顆粒流變破碎與堆石料流變應變計算

遲世春，郭 宇，馬錫鈺，賈宇峰

(大連理工大學建設工程學部工程抗震研究所，遼寧 大連 116024)

1 問題的提出

堆石壩的觀測資料顯示，壩體竣工后發生的流變變形可持續幾年、十幾年甚至更長[1]。通常在建壩蓄水后一年可完成總流變的75%，到第二年可完成總流變的95%[2]。如1971年1月竣工澳大利亞110 m高的塞沙那(Cethana)面板堆石壩，1973年～1980年間，壩體沉降和水平位移分別以每年4 mm和3 mm的速率發展，至1980年11月壩頂最大沉降達64 mm、最大水平位移達44 mm。我國95 m高的西北口面板壩，觀測竣工時最大沉降為36 cm，8年后沉降發展至66 cm。天生橋面板堆石壩建成蓄水多年，壩體最大沉降達到3.47 m，沉降壩高比為2.24%。后來建成的洪家渡、三板溪以及水布埡面板堆石壩沉降與壩高之比分別達到了0.74%、0.84%、1%[3]。堆石壩運行多年后，變形仍不穩定并持續發展是一種常見現象。流變變形還影響堆石壩施工進度安排。堆石料施工后一般需要設置預沉降時間，如面板壩堆石體填筑完成后至面板澆筑前堆石體需要的靜置時間，以滿足后續結構對前期堆石體變形的要求，這顯然影響工程建設周期。

堆石料這種竣工后發生的流變變形，惡化了防滲面板與心墻的應力變形狀態，導致面板發生脫空、裂縫、擠碎及止水破壞，心墻堆石壩則發生壩體表面裂縫、心墻內部水力劈裂等，影響大壩防滲安全，增加運維費用并影響工程效益的發揮。

堆石料流變研究目前多采用三軸流變試驗方法。沈珠江[4]進行了不同圍壓與應力水平下的單級加載流變試驗，基于Merchant模型提出了堆石料流變的三參數模型，在分離了時間因素后，給出了最終流變量的計算表達式，認為剪切流變僅與應力水平有關，體積流變與圍壓成正比。李國英等[5]通過對公伯峽堆石料試驗，修正最終體積流變為圍壓和廣義剪應力的函數，流變參數增加至6個。程展林等[6]開展了水布埡主堆石料的流變試驗研究，提出了堆石料九參數流變模型的數學表達式及相應的參數指標，認為堆石料流變隨時間增長為冪函數關系。李海芳等[7]通過九甸峽面板壩堆石料的流變試驗，建議采用對數函數描述軸向流變的時間過程，采用指數函數描述體積流變的時間過程。王海俊和殷宗澤[8]對兩種不同巖性的堆石料進行了室內常規三軸流變試驗，發現堆石料的體積流變和剪切流變隨時間均呈現雙曲線變化規律，提出了雙屈服面流變模型。還有許多學者開展了堆石料的流變試驗，包括側限壓縮流變試驗和三軸流變試驗。這些研究極大地豐富了堆石料室內流變試驗的成果，證實了堆石料普遍存在流變特性的事實。但這些流變公式均為試驗曲線的擬合，屬于經驗類模型。

堆石料流變試驗最大的難題是設備占用時間長。堆石壩一般由多種壩料組成，上壩堆石料控制級配范圍多樣。堆石料的碾壓指標為孔隙率，碾壓后的實際干密度一般在一定范圍內變化。因流變計算多采用插值方法，一組試驗一般需要進行3個圍壓、3個應力水平的流變試驗，而每個試樣的三軸流變試驗需要一周以上的時間。因此，流變試驗工況覆蓋壩料種類、級配、密度的變化以及滿足插值方法要求是比較困難的，絕大多數情況下采用簡化工況，只進行代表性工況試驗，故尋求更簡便的流變試驗方法是必要的。

流變試驗的第2個問題則是穩定豎向荷載與圍壓。流變試驗大多是在應力控制式三軸試驗儀上進行，由于試樣持續的流變變形，為維持恒定的應力條件，豎向荷載一直處于不斷調整的波動狀態，豎向加載軸不斷進出壓力室，也將引起圍壓調整，特別是每個試驗持續時間長，對試驗設備特別是豎向荷載的伺服系統要求高。

流變試驗的第3個問題是流變的起算時間。整理流變試驗結果時，首先需要將試驗中的流變變形與瞬時變形分開。但目前工程學術界對于流變變形的起算時間還沒有形成共識。李海芳等[7]建議將1 h作為應力加載瞬時變形與流變變形的分界點；程展林等[6]則建議采用2 h作為分界點；朱晟等[9]建議采用0.75 h作為流變變形的起算時間。圖1為試驗得到的流變應變與時間對數的關系。從圖1可以看出，即使試樣加載1 h內的變形不作為流變變形，其后1 h的流變應變可達0.08%～3%左右，約占總流變應變的30%～80%。因流變試驗的前期變形占比很大，流變變形速率衰減很快，故流變應變的起算時間直接影響流變應變的量值與衰減規律。

圖1 堆石料蠕變[7]

2 顆粒破碎與堆石料變形

堆石料經碾壓密實，已經形成緊密的顆粒骨架結構。若只承受體積應力，在工程圍壓范圍內堆石料不發生變形、顆粒亦不破碎，這已被三軸試驗固結階段的結果所證實。若在低圍壓承受剪應力，圍壓不足以約束顆粒間的翻越，在剪應力的作用下顆粒之間相互滑移、翻越及結構調整，進而引起堆石原有結構的喪失。實際工程中幾乎見不到壩體表面自然條件發生結構性喪失的情況，說明堆石壩中低圍壓下剪脹變形即使有其占比也非常有限。當圍壓達到一定數值后，堆石料再受剪切作用，堆石料變形則由顆粒破碎引起的顆粒間填充、滑移、錯動等造成。這種變形以剪切變形為主，并伴隨顆粒破碎引起的體積收縮，即“剪縮”，從而出現面板堆石壩澆筑面板前上游堆石料發生的虧坡，澆筑的前期面板發生脫空等現象。因此堆石料變形與顆粒破碎密切相關。

顆粒破碎與堆石料變形的關系，賈宇峰等[10]曾進行過系列三軸試驗，認為堆石料剪切過程中顆粒破碎參量與軸向應變為雙曲線表達式，且試樣軸向應變隨顆粒破碎的增加而單調增大；吳二魯等[11]給出了破碎指標、圍壓及軸向應變之間的關系式，由于三軸試驗中圍壓固定，顆粒破碎與軸向應變的關系式也是唯一確定的；劉萌成等[12]給出了三軸試驗中破碎參量與體積應力及偏斜應力的表達式，在圍壓固定的條件下偏斜應力與軸向應變以及體積應變與軸向應變的關系曲線由靜力三軸試驗唯一確定，因此其破碎參量與應變的關系也是確定的；石北嘯等[13]的三軸試驗表明，堆石料破壞剪脹率與顆粒破碎率具有單調關系；王啟云等[14]還研究動力循環荷載作用下粗粒土填料的累積應變與顆粒破碎的關系，顯示顆粒破碎與累計應變的對數成線性關系。因此，堆石料變形與顆粒破碎具有強對應關系，可以通過顆粒破碎來預測堆石料變形，包括靜力瞬時變形、流變、濕化變形、動力變形等。

堆石料靜力瞬時變形與顆粒受力后的瞬時破碎有關，流變變形則與顆粒的流變破碎有關。堆石顆粒的流變破碎指的是堆石料顆粒受力小于瞬時強度，不會發生瞬時破碎；但大于顆粒長期強度，在顆粒長期受力過程的某個時間點上發生破碎，進而引起堆石體流變變形。破碎時間取決于顆粒內部缺陷與受力狀態。

3 堆石顆粒的長期強度

3.1 單顆粒蠕變儀確定長期強度

大連理工大學研制的單粒巖塊蠕變試驗儀結構示意如圖2所示。其試驗原理為：顆粒在試驗中受到上、下平行的剛性平板擠壓；利用砝碼和雙杠桿機構對顆粒施加長期穩定的豎向荷載，最大豎向力40 kN；手輪和絲杠可以調節杠桿平衡以保證荷載按照預定放大系數傳遞；橫梁、調節桿、輔助桿、導向桿和定位柱共同組成具有防偏功能的荷載傳導裝置；利用高精度的位移傳感器可以自動測定并記錄顆粒在恒定荷載作用下的變形量。

圖2 巖塊顆粒蠕變試驗裝置示意

試驗采用分級加載方式，每級荷載持續7 d后施加下一級荷載；分兩種情況進行試驗，第I類顆粒在經歷一到二級恒載作用后，如果沒有出現蠕變破碎現象便通過增加砝碼使其發生破壞，計算顆粒瞬時強度σc；第II類顆粒在經歷若干級恒載作用后出現蠕變破碎現象，即在某一恒載作用下在不足7 d的某一時刻突然發生整體劈裂破碎。位移傳感器每1 h自動記錄一次數據。顆粒應力指標為

(1)

式中，F為顆粒所受荷載；d為顆粒粒徑。

兩類顆粒試驗工況分別見表1和表2。

表1 第I類顆粒試驗工況

表2 第II類顆粒試驗工況

第I、II類顆粒蠕變曲線分別見圖3、4。從圖3、4可以看出，應力施加后會產生較大的瞬時應變。在恒定應力作用下應變會隨時間的延長逐漸增大。當恒定應力較低時，應變會隨著加載時間的無限延長而趨于某一定值；當恒定應力超過某值時，應變不再收斂，并發生蠕變破碎，蠕變破碎具有突然性。

圖3 第I類顆粒的蠕變曲線

圖4 第II類顆粒的蠕變曲線

顆粒長期強度指顆粒長期受力過程中破碎的最低應力。當顆粒受力大于等于瞬時強度時，顆粒會瞬時破碎；當顆粒受力不超過長期強度時，不破碎；當顆粒受力介于長期強度和長期瞬時之間時，顆粒發生蠕變破碎。確定長期強度多采用間接法，有等時曲線法和過渡蠕變法之分。根據第I類顆粒試驗結果，研究應力水平和穩態蠕變速率之間的關系，估計顆粒的長期強度。穩態蠕變速率為各加載步最后3 d應變時間曲線的斜率。

定義長期強度與瞬時強度之比為長期強度應力水平S∞，當前應力與瞬時強度之比為應力水平S，即

式中，σ∞為顆粒長期強度；σc為顆粒瞬時強度；σ0為顆粒試驗所受蠕變應力。

顆粒的穩態蠕變速率與應力水平的關系如圖5所示。從圖5可以看出，穩態蠕變速率在應力水平0.7～0.8之間存在一個臨界點。在該點以左，穩態蠕變速率很小；在該點右側，穩態蠕變速率徒增。為了確定該臨界點，可取圖5中應力水平小于0.7和大于0.8的部分分別進行線性擬合得到直線l1和l2，取兩直線交點的橫坐標為長期強度應力水平。試驗得到的顆粒長期強度應力水平為S∞=77.12%。

圖5 第I類顆粒試驗中顆粒穩態蠕變速率與應力水平

3.2 斷裂力學方法確定顆粒長期強度

格林菲斯理論認為，材料內部存在許多細微裂隙，在力的作用下，這些裂隙的周圍，特別是縫端，會產生應力集中現象。材料的破壞從縫端開始，裂隙擴展，最后導致材料完全破壞。將材料中含有大量方向雜亂的微裂隙，概化一張開的橢圓形裂縫，采用格里菲斯強度公式進行計算。堆石顆粒內部存在著各種缺陷，概化為一幣形裂紋，在承受擠壓力被劈裂的過程中，裂紋尖端的應力強度因子為

(3)

式中，σθ為垂直加載軸的顆粒張拉劈裂應力；Y為形狀因子(無量綱)，是a/R的函數；a為概化裂縫長度的1/2；R為粒徑的1/2。

(4)

變換式(3)為σθ的表達式，并代入式(4)，得

(5)

(6)

因此，長期強度應力比也可以通過測量顆粒巖石的起裂韌度與斷裂韌度確定。

采用大連理工大學研制的巖石雙扭試驗儀量測顆粒巖石的起裂韌度與斷裂韌度。首先，選擇同一工程同一巖性粒徑較大的顆粒若干，加工成雙扭試件，試件受力見圖6。試驗中逐漸增大荷載，觀測試樣預裂。沿試件背面的溝槽預裂至新鮮裂紋出現，則根據預裂狀態受力計算起裂韌度。然后固定加載位移進行松弛試驗，測算亞臨界裂紋擴展參數。最后增大荷載至裂紋貫穿并計算斷裂韌度。

圖6 巖石雙扭試件及受載示意(L×W×d=150 mm×50 mm×4.8 mm)

雙扭試驗得到的顆粒巖石起裂韌度與斷裂韌度見表3。計算起裂韌度與斷裂韌度之比為長期強度應力水平，測量得到的長期強度應力水平平均值為0.78。與3.1節用常規方法確定的長期強度應力水平為0.771 2差別僅1.14%。由此也間接說明3.1節的方法確定的長期強度應力水平可行。

表3 顆粒巖石起裂韌度、斷裂韌度及長期強度應力水平

4 堆石料流變應變與顆粒長期強度

4.1 堆石料流變模型

堆石料的流變模型采用分離變量法將時間項t分離出去，即

εc(t)=εf(1-e-αt)

(7)

式中，εf為最終流變應變量，可分為最終體積流變應變εvf和最終剪切流變應變εsf；α為衰減參數。最終流變應變是應力條件的函數，即[5]

(8)

式中，σ3為圍壓；Pa為一個大氣壓力；SL為應力水平；b、c、d、m1、m2、m3為試驗參數。

4.2 堆石料最終流變應變和顆粒長期強度的關系

堆石體中的每個顆粒的受力狀態有3種情況。一是受力形成的劈裂應力超過瞬時強度，這時的顆粒會立即破碎，形成瞬時變形，這就是通過常規三軸試驗測量得到的變形；二是受力形成的劈裂應力小于瞬時強度但超過長期強度，這時的顆粒會在承受荷載后的某個時刻發生破碎，引起流變變形；三是受力形成的劈裂應力小于長期強度，這時的顆粒不會發生破碎。

實際上，三軸試驗是在一定圍壓條件下通過連續增大軸向偏應力來實現對試樣的宏觀剪切作用的。這種情況下可以將施加的軸向偏應力看作無數個連續的極小荷載增量的累加。若三軸試驗的加載速率越快，則每一個極小荷載增量的作用時間就越短。

首先考慮一種加載速率足夠慢的三軸試驗。在該試驗中，每一個極小荷載增量的作用時間都將無限大。于是，在這種試驗的一個極小荷載增量的作用時間內，一旦某個顆粒受力形成的劈裂應力超過長期強度，那么這個顆粒必然會發生破碎。雖然在漫長時間內，顆粒的破碎不會同步發生，顆粒的受力會因其他顆粒破碎引起的應力重分布而發生改變，但是只要新的受力形成的劈裂應力仍然超過長期強度就意味著這個顆粒依然存在發生破碎的可能。同時，因為假定極小荷載增量的作用時間無限大，所以原始顆粒或者新生顆粒都可能在這段時間內發生破碎。當所有顆粒都不符合上述那種發生破碎的受力條件時，就是已經充分破碎了。由于每一個極小荷載增量的作用都以顆粒的充分破碎而收尾，那么加載速率足夠慢的三軸試驗的全過程應力-應變-體變曲線自然就包括了瞬時變形和流變變形。

第二考慮常規三軸試驗。該試驗的每一個極小荷載增量的作用時間很短。除了因受力形成的劈裂應力大于瞬時強度而發生的與時間無關的破碎外，其他受力條件的顆粒沒有足夠時間發生破碎。也就是說，常規三軸試驗中的每一個極小荷載增量的作用不以顆粒的充分破碎結束，而是在滿足瞬時破碎受力條件的那些顆粒發生破碎之后就結束了。因此，常規三軸試驗的全過程應力-應變-體變曲線自然只包括瞬時變形。

綜合上述分析易知，對于同一圍壓條件下的加載速率足夠慢的三軸試驗和常規三軸試驗的全過程應力-應變-體變曲線而言，在同一目標偏應力下，用前者的應變減去后者的應變即可得這一圍壓與目標偏應力下的最終流變變形，如圖7所示，圖中εaf對應最終軸向流變，εvf對應最終體積流變。

圖7 加載速率足夠慢的三軸試驗曲線與常規三軸試驗曲線

若有兩個堆石料試樣，從顆粒巖性到細觀組構再到幾何尺寸和顆粒級配等各方面均完全一致。一個試樣進行常規三軸試驗，試驗過程中顆粒的破碎強度為瞬時強度；另一個試樣進行加載速率足夠慢的三軸試驗，控制顆粒破碎的是長期強度。常規三軸試驗中的試樣中任一顆粒A，與加載速率足夠慢的三軸試驗中的顆粒B相對應。若兩個試樣破碎參量相同，即對應顆粒同時破碎或不破碎。顆粒A破碎時為瞬時強度σc，顆粒B破碎時為長期強度σ∞=S∞σc。要使顆粒A、B同時破碎，則顆粒A、B間的接觸力滿足

fst=S∞fct

(9)

式中，fst為加載速率足夠慢的三軸試樣內部顆粒接觸力；fct為常規三軸試樣內部顆粒接觸力；S∞為顆粒長期強度應力水平。

三維狀態下，顆粒集合體的等效應力和應變張量為

(10)

式中，Vσ為應力計算區域的總體積；f(c/p)為計算區域內顆粒q對顆粒p的接觸力；l(c/p)為枝向量，是顆粒q指向顆粒p的向量；Vε為計算應變的區域對應的體積；Δue為構成邊e的兩個顆粒p和q中心的相對位移；de為邊e對應的面積補償向量。

由于兩個試樣的顆粒巖性、組構，級配等均相同，若兩個試樣內部顆粒具有相同的破碎狀態時，其內部相應顆粒p對應的枝向量、計算區域體積、面積補償向量以及內部顆粒相對位移均應相同，即

將式(9)和式(11)代入式(10)中，應力張量和應變張量滿足如下關系式

=S∞σct

(12)

=εct

(13)

式中，σst和εst分別為加載速率足夠慢三軸試樣的宏觀應力張量和應變張量；σct和εct分別為常規三軸試樣的宏觀應力張量和應變張量。

4.3 由常規三軸試驗的應力應變曲線推求堆石料流變應變

為獲取堆石料的變形參數，常進行堆石料飽和試樣的常規三軸試驗，得到應力-應變-體變關系曲線，并據此整理堆石料變形參數。

根據堆石料飽和試樣的應力-應變-體變關系曲線，結合堆石顆粒的長期強度應力水平，可以推求加載速率足夠慢三軸試樣的應力-應變-體變關系曲線。顆粒巖性、組構、級配以及顆粒破碎完全相同的兩個試樣，其應力和應變張量滿足式(14)、(15)，即

(σ3)st=S∞(σ3)ct，(σ1-σ3)st=S∞(σ1-σ3)ct

(14)

(εa)st=(εa)ct，(εv)st=(εv)ct

(15)

式中，(σ3)st、(σ1-σ3)st、(εa)st、(εv)st分別為加載速率足夠慢三軸試樣對應應力-應變曲線的圍壓、偏應力、軸向應變、體積應變；(σ3)ct、(σ1-σ3)ct、(εa)ct、(εv)ct分別為常規三軸試樣對應應力-應變曲線的圍壓、偏應力、軸向應變、體積應變。

常規三軸試驗與加載足夠慢的三軸試驗應力-應變曲線轉換關系如圖8所示。軸向流變應變與體積流變應變求取分3步。第1步利用顆粒長期強度應力水平將常規三軸試驗的應力-應變-體變關系曲線，轉換為加載速率足夠慢三軸試驗的應力-應變-體變關系曲線，對應圖8中所示的①。轉換過程中，偏應力-軸向應變曲線在應變相等的條件下偏應力降低為原來的S∞倍，同時曲線對應的圍壓也降低為原來的S∞倍。應變-體變曲線由于不涉及應力狀態，而兩種試樣的應變張量相等，故曲線沒有變動，但該曲線對應的圍壓降低為原來的S∞倍。第2步為加載速率足夠慢的三軸試驗曲線關于圍壓的插值，目的是換算成與原圍壓相等條件下包含流變應變的應力-應變-體變曲線，對應圖8中所示的②。這樣就得到了與常規三軸試驗圍壓相同的加載速率足夠慢的三軸試驗的應力-應變-體變曲線。第3步，比較圍壓相同時常規與加載速率足夠慢的三軸試驗的偏應力-軸應變曲線，在同一目標偏應力下兩者的差別即為軸向流變應變，見圖8中的εaf；根據軸應變-體變曲線查軸向應變對應點的體積應變，兩個對應點體積應變差就是流變體積應變，見圖8中的εvf。

圖8 常規三軸試驗與加載足夠慢的三軸試驗應力-應變曲線轉換關系

5 算 例

堆石料常規三軸試驗曲線見圖9中的瞬時曲線。為求取堆石料的最終流變量，采用顆粒長期強度與瞬時強度的比值，求出“顆粒長期強度”對應的加載速率足夠慢的三軸試驗曲線，包含最終流變應變的應力-應變-體變曲線，見圖9中的長期曲線。由圖9可以看出，應力-應變關系中顆粒破碎采用長期強度的曲線位于瞬時強度對應的常規三軸試驗曲線的右側。根據上節的方法，在同一偏應力下的差值就是流變軸向應變，由流變軸向應變在圖9b中查對應點可確定流變體積應變。如此，可確定不同圍壓及應力水平下的流變應變。堆石料最終流變應變的計算值如圖10所示，4個應力水平的最終流變應變見表4。

表4 最終流變應變計算值

圖10 堆石料最終流變應變計算值

按照式(8)擬合最終流變量，得到式(16)和式(17)：

(16)

(17)

如果將式(17)中的剪應變εsf換成工程剪應變γsf，則有擬合結果

(18)

將式(16)和(18)給出的堆石料流變模型參數匯總，見表5。同時，將李國英等[5]對公伯峽面板堆石壩料的試驗參數也列于其中。由表5可知，除m1偏小外，參數b、c、d、m2、m3的計算值與公伯峽堆石料試驗參數接近。計算參數在工程經驗范圍之內，且符合堆石料流變工程特性，驗證了本文提出方法的可行性。

表5 堆石料流變模型參數

6 結 論

堆石料流變試驗耗時過長，實際工程中流變試驗工況覆蓋壩料種類、級配與密度變化以及滿足插值方法要求是困難的，只能進行幾種簡約工況的流變試驗，會放大流變變形計算時的插值誤差。因此尋求更簡便的流變試驗方法是必要的。

本文依據堆石料變形與顆粒破碎具有的強相關關系，認為堆石料流變變形與流變破碎具有對應關系。流變破碎指堆石顆粒受載一定時間后發生的破碎。設想可進行加載速率足夠慢的三軸試驗，即凡荷載形成的劈裂應力超過長期強度的顆粒有足夠時間破碎。這樣，試驗得到的應力-應變-體變曲線必包含流變變形。與不含流變變形的常規三軸試驗曲線進行比較，偏應力一定時，兩種應力-應變曲線的差就是堆石料軸向流變變形，在體變曲線上查找對應點的體變差為體變流變。算例計算表明，通過計算得到的流變應變與試驗值相當，流變模型參數符合預期。

計算中的關鍵參數是堆石顆粒的長期強度應力水平，即顆粒長期強度與瞬時強度之比，可通過顆粒流變試驗確定，也可通過對應巖石的雙扭試驗測量起裂韌度與斷裂韌度確定。顆粒流變試驗采用雙杠桿砝碼加載，構造簡單，多臺聯排可提高效率。雙扭試驗因不需模擬流變過程，耗時短、效率高。

中小型土石壩受工程規模等限制，一般不進行堆石料的流變試驗，變形參數常參考已有試驗數據與工程經驗擬定，存在不確定性。本文提出的方法，利用必做的常規三軸試驗數據和堆石顆粒的長期強度應力水平，直接推算堆石料流變變形，得到其流變模型參數，具有耗時短、效率高的優點。