“隱圓”現形記

文／李梅

有一類題目，從表面看圖形中沒有出現圓，但依據題目特點，通過分析轉化，我們可以構造輔助圓，再利用圓的知識來解決問題。這種思路往往能起到化隱為顯、化難為易的效果。

一、根據圓的定義，尋找隱形圓

平面內，點A為定點，點B為動點，且AB長度固定，則點B的軌跡在以點A為圓心、AB長為半徑的圓上。因此，“隱圓”存在的第一個條件：定點加定長，產生“隱形圓”。

例1如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點，F是線段BC邊上的動點，將△EBF沿EF所在直線折疊，得到△EB′F，連接B′D，則B′D的最小值是________。

圖1

【解析】如圖2，E為定點，EB為定長，點B′的路徑為以點E為圓心，EB為半徑的圓。連接DE，交⊙E于點B″。根據勾股定理求出，則B′D的最小值就是。

圖2

【方法提煉】見動點、遇定點→知定長→定圓心→現“圓”形。

二、根據圓周角定理及其推論，尋找隱形圓

根據圓周角定理，同圓中，同弦所對的同側圓周角都相等。這句話反過來說也是正確的，即當一動點對一固定線段所成張角始終為定角時，那么這個動點的軌跡就是圓。因此，我們就可以得出“隱圓”的第二個條件：定邊對定角，產生“隱形圓”。

例2如圖3，已知正方形ABCD邊長為2，E、F分別是BC、CD上的動點，且滿足BE=CF，連接AE、BF，交點為P，則PC的最小值為_____。

圖3

【解析】由于點E、F是動點，故點P也是動點，因而存在PC最小值的問題。那點P的軌跡如何確定呢？由BE=CF，可推得△ABE≌△BCF，易證AE⊥BF，即在運動過程中∠APB=90°，故點P的軌跡是以AB為直徑的圓，如圖4。連接OC，與圓的交點即為P點，再通過勾股定理即可求出。

圖4

【方法提煉】見直角→找斜邊（定長）→想直徑→定外心→現“圓”形。

【變式】如圖5，等邊△ABC邊長為2，E、F分別是BC、CA上兩個動點，且BE=CF，連接AE、BF，交點為P，則CP的最小值為_____。

圖5

【解析】由BE=CF，可推得△ABE≌△BCF，所以∠APF=60°。但∠APF所對的邊AF是變化的，所以考慮∠APB=120°，其對邊AB是定值。因此，點P的軌跡是以點O為圓心的圓弧（構造OA=OB且∠AOB=120°），如圖6。當O、P、C三點共線時，可得CP的最小值，如圖7。在Rt△OBC中，利用勾股定理求得，易得CP的最小值為。

圖6

圖7

【方法提煉】見定角→找對邊（定長）→想周角→轉圓心角→現“圓”形。

通過以上幾個例子，可見“隱圓”的顯現和構造并不是空穴來風，題目的條件都指向“圓”的本質特征。將圓化“隱”為“顯”，就可以在圓的視角下，靈活地進行邊角關系的轉化，從而高效地解決問題。