考點歸類，“圓”來如此

文／張小霞

綜觀2023 年各地中考試卷中對圓這部分內容的考查，我們不難察覺，試題的命制，一方面強調基礎，重視實用，另一方面將圓中的知識點與三角形、四邊形、函數等知識相結合，考查解決綜合問題的能力。下面，我們將結合各地的中考題，對圓的考點進行歸類和分析，一起尋求解決問題的方法和路徑。

一、圓心角、弧、弦之間的關系

例1（2023·四川宜賓）如圖1，已知點A、B、C在⊙O上，C為弧AB的中點。若∠BAC=35°，則∠AOB等于（ ）。

圖1

A.140° B.120° C.110° D.70°

【解析】本題考點：在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對應的其余各組量也相等。由C為弧AB的中點，則連接OC，如圖2，得到∠AOC=∠BOC。再由圓周角定理∠BOC=2∠BAC=70°，所以∠AOB=140°。

圖2

【點評】靈活利用圓心角、圓周角、弧、弦之間的關系，進行角度的等量轉化，是解決此類問題的關鍵，必要時也會用到三角形的內角和定理。

二、兩大定理及其推論的綜合運用

兩大定理：垂徑定理，主要用于解決圓中有關線段長度的問題；圓周角定理，主要用于解決圓中有關弧、圓心角、圓周角的度數的問題。推論：直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。在圓中求解與角度有關的問題時，充分利用圓周角定理及其推論，進行角度之間的轉化，問題一般就會迎刃而解。

例2（2023·湖南長沙）如圖3，點A、B、C在半徑為2的⊙O上，∠ACB=60°，OD⊥AB，垂足為E，交⊙O于點D，連接OA，則OE的長度為_____。

圖3

【解析】本題綜合考查了圓周角定理、垂徑定理、圓心角與弧的關系。如圖4，連接OB，由圓周角定理得∠AOB=2∠ACB=120°，再由垂徑定理得故，則∠OAE=30°。利用直角三角形中“30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”即可求得OE=1。

圖4

【點評】本題考查圓與直角三角形性質的綜合應用，將圓中的兩大定理巧妙結合。大家在平時的學習過程中，只有熟練掌握這兩大定理及其推論，才能便捷地解決這類問題。

三、與圓有關的位置關系

這一考點涉及的知識點是：點與圓、直線與圓的位置關系。首先，我們要能準確地判斷出點（直線）與圓的位置關系，常用的方法是根據點（直線）到圓心的距離d與半徑r的大小關系進行判斷。其次，相切是直線與圓的位置關系中最特殊的一種，也是中考中重點考查的知識點，切線的判定與性質的考查多次出現在各地的中考卷中。

例3（2023·山東東營）如圖5，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，DE⊥AC，垂足為E。

圖5

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若∠C=30°，，求的長。

【解析】（1）如圖6，連接OD，則OD=OB，所以∠ODB=∠B。由AB=AC，所以∠C=∠B。所以∠ODB=∠C。所以OD∥AC。所以∠ODE=∠CED=90°，即可證明DE是⊙O的切線。（2）如圖6，連接AD。由AB是⊙O的直徑，得∠ADB=90°，則AD⊥BC。因為AB=AC，，所 以根據勾股定理可求出OD=AD=2。因為∠C=30°，易求出∠BOD=120°。所以的長等于

圖6

【點評】證切線的常規方法是：1.連半徑，證垂直（如本題，當圓與直線有明確公共點時）；2.作垂直，證半徑（當圓與直線無明確公共點時）。當題目中已知切線時，經常連半徑，得垂直，再利用直角三角形的性質，以及后續要學的相似三角形的性質解決綜合性問題。本題主要用到等腰三角形的“三線合一”。

四、與圓有關的綜合類問題

圓是初中幾何中比較重要的內容之一。與圓有關的綜合題，匯集了初中幾何的各種圖形、概念和性質，考查的知識面廣，綜合性強，這就需要我們靈活運用每一個知識點，適當地添加輔助線，尋找解題的突破口，使“天塹”變“通途”。

例4（2023·黑龍江龍東地區）如圖7，在Rt△ACB中，∠BAC=30°，CB=2，點E是斜邊AB的中點。把Rt△ABC繞點A順時針旋轉，得Rt△AFD，點C、點B旋轉后的對應點分別是點D、點F，連接CF、EF、CE。在旋轉的過程中，△CEF面積的最大值是_____。

圖7

【解析】線段CE為定值，當點F到CE距離最大時，△CEF的面積最大，而點F在以A為圓心，AB長為半徑的圓上，所以AF=AB=4。過點A作AG⊥CE，交CE的延長線于點G，如圖8。由題意可求得，點F到CE的距離最大值為4+，所以

圖8

【點評】本題看似與圓無關，但當我們畫出輔助圓后，即可得知何時△CEF的面積最大。總之，要想學好數學，我們需要多思、多練、多總結。