點群目標空間分布主方向定量描述模型

李 靜,祿小敏,劉文蕊,李驛言

( 1. 蘭州交通大學 測繪與地理信息學院,蘭州 730070;2. 地理國情監測技術應用國家地方聯合工程研究中心,蘭州 730070;3. 甘肅省地理國情監測工程實驗室,蘭州 730070 )

點群是地圖中至關重要的一類空間地物,成群分布的島嶼、湖泊、沙丘、散列的居民地及各種設施點等在小比例尺地圖中均以點群的形式呈現[1]。點群的分布具有一定的方向特征,點群分布方向的判斷和識別在地圖制圖綜合、空間推理、空間查詢、空間分析與規劃等領域具有重要意義[2]。

根據研究對象的不同,可以將已有的方向關系研究分為面向單目標的空間方向關系研究和面向群組目標的空間方向關系研究,前者成果較多且比較成熟,后者成果相對較少且多集中于群組目標空間方向關系的定性描述。在已有的點群目標空間方向關系研究中,文獻[3]基于凸殼理論計算點群目標間的空間關系;文獻[4]利用點群目標凸殼的最小外接矩形長軸方向表達點群分布的主方向;文獻[5]在生成點群目標標準差橢圓的基礎上以長軸方向作為點群的主要分布方向;文獻[6]利用點群目標凸殼的直徑方向來表達點群分布的主方向;文獻[7]以主骨架線的分布方向表示點群目標的分布方向。綜上所述,已有算法大都是在近似擬合點群外部形態的基礎上,以較長軸方向代替點群的主方向。忽略分布密度對點群目標空間方向關系的影響,計算所得方向會出現與實際分布方向不符的情形(見圖1)。

圖1 計算所得點群目標主方向與實際不符的場景

依據點群分布密度構建方向玫瑰圖,不僅能直觀地反映點群在各方向上的密度分布情況及主方向,亦可以對主方向進行更為準確的定量描述。為此,文中以點群為研究對象,基于其密度特征構建方向玫瑰圖,在定性描述空間分布主方向的基礎上,利用統計加權算法并引入統計學中的置信區間,提出一種更加符合人類認知的主方向定量描述方法。

1 算法流程

算法主要由3部分構成:①依據密度分布狀況,構建點群的方向玫瑰圖;②以方向玫瑰圖為基礎,利用統計加權算法計算點群主方向;③引入置信區間,計算點群主方向分布范圍。其主要流程如圖2所示。

圖2 點群目標分布主方向定量描述模型流程

2 點群目標分布主方向定量描述模型

2.1 方向關系模型的選取

空間方向關系模型是描述和計算空間方向關系的有力工具。目前空間方向關系模型主要有基于投影的模型、方向Voronoi圖模型和錐形模型。

基于投影的模型是將空間目標投影到特定的坐標軸上,利用投影后目標間的方向關系去近似表達原始目標間的方向關系,將空間目標投影到水平坐標軸和垂直坐標軸上,可將空間劃分為N、NE、E、SE、S、SW、W、NW、Same 9個矩形方向區域。該模型較好地顧及了空間參考目標的形狀和大小,但方向劃分結果與人類認知不符且未考慮目標間距離對空間方向關系產生的影響[8]。方向Voronoi圖模型通過計算目標間指向線法線的 Voronoi圖來描述目標間精確的方向關系[9-11]。該模型描述空間方向關系精確,但基于方向Voronoi圖的模型可視域受限,當可視域外的部分圖形發生變化時角度不能隨之改變,且模型復雜,計算過程繁瑣。錐形方向關系模型通過將空間參考點及其周圍的區域劃分成若干方向片,依據源目標與若干方向片的“交”來確定方向關系[12]。該模型簡單,對方向和距離的綜合判斷較準確,由于該模型是將參考目標抽象為一個點,故更適合于表達點目標間的方向關系。

錐形方向關系模型中,常用4方向、8方向、16方向來描述空間目標間的方向關系。通過實驗對比發現,16方向錐形模型更能反映點群的密度分布和主方向,因此,文中選用16方向錐形模型來描述點群目標的空間分布主方向。

2.2 方向玫瑰圖構建

風向玫瑰圖,因其外形酷似玫瑰而得名,也稱風向頻率玫瑰圖,它是依據某地某一時間段內風向的統計狀況按一定比例繪制而成的風向分布圖,多用16方位表示[13]。風向玫瑰圖中,線段最長者(外面到中心的距離最大)即為當地主導風向。如圖3所示,南方到中心的距離最大,故當地主導風向為南風。

圖3 風向玫瑰圖

利用風向玫瑰圖原理,在計算得到點群各方向分布密度的基礎上生成方向玫瑰圖,方向玫瑰圖可直觀地反映點群分布的主方向。點群方向玫瑰圖的構建過程如下所述:

1)生成點群目標的凸殼。生成點群目標的約束Delaunay三角網,利用動態閾值“剝皮”法,將Delaunay三角網中外圍邊長大于某一閾值的非特征邊依次刪除,最終得到的點群分布邊界即為點群目標的凸殼。

2)構建方向關系模型。找到點群目標凸殼的質心,以凸殼質心為參考目標,將連續360°的方向描述離散到對應的16方位,構建16方向錐形模型。

3)計算方向密度,對密度進行歸一化處理。如圖4所示,點群散落在16方向錐形模型的各個方向片上,統計落在各方向片上點的個數,計算各方向片上點群的密度(各方向片上點的個數與點群總個數的比值)。以落在某方向片內的密度最大值為基準,對各方向上的密度值進行歸一化,將歸一化后的各密度值描在坐標軸上,使方向玫瑰圖各端點即歸一化后的各方向密度值均落在以質心為原點、半徑為1的圓內。如圖4所示,16方向錐形模型下,點群密度最大方向在南方,故以南方密度值為基準,對各個方向上的密度值進行歸一化處理。

圖4 點群分布密度圖

4)生成方向玫瑰圖。順次連接相鄰方位的各端點,連接生成的宛如玫瑰的閉合折線即為方向玫瑰圖。圖5即為圖4點群在顧及密度分布的基礎上生成的方向玫瑰圖。

圖5 方向玫瑰圖

如圖5所示,在方向玫瑰圖中,南方到中心的距離最大,故圖4的點群主要分布在南方。

2.3 點群目標分布主方向定量計算

空間關系的定量描述是利用方位角、象限角等較精確地表達空間目標的方向關系。方位角是指從坐標北方向起,依順時針方向旋轉到目標方向線之間的夾角。本文借用方位角概念并規定:從直角坐標系X軸正半軸起,依逆時針方向旋轉到目標方向線之間的角度稱為方位角,取值范圍為0°～360°[14]。

2.3.1 點群主方向

點群的方向玫瑰圖由多邊形構成,求點群分布的主方向即為求多邊形的主方向。目前,求多邊形主方向的方法主要有最長邊法、加權平分線法、最小MBR方法、基于墻的均值法以及統計加權法[15]。最長邊法以多邊形的最長邊方向作為多邊形的主方向。加權平分線法通過計算多邊形中最長直徑與次長直徑兩條邊方向的加權平均值來表達多邊形的主方向。最小MBR方法以多邊形最小MBR中的較長邊方向作為多邊形的主方向?；趬Φ木捣ㄍㄟ^計算每條邊方向角度與權重(即它的長度)乘積之和的平均值來表達多邊形的主方向。統計加權法在測試一系列預選方向的基礎上計算每個預選方向的權重(多邊形每條邊在最大角度偏差系數內對預選方向的貢獻之和),計算得到權重最大的預選方向即為多邊形的主方向[15-16]。

對點群而言,某方向上一定角度范圍內的點會影響主方向的分布。統計加權法考慮多邊形每條邊在最大角度偏差系數內對預選方向的影響及每條邊的長度和角度,以此為基礎計算多邊形的主方向,不僅能較好地避免長邊誤差的干擾,具有較高穩定性,而且能顧及某方向周圍一定角度范圍內的點對主方向的影響,故本文利用統計加權法求方向玫瑰圖多邊形的主方向。

如圖6所示,OB為預選方向,最大角度偏差系數為β,將多邊形的每條邊平移至以O為起點。若該邊在OA邊與OC邊之內,則對此預選方向有貢獻,參與貢獻值的計算;若該邊方向等于預選方向,那么該邊的長度即為貢獻值;若該邊的方向在最大偏離處,則對預選方向貢獻為0;在同方向與最大偏離方向之間,貢獻程度線性衰減。

圖6 統計加權法

(1)

式中:Ci為貢獻值;β為最大角度偏差系數;γ為該邊與預選方向之間的夾角;li為邊長。

基于統計加權法求點群分布主方向的算法步驟:

1)規定步長,測試預選方向。步長為測試預選方向過程中的固定間隔角度,取值與結果精度相關。根據計算結果的精度需要,本文以1°為固定步長,對0°～360°之間的一系列預選方向進行測試。

2)確定角度偏差系數。角度偏差系數的取值β對主方向結果有一定影響,對其不斷進行調整,使得多邊形主方向計算結果盡可能準確,最終確定經驗值β= 30°。

3)計算各邊對預選方向的貢獻值。依據式(1)分別計算多邊形各邊在一定角度偏差內對每個預選方向的貢獻值。

4)確定多邊形的主方向。統計加和多邊形各邊對每個預選方向的貢獻值,得到各預選方向的權重,對權重進行升序排列,權重最大的預選方向即為主方向。

利用統計加權法計算得到圖5多邊形權重最大的預選方向為271°,則圖4點群大致分布在約271°的方向上。

2.3.2 點群主方向分布范圍

為避免個別點分布對主方向計算結果帶來的偏差,采用方向分布范圍來代替單一角度值。顯著性水平α是估計總體參數落在某一區間內可能犯錯誤的概率,是在進行假設檢驗時事先確定的判斷標準,最佳取值為0.05。置信區間是由樣本統計量所構造的總體參數的估計區間,該區間可反映一定概率下此參數的真實值落在測量結果周圍的程度。引入顯著性水平與置信區間的概念,在得到主方向單一角度值的基礎上計算分布區間,能為點群分布主方向提供可接受的范圍。在顯著性水平α= 0.05下,計算得到圖4點群主方向的分布范圍為(256.42°～285.58°)。

3 實驗與討論

為驗證模型的適用性,選取兩組不同分布形態的點群進行實驗。分別對兩組點群構建16方向錐形模型,得到點群的分布密度圖及相應的方向玫瑰圖。 由圖7可知,點群1主要分布在南方,點群2主要分布在西南方。

圖7 點群方向密度圖及對應方向玫瑰圖

利用統計加權法分別計算點群1與點群2方向玫瑰圖各邊對各預選方向的貢獻值(見圖8),統計可得點群1與點群2方向玫瑰圖各邊對預選方向貢獻值最大的候選方向分別為272.00°、232.00°,故點群1與點群2的主方向分別為272.00°、232.00°。在顯著性水平α= 0. 05下,計算得到點群1與點群2分布的主方向范圍分別為(257.46°～286.54°)(219.24°～244.76°)。

圖8 點群主方向預選方向貢獻值

為了進一步驗證本方法的合理性,將本方法與基于凸殼的最小外接矩形長軸與水平軸的夾角方法、基于凸殼的直徑與水平線的夾角方法以及基于標準差橢圓的長軸與X軸的夾角方法的方向計算結果進行了對比,結果見表1。

表1 點群主方向計算方法及結果

由表1可知,基于凸殼的最小外接矩形長軸與水平軸的夾角方法計算得到的點群1與點群2的主方向分別為23.05°、177.95°;基于標準差橢圓的長軸與X軸的夾角方法計算得到的點群1與點群2的主方向分別為62.71°、146.70°;基于凸殼的直徑與水平線的夾角方法計算得到的點群1與點群2的主方向分別為53.10°、135.48°;本方法計算得到的點群1與點群2的主方向分別為272°、232°,主方向分布范圍分別為(257.46°～286.54°)(219.24°～244.76°)。

空間分布主方向的判斷與確定依賴于人類認知,通過心理認知實驗驗證模型的適用性。實驗以問卷形式進行,要求被調查者從表1的計算結果中分別選出點群1和點群2的主方向。因地圖學專業人員與其他人員對地圖認知存在差異且對方向的敏感度不同,故實驗將人群分為地圖學相關專業與非地圖學相關專業兩類。實驗樣本數為 566個,有效樣本數為 563個,其中,47%為地圖學相關專業人員,53%為非地圖學相關專業人員,人群認知統計結果見表2。

表2 點群主方向認知結果統計表

由表2的統計結果可知,地圖學相關專業人員與非地圖學相關專業人員對本文點群1實驗結果的認同率分別為94.76%、93.58%,平均認同率為94.17%,對本文點群2實驗結果的認同率分別為92.13%、88.51%,平均認同率為90.32%。不論是地圖學相關專業人員還是非地圖學相關專業人員,本結果的認同率遠高于其它方法的認同率,利用本模型得到的定量計算結果更符合人們的空間認知習慣。

由表1數據可知,本文計算結果與已有方法計算結果相差較大。已有方法計算得到的點群1的主方向均未超過90°且最大僅為62.71°,而本計算結果為272°,已有方法與本方法的計算結果最大可相差209.29°,差別明顯;已有方法計算得到的點群2的主方向計算結果均在90°～180°,而本計算結果為232°,已有方法與本方法的計算結果最大相差54.05°,計算結果仍存在較大差異。其原因如下:

1)已有的點群主方向計算方法利用凸殼、標準差橢圓等近似擬合點群的分布形態,在此基礎上利用其直徑、長軸代表點群分布主方向,沒有顧及個別奇異點對其分布形態及直徑、長軸的影響;本算法在錐形模型基礎上構建方向玫瑰圖判斷點群方向關系,較好地維持了點群原始分布形態。

2)點群內部分布形態復雜,局部分布密度會影響點群的分布趨勢,已有方法僅從點群整體分布出發來判斷主方向,未考慮密度對其主方向判斷的影響;本模型在構建過程中充分顧及到了分布密度的影響,得到的主方向計算結果更加符合人類認知。

4 結 論

本文綜合考慮點群目標的分布形態及密度特征,借助16方向錐形模型構建方向玫瑰圖,利用統計加權算法構建點群目標分布主方向的定量計算模型。實驗結果表明,該模型較好地顧及了分布密度對點群目標空間分布主方向的影響,實現了符合人類認知的點群目標空間分布主方向定量描述。