小蟲爬繩與宇宙膨脹*
——淺談如何培養中學生的科學思維和提升創新能力

陳彥希 李 惠

(株洲市第二中學 湖南 株洲 412000)

“小蟲爬彈性繩”是經典動力學模型,宇宙膨脹是天文學和物理學研究的內容,兩個看似毫不相關的內容,竟然可以用同一種物理方法解決.而尋找這種聯系的過程對提升中學生創新能力和培養中學生的科學思維很有助益.

1 小蟲爬繩

1.1 習題模型

【習題】長為L的均勻彈性繩AB自由伸直地放在光滑水平桌面上,繩的A端固定,t=0時,一小蟲開始從A端出發以相對其足下繩段的勻速度u在繩上朝B端爬去,同時繩的B端以相對桌面的勻速度v沿繩長方向運動,試求小蟲爬到B端的時刻te.

1.2 兩種解法

(1)常規解法一

在原長的繩上以A為原點建立沿AB方向的x坐標軸,設t時刻小蟲處于x位置,此時繩的真實長度已經變成L+vt,在真實長度的繩上建立x′坐標軸,則繩中x坐標對應的x′坐標為

(1)

考慮dt時間,易得

(2)

(3)

(4)

(2)創新解法二

使用一種等效處理方法,如圖1(a)所示,將長為L的AB繩彎曲成相接圓環繩,半徑為

圖1 創新解法二圖

(5)

t時刻因為B的運動繩長增為L+vt,對應圓半徑為

(6)

此過程中,小蟲隨B沿繩長方向的運動轉化為小蟲的徑向朝外運動,小蟲爬繩運動轉化為沿圓周切向的運動[圖1(b)].小蟲從θ=0爬到θ=2π,即到達B端.

參考圖1(b)中參量,有

(7)

(8)

(9)

2 知識遷移——宇宙膨脹模型

2.1 提出問題

【例1】(第11屆亞洲奧林匹克競賽理論題)宇宙各處通過光子傳遞信息.當我們從光子中獲取信息時,必須考慮宇宙正在膨脹這一事實的影響.因此,通常用與時間有關的尺度因子a(t)表示長度或距離的膨脹效果,于是相對各自局域參考系靜止的兩顆恒星之間的距離L(t)正比于a(t),即

L(t)=ka(t)

其中k為常數,a(t)描述了宇宙的膨脹效應.將上式兩邊對時間求導,可得

最終得到

v(t)=H(t)L(t)

H(t0)=72 km/(s·Mpc)

1 Mpc=3.085 7×1019km=3.261 6×106ly

假設宇宙無窮大,而且以a(t)∝ebt的方式持續膨脹,其中b為常數.在此宇宙模型中,哈勃常數是與時間無關的常數H(t0).光子在宇宙中行進時波長λ也因宇宙的膨脹而等比例變長,即λ(t)∝a(t).

假設氫原子特征譜線之一的萊曼-α線是由相對局域參考系靜止的恒星S在te時刻發出的,發出時的波長為λ(te)=121.5 nm,當萊曼-α線在t0時刻到達相對局域參考系靜止的地球時,地球上的觀察者測得到達地球的萊曼-α線波長為145.8 nm,忽略地球的自轉和公轉.萊曼-α線的光子向我們行進時,宇宙一直在膨脹中,使得恒星S持續遠離我們.已知真空中的光速c一直維持不變,求te時刻恒星S與地球之間的距離L(te)的值,以Mpc為單位.

2.2 建模解決問題

常規解法[1]在此不再贅述,筆者提供另一種更簡單更有趣味性地解答方法.根據題目描述,宇宙膨脹類似于彈性繩的伸長,只是描述其伸長速度的函數不同;而光子在膨脹的宇宙中運動時,其在局域參考系中速度恒為c,這一點極類似于小蟲相對其足下繩段速度不變.所以我們很自然地聯想到將宇宙膨脹等效處理成“小蟲爬繩”.

將恒星S與地球看作一條“彈性繩”的兩端,并將其首尾相接成一個圓環,則其半徑為

(10)

將光子看作“小蟲”,其在“繩”上運動的角速度為

(11)

利用題目給出的關系L(t)=ka(t),a(t)∝ebt,可知L(t)∝ebt.設L(t)=k′ebt,代入整理并積分得

(12)

(13)

又由λ(t)∝a(t),得

(14)

所以代入并整理得

(15)

代入數值得

L(te)=690 Mpc

(16)

3 結束語

小蟲之小,宇宙之大,表象萬千,可卻遵從相同的物理規律,通過以上對物理內涵規律的挖掘,讓人沉醉于物理學的邏輯之美,感嘆大自然的神妙;整個思維過程就是一個創新的過程,在這個過程中,學生是知識的主動建構者,教師是學生學習的幫助者、合作者[2],多做類似這樣的邏輯思維訓練能很好地培養中學生的科學思維.