讓數(shù)感在智趣教學(xué)中豐滿起來
——以一上“認(rèn)識11～20各數(shù)”的教學(xué)為例

吳汝萍

數(shù)感是數(shù)學(xué)認(rèn)知的基礎(chǔ)和起源，也是人的一種基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》中將小學(xué)階段核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)分為11 個方面，數(shù)感排在第一位，可見其重要性。數(shù)感主要是指對于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運(yùn)算結(jié)果的直觀感悟。數(shù)感是形成抽象能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。建立數(shù)感有助于理解數(shù)的意義和數(shù)量關(guān)系，初步感受數(shù)學(xué)表達(dá)的簡潔與精確，增強(qiáng)好奇心，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

要在認(rèn)數(shù)、計算等教學(xué)過程中讓學(xué)生形成良好的數(shù)感，這已成為廣大數(shù)學(xué)教師的共識。但不少教師的切身體會是：數(shù)感，想說“愛你”不容易！如何改變這一狀況，變“不容易”為“容易”，讓“數(shù)感”豐滿起來呢？下面，筆者以蘇教版一上“認(rèn)識11～20 各數(shù)”的教學(xué)為例，談一談如何在認(rèn)數(shù)過程中有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

一、智趣比較，“找”出數(shù)感，開啟深入探究之旅

師：我們已經(jīng)認(rèn)識了10 以內(nèi)的數(shù)（課件出示0～10 各數(shù)），在這些數(shù)中，哪個數(shù)長得與眾不同？

生：10有兩個數(shù)字，其他都是一個數(shù)字。

師：0～9 都只有一個數(shù)字，大家就稱它們?yōu)橐晃粩?shù)。10 是由兩個數(shù)字寫成的，猜猜看，大家稱它為幾位數(shù)？

生：兩位數(shù)。

師：對，10 是由兩個數(shù)字寫成的，是兩位數(shù)。排在10后面的數(shù)有——

生：11、12、13……20。

師（課件出示11～20 各數(shù)）：它們與10 相比，哪里一樣？

生：都是兩位數(shù)。

師：為什么從10 開始就變成兩位數(shù)了？我們今天就來認(rèn)識11～20各數(shù)，研究其中的原因。

“認(rèn)識11～20 各數(shù)”開啟了兩位數(shù)的學(xué)習(xí)，是學(xué)生學(xué)習(xí)“十進(jìn)制”及“位值制”計數(shù)法的啟蒙階段，是數(shù)概念形成過程中的一次重要突破，對整個認(rèn)數(shù)體系的建構(gòu)起著極為重要的奠基作用。

一年級學(xué)生雖然在入學(xué)前已基本能數(shù)會寫20 以內(nèi)的數(shù)，但并不知道為什么要這樣計數(shù)，更沒有計數(shù)單位“十”的概念。在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生比較10 以內(nèi)的數(shù)，找出“與眾不同”的“10”，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)“11～20 各數(shù)”和10 一樣，都是兩位數(shù)。數(shù)感就在這樣“找”的過程中不知不覺萌發(fā)了，成功激發(fā)了學(xué)生探究兩位數(shù)的欲望，促進(jìn)他們開啟了深入探究之旅。

二、智趣溯源，“溯”出數(shù)感，有效建立“十”的概念

師：我們先數(shù)出10 根小棒。認(rèn)識10 時，數(shù)出10根后做了什么事？

生：捆起來。

課件出示1根小棒和1捆小棒。

師：這兩個都是1，有什么不同？

生：左邊是1根，右邊是1捆。

師：左邊的表示一根，右邊的表示1捆是10根。這個10 是個整體，一般用漢字“十”來表示。（板書：十）

師：左邊是1 個——一，是單根的1。右邊是1 個——十，是1 捆，是10 根。寫“十”的時候，要在1的后面添上——0，表示——10。

師：現(xiàn)在，對照小棒想一想，“10”這個數(shù)中的1表示什么？0表示什么？

討論得出：1 表示1 個十，是1 捆；0 表示單根的一根也沒有。

師：1個一和1個十之間有什么關(guān)系？

生：1個十里面有10個一。

師：為什么大家喜歡將“10 個一”捆成“1 個十”呢？這跟我們古人的計數(shù)習(xí)慣有關(guān)。下面，我們來看看古人是怎么計數(shù)的。

課件依次出示古人用雙手十指計數(shù)的方法，引導(dǎo)學(xué)生一起用手指表示1～10。

師：遇到十個手指不夠數(shù)時，古人是怎么做的呢？

課件出示11 只兔子圖，引導(dǎo)學(xué)生模仿古人用手指計數(shù)。

師：數(shù)到10，手指用完了，可兔子還沒有數(shù)完，怎么辦呢？古人低頭一看，看到地上有個小石頭，靈機(jī)一動，就用這個小石頭表示1 個十（課件出示相應(yīng)圖片）。現(xiàn)在雙手騰出來了，又可以用手指繼續(xù)數(shù)了。從此，人們就形成了習(xí)慣，只要滿10，就把它單獨(dú)打包，捆在一起，變成“1個十”。你在超市里見過“1個十”嗎？

學(xué)生交流后出示相關(guān)圖片。

師：這些都是把“10個一”變成了——

生:1個十！

從古至今，人類在計數(shù)方面出現(xiàn)了多種不同的進(jìn)位制，但應(yīng)用最廣的當(dāng)屬“十進(jìn)制”無疑。計數(shù)單位“十”的發(fā)明是一個創(chuàng)舉。有了它，表示十幾和幾十的數(shù)就變得特別便利。因此，建立計數(shù)單位“十”的概念是認(rèn)識“11～20 各數(shù)”的重中之重。如果只是讓學(xué)生將10 根小棒捆成一捆，然后告訴學(xué)生“10 個一是1 個十”或“1個十里有10 個一”，學(xué)生頭腦中很難形成計數(shù)單位“十”的概念，自然難以獲得數(shù)感。

上述教學(xué)，首先通過1 根與1 捆的比較，讓學(xué)生認(rèn)識“1 個一”與“1 個十”，進(jìn)而認(rèn)識到“10”中的“1”表示的是1 捆，是“1 個十”，“0”表示單根的一個也沒有，滲透了“位值制”。接著讓學(xué)生身臨其境，溯源古人雙手十指計數(shù)法，從中理解“1 個十”產(chǎn)生的緣由，感知數(shù)學(xué)文化，體會古人的智慧。最后讓學(xué)生在生活中感受“1 個十”的普遍存在。如此，學(xué)生對“1 個十”就有了深入的認(rèn)識，頭腦中就有了“十”的概念，相關(guān)“1個十”的數(shù)感也就應(yīng)運(yùn)而生了。

三、智趣操作，“擺”出數(shù)感，善用計數(shù)單位“十”

課件出示1包火腿腸和1根火腿腸圖片。

師：圖中一共有多少根火腿腸？為什么你們沒有數(shù)，一下子就能報出來？

生：1個十和1個一，合起來就是11。

師（板書11）：這兩個“1”分別表示什么？請在兩個1的上面分別擺上小棒……也就是11里面有——1 個十和1 個一。你能用小棒擺出12嗎？

課件出示兩種擺法：一種是擺了12 個一，一種是擺了1個十和2個一。

師：這兩種擺法都是12 嗎？哪種擺法更好？為什么？

生：第二種！上面是1 根1 根擺的，很慢！下面擺1個十和2個一，很快！

師：真棒！你們擺的都是1 個十和2 個一。你最喜歡十幾？用小棒擺出來。擺好后，想辦法讓同學(xué)猜一猜你擺的是哪個數(shù)。

…………

師：剛剛我們擺了自己喜歡的數(shù)。大家能在1捆的邊上1根1根擺小棒，從11擺到19嗎？

生（邊擺邊說）：11、12、13……19。

師：19再添1是多少？

生：20。

師：我只看到1 個十和10 個1，看不出是20 呀！

生：把右邊的10根捆起來。

師：哦，這樣就變成幾個十了？

生：2個十，是20。

師：這里的2表示什么？0呢？0能不寫嗎？

生：2 表示2 個十，0 表示單根的一個也沒有。0不能不寫，0不寫就變成2了。

師：20 表示正好2 個十。如果把20 拆開，20里面一共有多少個一？

生：20個一。

師：如果要擺20，你喜歡1 根1 根擺，還是1捆1捆擺？為什么？

生：1捆1捆擺，這樣擺，快！

曹培英教授認(rèn)為：“數(shù)感是數(shù)的抽象意義與數(shù)的具體意義的統(tǒng)一，是一種自覺地基于數(shù)學(xué)的或現(xiàn)實(shí)的問題情境，解釋數(shù)與應(yīng)用數(shù)的意識和能力。”通過操作，可以將抽象的數(shù)直觀地呈現(xiàn)出來，數(shù)感就在“擺”的過程中變得明朗起來。

首先，通過1 包和1 根，讓學(xué)生認(rèn)識到1 個十和1 個一合起來是11。接著請學(xué)生在11 上面擺上相應(yīng)的小棒，如此形象直觀的板書，有助于學(xué)生認(rèn)識到不同位置上的數(shù)字雖然一樣，但表示的意思截然不同，有效滲透了“位值制”思想。

其次，讓學(xué)生用小棒擺出12，學(xué)生能擺出1個十和2 個一，由此可見，學(xué)生頭腦中已經(jīng)形成了“十”的概念，認(rèn)識并理解了12 是由1 個十和2 個一組成的。接著讓學(xué)生擺自己喜歡的十幾，并通過“我擺你猜”的游戲方式說出各個數(shù)的組成，使他們有效認(rèn)識了十幾。

最后，在1 個十、9 個一的基礎(chǔ)上添上1 個一，讓學(xué)生主動遷移前面遇到“10 個一”的處理辦法：滿“10 個一”就捆成“1 個十”，結(jié)果就有了2 個十，就是20。這里滲透了“滿十進(jìn)一”的原理。接著通過追問“20 的兩個數(shù)字分別表示什么”，進(jìn)一步滲透“位值制”思想。再通過比較“如果要擺20，你喜歡1 根1 根擺，還是1 捆1 捆擺”，讓學(xué)生體會到使用計數(shù)單位“十”的便利性。

上述通過用小棒“擺”數(shù)，使學(xué)生深度理解了“11～20 各數(shù)”的意義，激活了他們的思維，使其有效建構(gòu)起了認(rèn)數(shù)體系，在不知不覺中形成了相應(yīng)的數(shù)感。

四、智趣一瞥，“看”出數(shù)感，加深理解數(shù)的意義

師：現(xiàn)在考考大家的眼力，看大家能否一眼就看出圖中表示的數(shù)是多少。

課件出示表示“1 個十和幾個一”的圖片，瞬間消失，讓學(xué)生搶答看到的數(shù)目。

師（課件出示散放的皮球圖）：怎么一眼看不出來了？感覺一下，可能有多少？

生：看不到“十”！我感覺可能有14個。

…………

師：你們感覺都比15少，到底是多少？先數(shù)出1個十，把它圈起來。現(xiàn)在能一眼看出是——13，誰幫了我們大忙？

生：1個十。

師（課件出示草莓圖）：也沒有“十”，先感覺一下，可能有多少個？

生：我感覺可能有17個。

…………

師：這次你們感覺都比15 多，是不是呢？我們先圈出十個，現(xiàn)在能一眼看出是——16。你們的感覺很對，說明你們的數(shù)感很好！

數(shù)感是在理解數(shù)的意義的基礎(chǔ)上對數(shù)的知覺、領(lǐng)悟，能體現(xiàn)出對集合中數(shù)量多少的辨識能力。多讓學(xué)生看相關(guān)數(shù)的直觀圖片，可以增強(qiáng)他們對數(shù)的理解與整體感悟，從而有效提升其數(shù)感。

上述教學(xué)中，每出示一張圖片，都是只讓學(xué)生看一眼就取而代之為問號，讓學(xué)生說出自己瞬間一瞥看到的數(shù)。學(xué)生注意力高度集中，積極搶答，說出自己看到的數(shù)，充滿了成就感。當(dāng)出示皮球圖和草莓圖時，沒有了“十”，不能一眼看出結(jié)果，讓學(xué)生感悟到計數(shù)單位“十”的重要性。再讓學(xué)生根據(jù)自己的感覺估一估它們的個數(shù)，有效培養(yǎng)和檢驗(yàn)了學(xué)生的數(shù)感。大部分學(xué)生能感覺到皮球數(shù)不足15個，草莓?dāng)?shù)超過了15個，說明學(xué)生在對“11～20 各數(shù)”的認(rèn)識方面已初步具有一定的數(shù)感。

五、智趣數(shù)數(shù)，“數(shù)”出數(shù)感，有效形成數(shù)的概念

師：智慧小仙來給我們送智慧星啦！你能很快數(shù)出一共有多少顆星星嗎?

將智慧星放在2 行20 格中，依次讓學(xué)生數(shù)出15、11、13、18，并想辦法在數(shù)軸（如圖1）上找到此數(shù)所在的準(zhǔn)確位置。

（圖1）

接著引導(dǎo)學(xué)生看數(shù)軸上的數(shù)交流：11 和13中間的數(shù)是多少？18 和20 中間的數(shù)呢？和15相鄰的數(shù)是誰？和18相鄰的數(shù)呢？……

再引導(dǎo)學(xué)生按智慧小仙的要求數(shù)智慧星：5個5個地數(shù)，4個4個地數(shù)……

師：我們給20 顆智慧星排一下位置，（如圖2）第1 顆，第2 顆……上下對著數(shù)一數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)什么？

（圖2）

生：上面是幾，下面是十幾，上面是10，下面是20。

…………

師：現(xiàn)在，我們來玩一個“搶數(shù)游戲”。

課件出示“搶數(shù)游戲”規(guī)則：從1 開始，兩人輪流按順序報數(shù)，每次可以報1 個數(shù)或2 個數(shù)，誰先搶到20誰就贏。

學(xué)生相互比試后，選代表與教師比試。

師：為什么都是老師贏？大家課后找找看，看能不能找到其中的秘密。

數(shù)起源于“數(shù)”，數(shù)是“數(shù)”出來的，“數(shù)”岀來的結(jié)果便是數(shù)。上述鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，教師創(chuàng)設(shè)“智慧小仙在20 個方格中送智慧星”的情境，讓學(xué)生用不同的方法數(shù)出智慧星的個數(shù)，進(jìn)而想辦法在數(shù)軸上準(zhǔn)確確定該數(shù)的位置：怎么確定15的位置？怎么確定11的位置？18在哪兩個數(shù)之間，它距離15近一點(diǎn)，還是距離20近一點(diǎn)？怎么確定它的位置？如此，讓學(xué)生深入理解“11～20各數(shù)”之間數(shù)的關(guān)系和順序。智慧星放在1 行10格的2行格子中，結(jié)構(gòu)感強(qiáng)，計數(shù)單位“十”和“一”的關(guān)系一目了然。尤其是按星星的順序呈現(xiàn)出20 個數(shù)后，讓學(xué)生上下對比著讀，十進(jìn)制計數(shù)法的結(jié)構(gòu)躍然其中，有效開啟了十進(jìn)制的認(rèn)知大門。最后的“搶數(shù)游戲”更是充分調(diào)動了學(xué)生數(shù)數(shù)的積極性。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)都是老師贏，更是欲罷不能，非常想知道“贏”的秘密。學(xué)生思考數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)的興趣被充分激活了。

數(shù)感強(qiáng)調(diào)的是對數(shù)的整體感知和把握，既包含感知成分又包括思維成分。通過讓學(xué)生從不同的維度或者用不同的方式去數(shù)數(shù)，推動他們將每個數(shù)和其他數(shù)建立起了聯(lián)系。整個過程智趣相生，學(xué)生興致勃勃，“11～20 各數(shù)”的組成和關(guān)系也進(jìn)一步變得明晰起來。學(xué)生獲得了相應(yīng)的數(shù)序感和結(jié)構(gòu)感，數(shù)概念和數(shù)感也隨之形成。

六、智趣遷移，“推”出數(shù)感，悟出其中的一致性

師：今天，我們認(rèn)識了11～20 各數(shù)，你知道了什么？有沒有什么新的想法？

生1：我知道1個十和幾個一合起來是十幾。

生2：我知道十幾，左邊的1 表示1 個十，右邊的幾表示幾個一。

生3：我知道2個十就是20。

生4：我想到3個十是30。

…………

師：如果十個十個地數(shù)，又滿十了，怎么辦呢？這個問題留給大家課后去研究。今天的學(xué)習(xí)，你還知道了什么，想到了什么？

生1：11～20都是兩位數(shù)。

生2：我想到二十幾是兩位數(shù)。

生3：我想到幾十幾都是兩位數(shù)。

師：二十幾、三十幾這樣的幾十幾，是不是都是兩位數(shù)呢？它們表示什么意思呢？這些知識我們下學(xué)期會學(xué)到。大家如果感興趣，課后可以先去研究研究。

學(xué)生具有數(shù)感的典型特征，就是面對數(shù)的模式、結(jié)構(gòu)、數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系時能自主進(jìn)行歸納，并能有效遷移，把新知識與已有知識聯(lián)系起來。認(rèn)識“11～20 各數(shù)”后，學(xué)生推想到幾個十就是幾十、幾十幾都是兩位數(shù)，可見，學(xué)生已經(jīng)擁有了相應(yīng)的數(shù)感。

總之，數(shù)感是一種主動自覺地或自動化地理解和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度與意識。數(shù)感的培養(yǎng)離不開學(xué)生數(shù)學(xué)理解力的培養(yǎng)，更離不開積極的學(xué)習(xí)態(tài)度與信心的培養(yǎng)。這需要教師在教學(xué)過程中彰顯“智”與“趣”，讓學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)過程，深入探究數(shù)學(xué)知識，深度理解學(xué)習(xí)內(nèi)容，樂此不疲地“找”出數(shù)感、“溯”出數(shù)感、“擺”出數(shù)感、“看”出數(shù)感、“數(shù)”出數(shù)感、“推”出數(shù)感……如此，學(xué)生相應(yīng)的數(shù)感就能在彰顯智趣的深度學(xué)習(xí)過程中逐漸豐滿起來。