數學教材多維解析與知識體系建構下的教學

陳曉蓉 徐章韜

【摘 要】人教版高中數學教材經歷了多次更新換代，作為溝通幾何與代數的重要橋梁——解三角形知識在其中的編排位置也發生了一系列的變遷。由于教材編寫過程中需考慮的因素眾多，新教材改變了舊教材定理推導時所用的幾何法，在編排上加強了與向量的密切聯系，改進了舊教材知識割裂的許多不足。在教學過程中，教師要站在更高視角看待知識，構建簡明的知識體系，讓學生既感受到向量的工具性價值又能體會幾何法的優美，領悟數學獨特的魅力，實現育人的根本目的。

【關鍵詞】教材；解三角形；向量；幾何

一、引言

解三角形內容在教科書上的歷史編排一直都在演變更新，既有編排在初中階段，利用平面幾何的方式得到的，也有編排在高中階段，利用向量法、坐標法等方式推導得到的。有編排在三角函數章節之下的，也有編排在平面向量章節之下的，還有單獨成章節的。這些編排的方式可以拓寬我們看待解三角形的視野，但有的教師也會對此感到困惑：解三角形內容究竟應當編排在哪比較合理？本文將從教材編寫的角度分析解三角形，并通過建構解三角形的知識體系，探究解三角形的本質和定理推導，從教學論上提出教學建議，為教材編排和教師教學提供參考。

二、從教材編寫角度分析解三角形

教材的編寫往往要有全局觀念，考慮的因素眾多，會遵循一些內在的邏輯：第一，知識邏輯的角度。在各個學科領域下，知識的發生、發展以及演變的過程會成為教材編寫的內在邏輯，表現出來的形式為教材編寫遵循了順序性原則、連續性原則、整合性原則、關聯性原則等多方面，知識由淺入深，從易到難。第二，心理邏輯的角度。在學生認知水平下，不斷擴大其最近發展區，遵循學生思維的自然性，讓學生對接受新知識產生學習興趣的導向來編寫教材。第三，數學史的角度。數學概念和定理形成過程的歷史脈絡非常漫長，將豐富的史料融入教材的編寫中，成為課程改革的新視角。第四，教育教學的角度。將前三者結合，這不僅考慮到學科自身的邏輯性和科學性、知識的歷史發生、發展過程，還考慮到學生學習的認知水平。

（一）從知識邏輯的角度看

中學的幾何與代數是通過研究三角形的邊角關系來入門的，通過初步定量研究直角三角形的邊角關系，學習了銳角三角函數。初中的數學在幾何圖形的研究上偏向于定性研究，只有少部分的定量研究。解直角三角形的學習，為高中階段進一步研究解任意三角形奠定基礎，這種編排符合螺旋式排列方式，通過讓教材內容的基本原理反復出現，又逐步擴展，不斷擴大學生的最近發展區，加強學生對解三角形的能力。高中階段通過進一步學習任意角三角函數等知識，借助向量工具對任意三角形的邊角關系進行定量研究，得到正弦定理和余弦定理，利用兩個定理解決任意三角形問題，這是研究三角形內容的邏輯脈絡。作為定理推導強有力的工具，向量在教材中被編排在解三角形之前，目的是讓學生掌握平面向量的運算，培養學生用向量的眼光看數學，用向量法解決幾何問題的能力。

教材將解三角形內容編排在高中階段并且用向量法來推導正余弦定理，主要有兩方面的原因：一是引入向量進行推導余弦定理，不僅使推導過程更加清晰易懂，而且比幾何法更加簡潔有效，同時體現了向量與三角的密切聯系。二是向量在中學數學中具有重要的地位。在解析幾何領域，通過向量的學習，將幾何與代數統一起來，實現了直觀幾何關系的代數化以及抽象運算的直觀化，就連坐標系的拓展都可以依照向量基底的角度進行研究，為解析幾何與線性代數的研究提供主要工具。

作為溝通幾何與代數的橋梁，三角可以看作是向量的投影。正弦可以看作將正方形“拍扁”成菱形時面積所打的“折扣”。若將這種“折扣”的觀念運用到向量的分解上，就可以將正弦和余弦看作向量在兩個坐標軸上的投影在向量模長上所打的“折扣”［1］。在空間的各種性質中，對稱性和平直性是兩個最基礎也最重要的性質，是立體幾何學習的起點和基礎，體現在平面幾何中就是投影，即點在直線上的射影、三視圖等都是投影形成的。以此作為支架看待兩個定理可以發現其中的聯系。投影的概念與向量在三角形邊上的分解運算異曲同工。若在此觀點上看待三角學，則可以看出向量與三角有著千絲萬縷的聯系。

從知識的整體性來看，正弦定理和余弦定理是向量應用的典型案例。c2=（a-b）2=|a|2+|b|2-2|a||b|cosC，將向量看作數就是余弦定理，當C為直角時就是勾股定理。因此，將解三角形內容編排在平面向量之下，不僅加強了幾何與代數相關內容的緊密聯系，而且在建立起向量運算的體系后，將幾何問題轉化為向量問題進行解決，豐富了向量的運用，讓學生體會從“形”到向量的過程，為后續解決平面幾何和立體幾何問題打下基礎。由此可見，將解三角形內容編排在平面向量之下是不錯的選擇。

（二）從心理邏輯的角度看

在人教版數學教材的歷史變遷中，可以發現早期的教材中解三角形的內容很多，包括了正切定理和半角定理等知識，有用對數表來推導正弦和余弦公式的情況，對“ASA”和“SSS”兩種情況解三角形的證明都介紹了兩種方法。后來，教材的解三角形內容逐漸減少，僅保留了解三角形的基礎知識，只介紹正弦定理和余弦定理兩個定理，不做其他定理的介紹，并且兩個定理的推導方法都僅介紹了一種。教材的這種編排方式考慮到了正弦定理和余弦定理的重要性以及定理之間的互相推導過程，教材的編寫更趨于簡潔扼要，更加突出核心重點知識，同時也考慮到學生學習的認知發展規律。正切定理和半角定理的知識內容對學生而言，難度很大，在解決一些常見問題上，兩個定理的運用并不頻繁。為了減輕學生學習的負擔，讓學生掌握簡潔有力的重要工具，教材最終精簡成只介紹正弦定理和余弦定理。

新教材在編排上將余弦定理排在前面，正弦定理排在后面。從兩版教材的編排順序差異中，也可以看出新教材編寫對心理邏輯的考慮。通過三角形全等的判定可知，余弦定理主要解決的是“SAS”和“SSS”的問題，而這兩類問題都是確定的，都有唯一解。正弦定理解決的問題中“已知兩邊及一邊對角”這種情況的解并不是唯一的。新教材按照先確定性再不確定性的思路編寫，更加符合學生的心理認知發展規律。另一方面，向量法推導正弦定理比余弦定理的難度更大，步驟更多，為了適應學生由簡到繁的學習心理，故將正弦定理安排在余弦定理之后介紹。

（三）從數學史的角度看

在所有的平面圖形中，三角形是最簡單、精要的平面幾何之一。三角學有著悠久的歷史，作為可以反映三角形邊與角關系的兩個定理——正弦定理和余弦定理的歷史發展過程也十分漫長［2］。將豐富的史料與基礎知識進行融合，可以使學生在回顧歷史中深入思考，更好地理解數學過程和思想方法。

起初，希帕克斯將三角形作為某個圓的內接三角形，從而三角形的邊就成了圓上的弦，于是研究邊就可以轉化成研究弦所對的弧。后來托勒密編制了精度高但復雜的弦表，隨后正式提出了正弦的概念。阿拉伯學者阿布·瓦法最早提出了正弦定理，并用球面三角形加以證明。納綏爾丁·圖西則利用平面三角形來證明正弦定理。1571年，韋達利用外接圓的方法來證明正弦定理。1748年，歐拉將正弦定理與外接圓相脫離，從不同視角呈現出正弦定理。后來，正弦定理證明方式開始多樣，包括“輔助直徑法”“解析幾何法”等［2-3］。目前舊教材中的正弦定理由作高法推導，新教材則采用向量法。從正弦定理證明方法的歷史發展來看，用幾何法推導更加自然。

余弦定理的起源則要追溯到歐幾里得的《幾何原本》中，著作命題給出了鈍角和銳角三角形的三邊之間的關系，利用勾股定理推導出余弦定理。之后，韋達借助圓給出了證明余弦定理的另一種幾何形式，并首次提出余弦定理。19世紀的數學家們推導余弦定理主要有四種：利用幾何命題、歐幾里得法，利用射影公式法以及利用和角公式與正弦定理推導。在這一時期，韋達定理逐漸淡出歷史舞臺，取而代之的是三角形式的余弦定理［4］。1942年，庫爾提斯首次利用平面直角坐標系的方式來證明余弦定理［5］。1951年，荷爾莫斯利用解析幾何的方法來證明余弦定理［6］。而后，隨著向量引入中國，國內的許多教材和著作開始使用向量法證明正弦定理和余弦定理。目前現行的中學教材中，余弦定理的學習就是采用向量法進行推導的。從歷史發展的脈絡上看，幾何法經歷了更為漫長的發展過程，余弦定理由幾何而生，依賴于幾何的背景。在此之后孕育的坐標法、解析法和向量法都成為新型工具，雖然簡化了余弦定理的證明過程，是余弦定理在推導上的改進，卻缺乏了歷史的厚重感，因此，教材還可以設計課后閱讀部分將此歷史發展呈現出來。

（四）從教育教學的角度看

夸美紐斯提倡，作為培養“人”的教育要遵循自然邏輯的順序以及學生的認知發展規律。新教材體現了從定性到定量的刻畫，教材通過“SAS”定理的代數化，類比向量的數量積公式，從而推導余弦定理。這種推導方式固然是“自然”且簡潔的，但在推導正弦定理時，先利用直角三角形的特殊性猜想出正弦定理，再利用向量法來證明其一般性。這個推導過程相對而言就沒那么“自然”，并且向量法證明正弦定理的過程相對繁瑣，這讓許多一線教師在開展教學時遇到諸多困難。

然而，教材的編寫雖然要遵循“自然”原則，但也不能作為唯一的標準。運用幾何法來推導兩個定理看似“自然”，卻錯失了引導學生更加熟悉向量法、更頻繁使用向量法的機會。在實際教學過程中，教師要有發展的眼光，不能因幾何法的自然就排斥向量法的工具性價值。新課標將解三角形和平面向量都設為幾何與代數的內容，不僅加強了相同主題知識的聯系，也為向量的應用提供了一個重要的載體。在利用向量解決幾何問題的同時，構建三角形完整的認知結構。幾何視角下的三角形具有物理力學性質，能在水平與豎直方向上進行分解，這與向量的運算不謀而合。向量是不依賴坐標系的解析幾何，放在三角形的邊角問題上可以簡化運算，引導學生運用向量法有助于學生數學素養的提升，可以在今后解決幾何問題中開拓思路。教材在編寫的過程中要兼顧各方面的因素，要考慮整體單元下的教學模式，培養學生形成“向量”意識。從現代數學的發展視角上看，幾何法難以再有新的突破，而解析幾何、向量幾何的發展方興未艾，在此背景下，教材力求培養學生形成向量眼光，滲透向量思想。因此，數學教材在更新換代的過程中強化了向量價值，在基礎知識中加入向量法推導，目的是培養學生體會向量的力量。教材是為教學服務的，教師則要有教育的眼光，在教材的演變發展過程中，教師也要與時俱進。新舊兩版教材對正弦定理和余弦定理的介紹是分先后進行的，并且獨立推導而成。舊教材的兩個定理推導方式不同，雖然遵循了從易到難的方式，但也在一定程度上忽視了知識的一致性和探究性。

從一致性來看，兩個定理的證明方式是一脈相承的。從向量角度看，兩個定理都可以從a=b+c這個向量等式出發，再通過向量的數量積進行運算，從而實現“向量”向“數量”的轉化，只是具體的運算方式不同。而利用幾何法進行定理推導時，則都可以通過作高的方式證明，僅僅是建立等量關系的方式不同。因此，從教育邏輯的角度上看，兩個定理的證明運用同種方式可以保證知識的一致性，增強知識內化的程度。

從探究性上看，教師在開展教學時，后面一個定理的推導就可以仿照前一個定理推導的過程，讓學生自主探究，這樣不僅可以合理地分配教學時間，還能夠培養學生知識遷移的能力，提高學生分析問題和解決問題的能力。當然，并非運用向量法證明兩個定理就意味著將其他的證明方式舍棄，教材是承載知識的半成品，還需要教師結合實際情況，設計合適的課堂活動。向量法簡潔直接，具有發展性，而幾何法更具直觀性，因此，教師可以合理引導學生課后探究多種證明方法。

三、知識體系下解三角形知識與教學

課程教材的選擇、組織要考慮諸多因素。如何在歷史、邏輯、心理、原理、技術等方面綜合考慮的前提下，構建簡明的知識體系，是教學需要深度思考的問題。如果這些問題不考慮清楚，就無法有效地提高課堂的教學效益。

（一）關于解三角形的知識體系

1.探究解三角形的本質

三角形和圓是平面幾何的重要研究對象，而從拓撲學來看，兩者是一回事。用解析的方法研究三角形，形成射影定理、正弦定理和余弦定理；用解析方法的方法研究圓也得到了一系列的有關結論。那么，三角函數的知識體系和解三角形的知識之間究竟是怎樣的關系？解三角形是單列一章好，還是與向量合為一章，或是與三角函數融為一章，作為三角函數的應用？如果知識體系沒有研究清楚，解三角形似乎放在哪里都可以。為了使學生學得輕松和深入，有必要重新梳理解三角形的知識體系。

只有明確了解三角形的知識體系，才能確定教材合理的編排順序。解三角形是平面幾何中非常重要的研究對象，可以說，解三角形就是三角形的解析幾何，構成了平面解析幾何的基礎，若利用投影的角度可以得到構成解三角形的定理內容。射影定理、正弦定理、余弦定理及兩角和與差的正余弦公式是解三角形的重要工具，從投影的角度把它們放在一個優美的體系中。

如圖1，若將三角形的邊AB和邊AC都向水平方向投影就能得到射影定理a = b cos C+c cos B。若將三角形的兩邊向豎直方向投影，則能得到[bsinB]=[csinC]，從而得到正弦定理[asinA]=[bsinB]=[csinC]。

射影定理經過變形轉化，用邊表示就可以得到余弦定理，用角表示就可以得到兩角和的正弦公式。

由射影定理a = b cos C+c cos B，同理可得

三個式子左右兩邊同時乘等式左邊的式子則可得

從而得到余弦定理[a2=b2+c2-2bccosA]。

若對射影定理a = b cos C+c cos B，利用正弦定理[asinA]=[bsinB]=[csinC]將邊化為角，再根據三角形內角和定理A+B+C= 、誘導公式 [=sinA]，即可得兩角和的正弦公式sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB。如果再結合兩點間的距離公式，還可將兩角和的正弦公式與余弦定理相互轉化。射影定理、正弦定理和余弦定理這三者中，任意兩者相結合，都可以得到另外的一個定理，表現出它們在邏輯上的等價性。這意味著，若以投影形式展現，則解三角形知識可以形成一個知識體系，如圖2所示。

2.定理證明的方法

解三角形知識在教學中的定位應該是以三角形為基礎，通過對正弦定理和余弦定理的學習以及實際應用，讓學生建立起解決幾何問題的知識體系。學生通過從解決特殊的幾何圖形過渡到解決一般幾何圖形的過程，形成解析幾何的方法和視角，培養數學建模的核心素養。其中，定理的證明就是使學生建立認知系統的典范。在定理的證明中，可以采用的方法很多，可以從幾何的角度證明解三角形的各種定理，主要有面積法和圓法；也可以從向量的證明解三角形的各種定理；還可以從坐標的角度證明解三角形的各種定理，主要有解析坐標法、向量坐標法和復數坐標法等。不同的證明方式體現了不一樣的視角和思想。

（1）幾何法證明

幾何的證明主要表現了方和圓的張力。“方”法是指借助正方形的面積，“圓”法是指圓中的托勒密定理。

①正弦定理：由三角形面積公式[S△ABC=12absinC][=12bcsinA=12acsinB]，各項同時除以abc，即可得正弦定理[asinA]=[bsinB]=[csinC]。

②余弦定理：在三角形的三邊上分別向外作正方形，由點A作底邊BC的高，把BC邊上的正方形分割成兩個小矩形，這樣就有a2 = ab cos C + ac cos B，化簡得a = b cos C + c cos B，在其他兩邊上也如此操作，得到余弦定理。如圖3所示。

正方形面積法在代數形式上化作了勾股定理，如果用勾股定理，有b2=（c sin B）2 + （a - cos B）2，也可得到余弦定理。

③兩角和的正弦公式：由面積相等[S△ABC=][S△ABD+S△ACD]，即得[12bcsinA=12bcsinCcosB+][12bcsinBcosC]，化簡可得兩角和的正弦公式。

正方形與圓之間有張力。既然“方”法能證明上述定理，“圓”法也能證明上述定理。以下為利用圓證明幾個定理的方式。

①正弦定理：如圖4，在圓中很容易證得，并且有[asinA]=[bsinB]=[csinC]=2R。

②余弦定理：如圖5，在圓中構造等腰梯形，可得CD = c + 2bcos（ -[θ]），結合托勒密定理AB·CD + AC·BD = AD·BC，易得余弦定理。

③射影定理：如圖6，由托勒密定理2R·BC = AB·2R cos B + AC·2R cos C，即得射影定理。

④兩角和的正弦公式：如圖7，由托勒密定理，AB·CD + BC·AD = AC·BD，代入相關的數據，得到兩角和的正弦公式。

解三角形的相關知識其實是三角形全等的量化表達，因此能夠在平面幾何的框架內得到較為圓滿的證明。

（2）向量法證明

①余弦定理：利用三角形的內角和為 ，根據向量的概念有[BA+AC=BC]，這是從幾何意義的角度利用向量刻畫三角形。利用向量的數量積將兩邊平方，即可得余弦定理。

②正弦定理：一方面用向量法推導正弦定理可以分類討論，即人教版新教材中所給的方式，利用單位向量和垂直向量的性質，將三角形分成直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形的證明方式進行推導，用高所在的向量對等式兩邊作點乘得正弦定理；另一方面，根據向量叉乘的幾何意義，有[a×b=b×c=c×a]，展開后可得正弦定理。

③射影定理：對[BA+AC=BC]兩邊同時點乘[BC]，化簡可得射影定理，或用高所在的向量對等式兩邊作叉乘也可得射影定理。

向量法推導余弦定理和射影定理的方式十分簡潔，但也存在一定的抽象性，在正弦定理的推導中，由于中學階段未涉及向量叉乘，因此證明方式更偏向較為繁瑣的第一種方法。

（3）坐標法證明

從坐標的角度證明，可以采用解析幾何意義上的坐標、向量意義上的坐標及復數意義上的坐標進行證明。

20世紀90年代，教材采用解析幾何的坐標證明了余弦定理和正弦定理。用距離算長度，把長度算兩次得到余弦定理，用坐標算三角形的面積得到正弦定理。把解析坐標法稍加改造，能得到向量意義上的坐標及復數意義的坐標證法，獲得正弦定理、射影定理和余弦定理。

由圖8可知[AC=bcosA+ibsinA。]

由向量三角關系有[AC=AB+BC]= c? + ［a cos（ -B） + ia sin（ -B）］= c - a cos B + ia sin B。

根據復數相等可得[bcosA=c-acosB，bsinA=asinB，]

即得[c=bcosA+acosB，asinA=bsinB。]

由上述兩個式子即可得到正弦定理和余弦定理。

在二維平面內，向量與復數可產生一一對應關系，上述證法可稍加改造而得到向量坐標證法。

如圖9，將[BC]平移到[AD]，

由[BC]=[AD]得[asinB=bsinA，acosB=bcosA-c。]

前一個式子可得正弦定理，后一個式子可得射影定理，結合兩個式子則可得余弦定理。

在這三種解析坐標法中，由于向量或復數把橫縱兩個坐標同時考慮，其力量強于解析坐標法。這也表明教材編寫在與時俱進。

各種證明方法可以總結為以下的體系中（如圖10）。

（二）教學論角度分析

數學教學要先找到一個宏觀支架，才能架構起自然的知識結構。知識結構觀是布魯納及認知主義的重要觀點。合理的知識結構才能轉化為良好的認知結構。正余弦函數是用單位圓上的點的坐標定義的，可分別看作是點向豎直和水平兩個方向投影而形成。而教材中對向量的介紹時也引入了投影向量的概念。更一般地，點在直線上的射影、二視圖、三視圖均可看作投影。由此可見，投影是一個非常大的宏觀概念。以宏觀概念為支架，對三角形的邊向水平或豎直兩個方向進行投影，就能得到正弦定理和射影定理，然后分別用三角形的基本元素進行表達，余弦定理和兩角差的余弦公式也可以得到。在這個過程中，人們可以真正地感受到“數學是自然的”，也能夠體會到向量與三角定理之間的內在聯系。如果不清楚知識結構，不把知識納入一個有機的體系中，則會出現“雖有寶物，置措無當，則無法欣賞致形成能力”的情況。

首先，教學要形成比較、鑒別和欣賞的眼光。解三角形的相關知識既可用平面幾何的方法得到，編排在初中課程中，也可以用坐標的方法、向量的方法得到，編排在高中課程的三角函數或向量中，也可以單獨成章。眾多的過程處理方法雖然開闊了我們的視野，但同時也給人們帶來了一些思考：哪種方式對學生最有意義或最有價值？隨著現代數學的不斷發展，解析幾何和向量幾何的工具性價值逐漸顯現。在向量沒有進入高中教材之前，人們認為解析幾何的坐標比平面幾何的方法更有力量，更有利于學生的發展，因此用解析坐標法得到解三角形的相關結果。在向量進入高中教材之后，教材就用幾何形式的向量得到了解三角形的相關結果。因此可以看出，教材內容在不斷地演化更新。作為教師，要有教學的眼光，既不能只關注優美的平面幾何方法，也不能排斥具有工具性的向量方法。教學不同于灌輸，進入教學中的內容都是選擇性的產物。教師要厘清教學內容，了解教學重難點，分清主次，不能不分輕重緩急，一股腦全部塞給學生，這樣會導致學生不能整合所有的知識，最后消化不良，徒增負擔，與教育的初衷背道而馳。

其次，教學要形成直觀感受。平面幾何的方法雖然淡出了教材，但直觀、直覺的重要性卻不能被忽視。在直覺主義看來，真正的數學是心智活動的領域，它可以通過數學直覺而得到構造。對學生學習而言，學習后的知識不能形成一種直觀上的認知，那么就無法在頭腦中生根。形成幾何直覺就是在與凝結在符號知識后面的哲人智慧進行深刻的對話，將公共性的知識轉化為具有個人深刻體驗的知識，從而使自己更有洞察力［7］。幾何的背后是物理，幾何視角下的三角形具有力學性質，服從力的分解與合成，對二維平面而言，只要把水平方向和豎直方向研究清楚，就能夠掌握平面上的情況。由此，解三角形的“解”實際就是通過在二維上的解析來把握平面上的力學情況。教學就是要讓學生通過對符號知識的學習與理解，達到認識數學世界、自然世界和人類精神世界的目的。從直觀視角上去領悟天地萬物運行、化育之機理，學生才能有悟性，有洞察力，才會對數學、人世的情感、態度和價值觀發生變化，才能使數學的科學價值、文化價值和審美價值化作個體的科學力量、文化行動和審美眼光，從而實現育人之根本［8］。

參考文獻：

［1］張奠宙，袁震東. 話說向量［J］. 數學教學，2007（9）：6-9，23.

［2］張小明. 正弦定理的證明：從歷史到教學［J］. 數學通報，2015（7）：15-17，22.

［3］汪曉勤. 20世紀中葉以前的正弦定理歷史［J］. 數學通報，2016（1）：1-5，27.

［4］汪曉勤. 20世紀中葉以前的余弦定理歷史［J］. 數學通報，2015（8）：9-13.

［5］CURTISS D R，MOULTON E J. Essential of trigonometry with applications［M］. Boston：D. C. Heath ＆ Co.，1842.

［6］HOLMES C T. Trigonometry［M］. New York：Mcgraw- Hill Book Company，1951.

［7］徐章韜. 解三角形及其教育意蘊［J］. 數學教學，2009（9）：2-4.

［8］夏基松，鄭毓信. 西方數學哲學［M］.? 北京：人民出版社，1986.

（責任編輯：陸順演）

【作者簡介】陳曉蓉，碩士，主要從事中小學數學教學；徐章韜（通訊作者），博士，教授，主要從事教師教育研究。

【基金項目】2022年度教育部人文社會科學規劃“雙減”政策落地的教師教學知識研究（22YJA880068）