“圓”題重現，賦能再出發

文／王曉華

我們遇到的綜合題往往是在教材例習題的基礎上，進行重新整合、變式或拓展而形成的。因此，我們要追“本”溯“源”，多角度思考，與所學的其他知識、思想方法串聯起來，構建更為完整的知識結構。

【原題重現】（蘇科版數學教材九年級上冊第57 頁例3）如圖1，BC是⊙O的直徑，點A在⊙O上，AD⊥BC，垂足為D，，BE分別交AD、AC于點F、G。判斷△FAG的形狀，并說明理由。

圖1

【解析】根據圓周角定理的推論，得出∠BAC=90°。再將“弧相等”轉化為∠ACB=∠ABE。根據三角形內角和定理以及垂直，得出∠ACB+∠DAC=90°，∠ABE+∠AGB=90°，故∠DAC=∠AGB，從而AF=FG。

【追問】點F為線段BG的中點嗎？

【解析】因為∠BAC=90°，AD⊥BC，易得“子母型”這一基本圖形，從而得∠BAF=∠ACB。又因為∠ACB=∠ABE，所 以∠BAF=∠ABE，從 而AF=BF。再由AF=FG，得BF=FG，故點F為線段BG的中點。

【點評】轉化思想能夠將復雜的問題簡單化。我們要把曲線型問題（圓）轉化為直線型問題，弧、弦、圓心角、圓周角之間往往也可以互相轉化。因此，我們在審題的過程中就要巧妙地將條件進行轉化。

【變式】若點E與點A在直徑BC的兩側，BE、AC的延長線交于點G，AD的延長線交BE于點F，其余條件不變，請畫出圖形，再思考上題中的結論還成立嗎？

【點評】同學們思考問題要全面。點A、點E可以在直徑BC的同側，也可以在異側，由此得到圖2。雖然圖形發生了變化，但解題的方法是一致的。

圖2

【拓展1】在圖1 的基礎上，連接CE，探索BD、CD、CE三條線段之間的數量關系。

【解析】連接AE，如圖3。根據，得到AB=AE。在CB的延長線上取一點C′，使得BC′=CE。連接AC′，根據圓內接四邊形對角互補以及同角的補角相等，得出∠AEC=∠ABC′，從而△ACE≌△AC′B（SAS），得AC=AC′。又因為AD⊥BC，所以CD=C′D，進一步得到CD=BD+CE。當然，我們還可以繼續思考，若在圖2 的基礎上連接CE，剛才的結論還成立嗎？

圖3

【點評】此題以圓為背景，把弧相等轉化為弦相等，再一次變成我們熟悉的直線型幾何問題。我們可以利用截長補短、全等三角形等相關知識加以解決。

由定性分析到定量計算，我們還可以賦予一些線段具體的長度值，從而產生新的問題。

【拓展2】如圖1，若⊙O的半徑為5，OD=3，求AF的長。

【解析】根據已知條件，得BD=2。連接AO，在Rt△ADO中，由勾股定理得出AD=4。由上面的分析，已得AF=BF，故求AF的長就是求BF的長。進一步把BF放在Rt△BDF中，設AF=x，則BF=AF=x，DF=4-x，再根據勾股定理，建立方程x2=22+（4-x）2，解得x=2.5。∴AF=2.5。

【點評】圓的綜合性題目，除了證明外，還涉及計算。在求線段長度時，通常會根據勾股定理以及今后會學的相似、三角函數等知識加以解決。