用活一邊一角，探究幾何全等構造

夏明

大連市金州區南金實驗學校張磊老師的直播課“基于一邊一角構造全等三角形的策略”選自遼寧教育學院“學到匯”公眾服務平臺“遼寧省初中數學學科周末名師公益課堂”，旨在貫徹落實國家“雙減”政策，幫助廣大師生自主學習和個性化提升。

觀看了張磊老師的這節直播課，同學們就會發現：如果能找到一邊一角相等，就可以輕松構造一個新的三角形與原三角形全等.

模型解讀

模型1：一邊一等角

1.相等邊是已知條件.如圖1，AB = DE，∠A = ∠E，可把△ABC作為目標三角形，以DE為邊作與之全等的三角形.方法1：DE在∠E的一邊上，在∠E的另一邊上截取EF = AC，可得△DEF≌△BAC（SAS）. 方法2：以點D為頂點，作∠EDF = ∠B，可得△DEF≌△BAC（ASA）.

2.相等邊是所求結論.可用上述方法2：在邊的另一端作相等的角.作圖后可得兩個結論：已知一組角相等（∠A = ∠E），如圖1；作一組角相等（∠EDF = ∠B）.往往是要通過第三組角相等（∠ACB = ∠EFD），推導出一條邊相等，從而得到一組三角形全等 （△ABC ≌△EDF）.

模型2：一邊一互補角

1.遇到互補可延長，延長可得角相等.

如圖2，①已知相等的邊和互補的角（即AB = CD，∠A + ∠ECD? = 180°），把AB和∠A所在的三角形△ABE作為目標三角形，∠ECD的CD邊不動，延長EC，得到∠DCF = ∠A，即將“一邊一互補角”轉化為“一邊一等角”，再以點D為頂點，作∠CDF = ∠ABE，則△CDF≌△ABE（ASA）.

2.遇到互補作等腰，等邊等角都可得.

如圖3，①已知相等的邊和互補的角（即AB = CD，∠B + ∠C? = 180°）. 以AB為腰作等腰三角形ABF，AB = AF，可以證得AF = CD，∠AFE = ∠C，則△FAE≌△CDE（AAS） .

還可通過作雙垂線構造全等三角形，如圖4.

模型應用

例 如圖5，在△ABC中，AB = AC，D為BC的中點，∠EDF = ∠B + ∠C，與邊AB，AC交于E，F兩點. 求證：DE = DF.

學法指導1：抓住已知條件BD = CD，∠B = ∠C，在CA上截取CG = BE，連接DG，如圖6，可使△BDE≌△CDG，得到DG = DE，再證DF = DG，等量代換可得DE = DF.也可以在BA上截取BG = CF，證明同理.

學法指導2：連接AD，根據等腰三角形三線合一，AD平分∠BAC，即∠BAD = ∠CAD，把AD當成相等的邊，如圖7，在AB上截取AG = AF，證得△AGD≌△AFD，再證△EDG是等腰三角形.也可以在AC上截取AM = AE，證明同理.

學法指導3：如圖8，通過已知可得∠BAC與∠EDF互補，由“四邊形內角和等于360°”得到∠AED與∠AFD互補，而這對互補角的一邊就是要證明有相等關系的DE和DF.順著其中一角的邊的反向延長線去找，可得到∠BED = ∠AFD，結合所求邊DE和DF，把DE所在的三角形作為目標三角形，以DF為邊作∠FDG = ∠EDB，DG交CA的延長線于G，此時? ? △BDE和△GDF中已有兩對角相等，則第三對角也相等，即∠B = ∠G，可得∠G = ∠C，所以DG = DC，進而可得DG = DB，從而△BDE≌△GDF，得出DE = DF.圖9亦然.

學法指導4：已知一邊一角，還可以作特殊角構造全等三角形，例如90°角，如圖10，過點D向AB，AC作垂線，垂足分別為G，H.

（作者單位：大連市第七十一中學）