“函數(shù)奇偶性的判斷與證明”學(xué)習(xí)導(dǎo)航

■王佩其

一、基礎(chǔ)知識必備

1.奇偶性是針對整個定義域而言的,單調(diào)性是針對定義域內(nèi)的某個區(qū)間而言的,奇偶性是一個“整體”性質(zhì),單調(diào)性是一個“局部”性質(zhì);定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件。奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點成中心對稱,偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱。具有奇偶性的函數(shù),其定義域必然關(guān)于原點對稱;若f(x)是奇函數(shù),則f(0)=0;奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上,若有單調(diào)性,則其單調(diào)性完全相同,最值相反;偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上,若有單調(diào)性,則其單調(diào)性相反,最值相同。

2.判斷函數(shù)奇偶性的三種方法:定義法,對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f(x)=f(-x),則f(x)是偶函數(shù),對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f(x)=-f(x),則f(x)是奇函數(shù);圖像法,圖像關(guān)于原點成中心對稱的函數(shù)是奇函數(shù),圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)是偶函數(shù);運算法,奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù),偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù),奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù),奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)。

3.若函數(shù)g(x),f(x),f[g(x)]的定義域都關(guān)于原點對稱,則u=g(x),y=f(u)都是奇函數(shù)時,y=f[g(x)]是奇函數(shù);u=g(x),y=f(u)都是偶函數(shù),或者一奇一偶時,y=f[g(x)]是偶函數(shù)。

二、典型例題分析