冪律流體在部分填充多孔介質(zhì)平板通道內(nèi)的流動(dòng)特性研究

徐春暉，陶友瑞，2，段書用，2

（1.河北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300401；2.河北工業(yè)大學(xué)電工裝備可靠性與智能化國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300401）

0 引言

流體在部分填充多孔介質(zhì)通道中的流動(dòng)在微通道熱沉、太陽能集熱器等工程中有著廣泛應(yīng)用[1-4]。在通道內(nèi)填充多孔介質(zhì)可以強(qiáng)化換熱，卻增加了流動(dòng)阻力，由于部分填充多孔介質(zhì)通道有著流動(dòng)阻力小和換熱能力強(qiáng)的特點(diǎn)，于是一些學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究。Shokouhmand等[5]基于局部熱平衡單能量方程，分別對(duì)多孔介質(zhì)填充在通道兩側(cè)和中間的多孔介質(zhì)通道的流動(dòng)與換熱進(jìn)行了研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)多孔介質(zhì)填充在通道中間產(chǎn)生的流動(dòng)阻力和壓力降大于多孔介質(zhì)填充在兩側(cè)產(chǎn)生的流動(dòng)阻力和壓力降。另外，Poulikakos等[6]、Maerefat等[7]和Mohamad[8]也分別對(duì)這2種填充方式通道內(nèi)的流動(dòng)特性進(jìn)行了研究。Alazmi等[9]研究了5種部分填充多孔介質(zhì)通道內(nèi)多孔介質(zhì)通道和空通道相接的界面條件，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，界面條件對(duì)多孔介質(zhì)通道中的流動(dòng)影響較大，對(duì)換熱影響較小，黏度系數(shù)對(duì)流體的換熱和Nu 數(shù)的影響不顯著。Xu等[10]基于局部非熱平衡雙能量方程，求解了部分填充多孔介質(zhì)通道中的無量綱溫度和無量綱速度的解析解，并研究了各無量綱參數(shù)對(duì)多孔介質(zhì)內(nèi)流動(dòng)與換熱的影響。Qu等[11]對(duì)基于含有邊界摩擦阻力項(xiàng)的達(dá)西方程和局部非熱平衡雙能量方程，對(duì)泡沫金屬填充在環(huán)形通道內(nèi)表面的通道內(nèi)流動(dòng)與換熱進(jìn)行了研究，得到了無量綱速度分布得解析解，分析了相關(guān)參數(shù)對(duì)流動(dòng)特性的影響。匡東升[12]和戴振宇[13]建立了流體在部分填充多孔介質(zhì)通道中流動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用有限元數(shù)值方法模擬了流體在部分填充多孔介質(zhì)通道中流動(dòng)。Yerramalle等[14]在3種界面條件下對(duì)部分填充多孔介質(zhì)圓管通道內(nèi)的流動(dòng)進(jìn)行了研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)通道尺寸和孔隙率等參數(shù)對(duì)于流體流動(dòng)有著顯著影響。Lisboa 等[15]基于局部熱平衡單能量方程，對(duì)部分填充多孔介質(zhì)平板通道內(nèi)的對(duì)流換熱進(jìn)行了研究。Rodrigues等[16]對(duì)部分填充多孔介質(zhì)的通風(fēng)腔進(jìn)行了研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)多孔介質(zhì)孔隙率對(duì)通風(fēng)腔流場有著顯著影響。目前，部分填充多孔介質(zhì)流動(dòng)特性的研究大多針對(duì)牛頓流體。在實(shí)際工程應(yīng)用中，流變特性復(fù)雜的冪律流體更為常見，針對(duì)冪律流體在部分填充多孔介質(zhì)通道內(nèi)的流動(dòng)特性研究更有工程應(yīng)用價(jià)值，但是針對(duì)冪律流體的研究較少。本文在以往研究的基礎(chǔ)上，通過邊界層動(dòng)量積分法求解了冪律流體的Brinkman-Darcy流動(dòng)擴(kuò)展模型，得到了冪律流體在部分填充多孔介質(zhì)通道內(nèi)的無量綱速度分布模型。同時(shí)，計(jì)算并分析了Da數(shù)、冪律指數(shù)、填充厚度等無量綱參數(shù)對(duì)無量綱速度分布及峰值的影響。

1 數(shù)學(xué)物理模型

如圖1所示，2個(gè)無限長的平行板通道之間的距離為H，部分填充了均勻多孔介質(zhì)，其中未填充多孔介質(zhì)部分的距離為H1。冪律流體在平板通道中單向流動(dòng)。冪律流體單相不可壓縮，并且除流體粘度外，其它物理參數(shù)是定值。假設(shè)重力效應(yīng)沒有影響。此外，流動(dòng)進(jìn)入充分發(fā)展階段。

圖1 冪律流體流經(jīng)部分填充多孔介質(zhì)通道的示意圖Fig.1 Flow diagram of power law fluid in partially filled porous media channel

對(duì)于部分填充多孔介質(zhì)平板通道，需要使用2 種控制方程來分別描述冪律流體在多孔介質(zhì)通道（填充均勻多孔介質(zhì)區(qū)域）和空通道（未填充多孔介質(zhì)區(qū)域）的流動(dòng)行為。多孔介質(zhì)通道的動(dòng)量方程和空通道的動(dòng)量方程分別為

式中：u為冪律流體流速；μ為冪律流體稠度系數(shù)；ε為多孔介質(zhì)孔隙率；n為冪律流體的冪律指數(shù)；K為多孔介質(zhì)滲透率；為軸向壓力梯度。

為求解式（1）、式（2），引入如下無量綱參數(shù)：

則式（1）、式（2）無量綱形式為

對(duì)應(yīng)的無量綱邊界條件為

邊界層黏性阻力只存在于邊壁附近的邊界層。在邊界層之外，無量綱中心線速度如下：

由式（9）可得無量綱壓降為

對(duì)式（3）在通道上動(dòng)量積分得

式（3）、式（4）的對(duì)應(yīng)邊界條件如下：

為了求解式（3）、式（4），需要在多孔介質(zhì)區(qū)域與未填充多孔介質(zhì)區(qū)域交界處和多孔介質(zhì)區(qū)域與邊壁交界處兩個(gè)邊界層中分別添加速度分布經(jīng)驗(yàn)公式。假設(shè)邊界層中速度呈二次拋物線分布，則無量綱速度分布的表達(dá)式為

式中，

將邊界條件式（12）～式（18）代入式（19）可得到

由此，無量綱速度為

通過將拋物線速度分布表達(dá)式（19）代入到式（3）、式（4）中并考慮到邊界條件式（12）～式（18），獲得了無量綱邊界層厚度：

式中，Γ是伽瑪函數(shù)。

體積平均速度um和無量綱體積平均速度Um的定義如下：

由此，可得無量綱體積平均速度

因此，基于體積平均速度的無量綱速度為

聯(lián)立式（21）、式（23）、式（24）、式（26）和式（27），采用迭代法求解，即可求得無量綱速度。

2 計(jì)算結(jié)果分析

2.1 無量綱速度分布的影響因素分析

根據(jù)定義的無量綱參數(shù)，可知道Y1為空通道的無量綱厚度，(1-Y1)為多孔介質(zhì)通道的無量綱厚度。文獻(xiàn)[4]未考慮多孔介質(zhì)通道與空通道交界處的邊界黏性阻力，并且在n=1（即牛頓流體）條件下求得了速度分布的解析解。為了驗(yàn)證當(dāng)前解的正確性，在n=1 和Da=0.000 01 的條件下，圖2 將本文速度模型與文獻(xiàn)[4]中給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較。

圖2 本文速度分布與參考文獻(xiàn)的對(duì)比Fig.2 Comparisons among the present date te and the ones given in references

圖3 所示為Y1=0.2，n=1 時(shí)，達(dá)西數(shù)Da對(duì)無量綱速度分布的影響。由圖3 可以看出，多孔介質(zhì)通道(Y＞Y1) 內(nèi)的無量綱速度明顯低于空通道(Y＜Y1)內(nèi)的無量綱速度，速度峰值出現(xiàn)在空通道內(nèi)。隨達(dá)西數(shù)Da減小，多孔介質(zhì)通道內(nèi)速度減小，空通道速度增大。當(dāng)Da＜10-5時(shí)，達(dá)西數(shù)Da的變化對(duì)無量綱速度不再有顯著的影響，無量綱速度分布基本不變；此時(shí)邊界層厚度極小，通道內(nèi)的無量綱速度趨于達(dá)西流，動(dòng)量方程中的邊界層粘性阻力項(xiàng)對(duì)無量綱速分布的影響幾乎可以忽略，即在Da＜10-5時(shí)，直接使用達(dá)西定律來描述冪律流體在多孔介質(zhì)通道內(nèi)的流動(dòng)更加簡便。

圖3 達(dá)西數(shù)Da對(duì)無量綱速度分布的影響Fig.3 The effect of Darcy number on dimensionless velocity distribution

圖4為Da=0.001，n=1時(shí)，多孔介質(zhì)填充厚度對(duì)無量綱速度分布的影響。隨著空通道厚度Y1增加，空通道(Y＜Y1)無量綱速度先增大后減小。這是由于當(dāng)空通道厚度較小時(shí)，隨著空通道厚度增加空通道內(nèi)的流量也顯著增加，流速自然升高。在部分填充多孔介質(zhì)平板通道內(nèi)，由于流動(dòng)阻力有差距，空通道內(nèi)單位厚度的流量大于多孔介質(zhì)通道，尤其是在達(dá)西流區(qū)（一般認(rèn)為Da≤0.001），達(dá)西數(shù)Da越小流量差距越大，因而當(dāng)空通道內(nèi)無量綱厚度達(dá)到一定值后，大部分冪律流體均在空通道內(nèi)流動(dòng)，流量隨無量綱厚度增加的變化將不再顯著，即隨著無量綱厚度的增加，空通道內(nèi)流量迅速增加，而后增加越來越平緩。因此當(dāng)空通道達(dá)到一定厚度時(shí)，隨著空通道無量綱厚度增加，流量增加不再明顯，流速反而降低。多孔介質(zhì)通道(Y＞Y1)流速隨著多孔介質(zhì)通道厚度(1-Y1) 的減小而降低，這是由于多孔介質(zhì)通道厚度的減小導(dǎo)致空通道厚度增大，使得空通道的流動(dòng)阻力減小，流體通過空通道內(nèi)的流量增加，因此通過多孔介質(zhì)通道內(nèi)的流量減小，流速減小。Y1=0 表示兩平板之間完全填充了多孔介質(zhì)，流動(dòng)呈結(jié)構(gòu)流特征，流核速度穩(wěn)定，邊界層速度由邊壁到流核逐漸增大。

圖4 填充多孔介質(zhì)區(qū)域厚度(1-Y1 )對(duì)無量綱速度分布的影響Fig.4 The effect of porous media thickness on dimensionless velocity distribution

圖5描述了在Y1=0.2 及達(dá)西數(shù)Da=0.001的條件下，部分填充多孔介質(zhì)通道內(nèi)的無量綱速度分布隨冪律指數(shù)n的變化情況。從圖5 可知，剪切變稀流體（n＜1）在空通道(Y＜Y1)內(nèi)的無量綱流速比剪切變稠流體（n＞1）和牛頓流體（n=1）高，即隨著冪律指數(shù)n的減小，空通道內(nèi)的無量綱流速增大。剪切變稠流體（n＞1）在多孔介質(zhì)通道(Y＞Y1)內(nèi)的無量綱流速比剪切變稀流體（n＜1）和牛頓流體（n=1）高，即隨著冪律指數(shù)n的增大，多孔介質(zhì)通道內(nèi)的無量綱流速增大。在空通道內(nèi)流動(dòng)阻力小于多孔介質(zhì)通道內(nèi)的流動(dòng)阻力，冪律流體在空通道內(nèi)的無量綱速度明顯高于多孔介質(zhì)通道內(nèi)的無量綱速度。由于剪切變稀流體隨速度增加而表觀粘度降低，空通道內(nèi)的速度高，因而流動(dòng)粘性阻力進(jìn)一步減小，流速進(jìn)一步增大；在多孔介質(zhì)通道內(nèi)情況相反。

圖5 冪律指數(shù)n 對(duì)無量綱速度分布的影響Fig.5 The effect of power law index on dimensionless velocity distribution

2.2 無量綱速度峰值的影響因素分析

圖6描述了在冪律指數(shù)n=1的條件下，達(dá)西數(shù)Da對(duì)無量綱速度峰值Umax的影響，無量綱速度峰值Umax一般在空通道內(nèi)。分析圖6可知，隨著空通道厚度Y1增加，無量綱速度峰值Umax先增大后減小，并且變化越來越平緩。在同樣的填充厚度下，當(dāng)Y1≤0.4時(shí)，隨達(dá)西數(shù)Da減小，無量綱速度峰值Umax增大，因?yàn)檫_(dá)西數(shù)Da減小會(huì)使得多孔介質(zhì)通道內(nèi)流動(dòng)阻力增加，冪律流體則被擠入流動(dòng)阻力更小的空通道內(nèi)，導(dǎo)致空通道內(nèi)的無量綱速度峰值增加。當(dāng)Y1≥0.4時(shí)，速度峰值Umax隨達(dá)西數(shù)Da變化幅度較小，幾乎可以忽略，這是由于隨著空通道的厚度增大與多孔介質(zhì)通道厚度的減小，進(jìn)一步導(dǎo)致空通道的流量增大而多孔介質(zhì)內(nèi)的流量減小，但由于空通道厚度較大時(shí)，空通道內(nèi)的流量遠(yuǎn)大于多孔介質(zhì)通道，即大部分流體在空通道內(nèi)，此時(shí)流量增加量很小。因此空通道厚度較大時(shí)，冪律流體由于達(dá)西數(shù)Da減小被擠入空通道流量有限，對(duì)空通道內(nèi)的速度分布影響較小，速度峰值Umax變化不大。

圖6 達(dá)西數(shù)對(duì)速度峰值的影響Fig.6 The effect of Darcy number on dimensionless maximum velocity

圖7描述了在達(dá)西數(shù)Da=0.001的條件下，冪律指數(shù)n對(duì)無量綱速度峰值Umax的影響。分析圖7可知，隨著Y1增加，無量綱速度峰值Umax先增大后減小。當(dāng)空通道厚度較小時(shí)，剪切變稀流體（n＜1）在空通道內(nèi)的無量綱速度峰值比剪切變稠流體（n＞1）和牛頓流體（n=1）高，即隨著n的減小，空通道內(nèi)的無量綱速度峰值增大。因此，當(dāng)多孔介質(zhì)填充厚度較厚即空通道厚度較薄（約Y1≤0.3）時(shí)，流速因流量增大而增大，由于剪切變稀流體隨速度增加而表觀粘度降低，進(jìn)一步提高了流速；當(dāng)空通道厚度增大（約Y1≥0.3），流量增加有限，流速反而因厚度增大而減小，由于剪切變稀流體隨速度減小而表觀粘度降低增大，進(jìn)一步降低了流速。

圖7 冪律指數(shù)n 對(duì)速度峰值的影響Fig.7 The effect of power law index on dimensionless maximum velocity

3 結(jié)論

通過邊界層動(dòng)量積分法求解了冪律流體Brinkman-Darcy 流動(dòng)模型的動(dòng)量方程，得到了冪律流體在部分填充多孔介質(zhì)通道內(nèi)的無量綱速度分布模型。計(jì)算分析了達(dá)西數(shù)Da、冪律指數(shù)n和填充厚度等無量綱參數(shù)對(duì)無量綱速度分布和速度峰值的影響。

1）隨著達(dá)西數(shù)Da減小，空通道(Y＜Y1)內(nèi)的無量綱流速增大，多孔介質(zhì)通道(Y＞Y1) 的無量綱流速降低，當(dāng)達(dá)西數(shù)Da≤10-5時(shí)，達(dá)西數(shù)Da對(duì)無量綱速度分布的影響不再顯著。增加空通道（即未填充多孔介質(zhì)區(qū)域）厚度Y1，空通道內(nèi)的無量綱流速先增長后降低，多孔介質(zhì)通道內(nèi)的無量綱流速降低。剪切變稀流體（n＜1）在空通道內(nèi)的無量綱流速比剪切變稠流體（n＞1）和牛頓流體（n=1）高，即隨著n的減小，空通道內(nèi)的無量綱流速增大；多孔介質(zhì)通道情況相反。

2）增加空通道厚度Y1，無量綱速度峰值Umax先增大后減小，最后趨于平穩(wěn)。隨著達(dá)西數(shù)Da減小，無量綱速度峰值Umax增大，當(dāng)Y1≥0.4時(shí)，速度峰值Umax隨達(dá)西數(shù)Da變化幅度較小，幾乎可以忽略。多孔介質(zhì)填充較厚時(shí)，隨著冪律指數(shù)n減小，無量綱速度峰值Umax增大，多孔介質(zhì)填充較薄時(shí)則相反。無量綱速度峰值Umax隨達(dá)西數(shù)Da的變化比隨冪律指數(shù)n的變化更明顯。