 1071≈2236。該值大于2100，說明本文的加密方案可以有效抵抗窮舉攻擊。

3.3 音頻數據加密仿真結果

音頻數據加密仿真結果如圖9(a)～圖9(f)所示。圖9(a)、圖9(b)為音頻測試數據；圖9(c)、圖9(d)為加密后生成的密文音頻數據；圖9(e)、圖9(f)為解密還原后生成的明文音頻數據。

圖9 音頻數據加密和解密仿真示意圖

圖9 中的(a)為音頻測試數據1；(b)為音頻測試數據2；(c)為音頻測試數據1 加密后的密文音頻數據；(d)為音頻測試數據2 加密后的密文音頻數據；(e)為音頻測試數據1 解密還原后的明文音頻數據；(f)為音頻測試數據2解密還原后的明文音頻數據。音頻加解密仿真結果表明，本文提出的偽隨機序列發生器具有良好的性能，可以有效應用于音頻數據加密場景中。

4 結論

本文基于超混沌2D-SLIM 系統和超混沌2DLSCM 系統提出了一種迭代序列耦合的偽隨機序列發生器方案，該方案首先采用隨機周期擾動方式防止超混沌2D-SLIM 和2D-LSCM 系統的混沌退化，隨后對其迭代序列進行耦合輸出，進而有效解決了由于有限精度下的混沌退化問題導致的偽隨機序列周期性問題，并以此為基礎構建偽隨機序列發生器模型。隨后采用NIST 的SP800-22 Revision 1a 偽隨機序列測試標準進行隨機性檢測，并通過音頻加密驗證。實驗結果表明，通過本文方案生成的偽隨機序列具有良好的隨機性能。本文為有限精度混沌退化對偽隨機序列發生器性能影響給出了新的解決思路。