關(guān)于靜電場相關(guān)能量的分析*

郭東琴 張 暉 宋冬靈

(信息工程大學(xué)基礎(chǔ)部 河南 鄭州 450001)

在大學(xué)物理基礎(chǔ)教學(xué)中,靜電場的能量是靜電學(xué)中的重要組成部分,教材[1-3]中引入了多種能量概念,如電勢能、相互作用能、自能、靜電能、電場能等,相應(yīng)的有各種能量計算公式.日常教學(xué)中發(fā)現(xiàn),學(xué)生對這些概念的物理意義理解不夠透徹,對它們之間的區(qū)別和聯(lián)系容易混淆不清,不能靈活地應(yīng)用相關(guān)能量公式.近年來也有相關(guān)方面的教學(xué)研究論文[4-6]發(fā)表.

本文針對靜電場中的各種相關(guān)能量概念進(jìn)行分析,探討它們之間的區(qū)別和內(nèi)在聯(lián)系,并結(jié)合實(shí)例對帶電體的靜電能進(jìn)行計算和討論.

1 相關(guān)能量概念解析

1.1 電勢能

在靜電學(xué)中,根據(jù)電場力做功與路徑無關(guān)的特點(diǎn),引入電勢能的概念.電荷在電場中的電勢能在數(shù)值上等于將此電荷從該點(diǎn)移到零電勢能處時電場力所做的功.即

(1)

比如當(dāng)點(diǎn)電荷q1位于點(diǎn)電荷q2的電場中的a點(diǎn),且距q2的距離為r時(圖1),取無窮遠(yuǎn)處為電勢能零點(diǎn),那么將q1從當(dāng)前位置移到無窮遠(yuǎn)處時電場力做的功

圖1 點(diǎn)電荷q1位于點(diǎn)電荷q2的電場中時的電勢能

即為q1在a點(diǎn)所具有的電勢能

如果是連續(xù)帶電體位于外電場中,其電勢能應(yīng)將上式改寫為

(2)

其中U代表外電場在帶電體dq處產(chǎn)生的電勢,它是空間位置的函數(shù).

需要注意的是,一個電荷在外電場中的電勢能,屬于電荷與激發(fā)該電場的場源電荷所共有,是一種相互作用的能量.

1.2 相互作用能

對于由若干個帶電體組成的系統(tǒng),若把每一個帶電體看作一個不可分割的整體,將各帶電體從當(dāng)前位置移到無限遠(yuǎn)處靜電力做的功稱為它們之間的相互作用能,簡稱互能.互能也等于將各帶電體從無限遠(yuǎn)處移到當(dāng)前位置時外力克服電場力所做的功.注意任意兩個電荷之間的相互作用能屬于二者所共有,因此相互作用能僅計算一次,不能重復(fù).兩個點(diǎn)電荷之間的相互作用能為

(3)

我們將上式寫成對稱的形式

(4)

在式(4)中U12是點(diǎn)電荷q2在點(diǎn)電荷q1所在處產(chǎn)生的電勢,U21是點(diǎn)電荷q1在點(diǎn)電荷q2所在處產(chǎn)生的電勢.

對于多個點(diǎn)電荷所組成的點(diǎn)電荷系,相互作用能為

(5)

式中的Ui是除第i個點(diǎn)電荷以外的其他所有點(diǎn)電荷在第i個點(diǎn)電荷所在處產(chǎn)生的電勢.

需要注意,一個點(diǎn)電荷位于另一個點(diǎn)電荷的電場中所具有的電勢能正是二者之間的相互作用能,而點(diǎn)電荷系的相互作用能,實(shí)際上是該系統(tǒng)所有點(diǎn)電荷具有的電勢能之和.需要注意的是,當(dāng)多個帶電體組成帶電系統(tǒng)時,假如各帶電體所帶電荷符號相同,外力做正功,互能為正.當(dāng)各帶電體所帶電荷符號不同時,移動各帶電體時,外力做功可能為正,也可能為負(fù),總的相互作用能可正可負(fù).

1.3 自能

自能是指一個帶電體由無限分散狀態(tài)聚合起來時所具有的能量,在數(shù)值上等于把該帶電體上各部分電荷從無限分散的狀態(tài)聚集起來時外力所做的功.

對于電荷連續(xù)分布的帶電體,我們可以將帶電體上的電荷無限分割為許多小的電荷元dq,而每一個電荷元dq看成點(diǎn)電荷,將電荷元聚合成帶電體的過程中外力做的功可通過將式(5)推廣計算

(6)

即為連續(xù)帶電體的自能.該式中的U是除dq以外的其他電荷激發(fā)的電勢,由于dq在自身所在處產(chǎn)生的電勢為一無窮小量,所以上式可以認(rèn)為是所有電荷在dq處產(chǎn)生的電勢.

自能實(shí)際上是自身各電荷元之間的相互作用能,只不過從建立帶電體自身所需要能量的角度我們把它稱為自能.由于同一連續(xù)帶電體各部分所帶電荷符號相同,所以在把這些電荷由無限分散狀態(tài)構(gòu)成帶電體的過程中外力恒做正功,因此自能恒為正值.

1.4 靜電能

把帶電系統(tǒng)從無限分散狀態(tài)聚合到當(dāng)前位置時外力克服電場力所做的功稱為帶電系統(tǒng)所具有的靜電能.對于由若干個帶電體組成的帶電系統(tǒng),我們把建立帶電體自身所需要的能量稱為自能,把帶電體之間的相互作用能稱為互能,一個帶電系統(tǒng)的總靜電能等于各帶電體的自能和帶電體之間互能的總和.即

(7)

當(dāng)帶電系統(tǒng)的電荷被無限分割,應(yīng)用式(6)得到的不僅是帶電體之間的相互作用能,還包括每個帶電體的自能,因此

此時表示的就是整個帶電系統(tǒng)的總靜電能.當(dāng)只有一個帶電體時,該式給出的是該帶電體的自能.

關(guān)于帶電系統(tǒng)的靜電能公式

需注意以下3點(diǎn):

(1)一個帶電系統(tǒng)的自能恒大于零,而互能可以大于零也可以小于零,但自能之和總是大于互能代數(shù)和的絕對值,因此一個帶電系統(tǒng)的靜電能總是正的.

(2)雖然該靜電能公式是由點(diǎn)電荷相互作用能公式

導(dǎo)出的,但是點(diǎn)電荷本身的自能發(fā)散,無法計算,見本文第2部分應(yīng)用舉例中的討論.

(8)

式中qi和Ui分別為第i個導(dǎo)體的電荷量和電勢.

1.5 電場能

前面給出的靜電能公式是與場源電荷相聯(lián)系的,事實(shí)上,電荷的周圍存在著電場,外力克服電場力搬運(yùn)電荷的過程也是電場建立的過程.從這個角度說,靜電能儲存于電場中,靜電能可以用描述電場的特征量電場強(qiáng)度E來表示,又稱為電場能.

真空中的靜電場能量公式為

(9)

其中E代表體積元dV處的場強(qiáng),積分遍布在整個電場存在的空間.

對于真空中的靜電場來說,電荷和電場都是不隨時間變化的,二者同時存在、相伴而生,靜電能就是電場能.在變化的電磁場中,電場可以脫離電荷而傳播到很遠(yuǎn)的地方,電磁波攜帶能量已被證實(shí),電場具有能量是電場物質(zhì)性的一個表現(xiàn).

2 應(yīng)用舉例及討論

【例1】求真空中半徑為R,帶電荷量為Q的均勻帶電球體的靜電能.

球內(nèi)距球心為r處的電勢為

在距球心為r處選取厚為dr的薄球殼,球殼帶電荷量為

帶電球體的靜電能為

形成半徑為r的帶電球體,若此時再搬運(yùn)一半徑從r到r+dr的帶電球?qū)?此球?qū)訋щ姾闪繛閐q=ρ4πr2dr,則此過程外力需做功

對整個帶電球體的體積積分,所得外力做的總功即是均勻帶電球體的靜電能W.

由高斯定理可得帶電球體內(nèi)外各點(diǎn)的電場

注意,在應(yīng)用電場能公式計算靜電能時,積分要遍布靜電場存在的整個空間.

【例2】真空中有一球形電容器,由半徑為R1和R2(R2>R1)的內(nèi)外兩個帶電導(dǎo)體球面組成,內(nèi)球面帶電荷量為+Q,外球面帶電荷量為-Q,求:(1)該電容器內(nèi)外球面的自能和相互作用能;(2)系統(tǒng)的靜電能.

解：(1)內(nèi)球面的自能

外球面的自能

內(nèi)外球面的互能為

其中U12是外球面電荷在內(nèi)球面所在處產(chǎn)生的電勢,U21是內(nèi)球面電荷在外球面所在處產(chǎn)生的電勢.

(2)系統(tǒng)的靜電能

解法一：利用W總=W自+W互計算

解法二：利用導(dǎo)體靜電能公式(8)計算

注意,這里U1、U2和(1)中U12、U21的區(qū)別,這里的U1是內(nèi)球面電荷所在處的電勢

U2是外球面電荷所在處的電勢

本題還可以利用電場能公式

進(jìn)行計算,結(jié)果都是一樣的.

3 結(jié)論

自能是指建立帶電體自身所需要的能量,互能指帶電體之間的相互作用能量,而一個帶電系統(tǒng)的靜電能等于各帶電體的自能和帶電體之間互能的總和.一個電荷在外電場中的電勢能,屬于電荷與激發(fā)該電場的場源電荷之間的相互作用能.對于真空中的靜電場來說,靜電能等于電場能,當(dāng)給定電荷分布時,可以從場源電荷和電場這兩方面來計算靜電能.