用單擺測量液體粘滯系數的實驗設計與討論*

張聲遙 曾志強 柳福提 宛俊杰 陳 鵬

(宜賓學院理學部 四川 宜賓 644000)

液體流動時,平行于流動方向的各層流體的速度如有不同,各層之間就有摩擦力產生,稱為粘滯力.液體的這種性質稱為液體的粘性.液體的粘滯系數是表征液體粘滯力強弱的重要參數.粘滯力只有在液體內存在相對運動時才表現出來,通常采用“落球法”來測量液體的粘滯系數[1].“落球法”利用小球在液體中達到勻速運動時所受粘滯力與浮力、重力的平衡關系以及斯托克斯公式F=-6πrηv,只要測量小球的收尾速度、直徑、密度及液體的密度等量即可測量液體的粘滯系數,原理簡單.但實驗時小球下落過程時間較短,很難保證小球達到勻速運動,要重復實驗取出小球又很不方便,容易產生油液浪費與油污.文獻[2-6]提出利用阻尼振動來測量空氣的粘滯系數并進行了實驗與討論,受其啟發,本文利用單擺在液體中的阻尼振動來測量液體粘滯系數,既可解決上述“落球法”測液體粘滯系數實驗的不足,也可以生動直觀地顯示液體的粘滯阻力對小球運動的影響,加深學生對物理概念與規律的理解,培養學生的創新意識與能力.

1 實驗原理

如圖1所示,將一單擺置入待測液體中,使單擺偏離平衡位置一定角度,并在無初速度的狀態釋放,單擺將在液體中來回擺動,如同在空氣中一樣.

由于液體的粘性,單擺在擺動過程中將會受到液體粘滯阻力的作用.設小球的半徑和運動速度分別為r和v,則小球在流體中所受的粘滯阻力可寫為

F=-6πrηv

(1)

其中比例系數η為粘滯系數,負號表示粘滯阻力的方向和小球運動的速度方向相反.根據圖1的受力分析,小球還受到重力和擺線拉力的作用,其受到的合外力矩為

M=-(mgθ+6πrηv)l

(2)

其中m表示小球的質量,g是重力加速度,θ是擺線偏離豎直方向的角度,l是擺長.根據轉動定律可得單擺的運動方程為

(3)

(4)

令

c=6πrη

則式(4)可以變為

(5)

(6)

此方程的解有3種情況.

(1)若δ<ω0,方程的解為

θ(t)=Ae-δtcos(ωt+φ0)

(7)

(2)若δ>ω0,方程的解為

(8)

這種情況稱為過阻尼振動.

(3)若δ=ω0,方程的解為

θ(t)=(c1+c2t)e-δt

(9)

稱為臨界阻尼振動.

在本實驗中,單擺的運動是欠阻尼運動,所以其運動方程的形式應為方程(7).而且實驗中單擺無初速度釋放,可知φ0=0和A=θ0,其中θ0為單擺開始擺動時的初始角位移.因此可得單擺的振動方程為

θ(t)=θ0e-δtcosωt

(10)

根據此公式,可知角振幅隨時間變化關系為

θA(t)=θ0e-δt

當t=nT(n=0,1,2,…)時,有

θA(nT)=θ0e-δnT

(11)

由此可得

(12)

(13)

可求出液體的粘滯系數η.

2 實驗設計與實現

圖2 實驗裝置原理圖

圖3 實驗裝置的實物圖

3 實驗結果

為驗證以上論述的實驗設計,我們測量了空氣、水和菜籽油的粘滯系數.首先,實驗測得小球的直徑d=16.906 mm和質量為m=16 g.

3.1 空氣的粘滯系數測量

表1 空氣中單擺的角振幅隨周期的變化關系

圖4 空氣中單擺的-n線性擬合

3.2 水的粘滯系數測量

將單擺置入水中進行阻尼擺動,測得單擺的角振幅隨周期的變化數據如表2所示.將表2數據繪于圖5中可以看到數據具有明顯的線性關系.同樣利用線性擬合可以得到直線斜率為k=δT=0.2,同時測得擺動周期T=1.75 s,根據公式(13)算出水的粘滯系數為η=2.30×10-2Pa·s.

表2 水的粘滯系數測量數據

圖5 水中單擺的-n線性擬合

3.3 菜籽油的粘滯系數測量

如上同理,利用單擺對菜籽油的粘滯系數也進行了測量.測量數據如表3所示.表3中數據繪于圖6中,擬合后的圖線展示出良好的線性關系.數據擬合直線的斜率為k=δT=0.98,同時測得擺動周期T=1.85 s,由此可以算出菜籽油的粘滯系數為η=1.06×10-1Pa·s.

表3 菜籽油的粘滯系數測量數據

圖6 菜籽油中單擺的-n線性擬合

4 實驗結果討論

4.1 實驗結果不確定度計算

通過計算測量值的不確定度,可以判斷實驗結果的準確性.從式(13)可以看出粘滯系數測量的不確定度由m、r和δ決定.其中δ又與角振幅隨周期變化關系的擬合直線的斜率k與單擺周期T的測量值有關.根據誤差理論,m、r和T的測量值的不確定度可由下式決定

(14)

其中Δ表示儀器的最小刻度值.因此根據電子秤、螺旋測微器和秒表的最小刻度可以計算m、r和T的測量值的不確定度.k的不確定度計算公式為

(15)

(16)

其中um、ur和uT分別表示m、r和T的不確定度.根據式(15)～(16)可以計算出空氣、水和菜籽油的粘滯系數測量值的不確定度分別為4×10-4Pa·s,

1.53×10-2Pa·s和5.50×10-2Pa·s.從計算結果看菜籽油的粘滯系數測量誤差相比于空氣和水更小,因為菜籽油的粘滯系數更大.

4.2 實驗結果與傳統測量結果的比較

以上實驗結果顯示,利用單擺的阻尼振動測得室溫下空氣、水和菜籽油的粘滯系數分別為8.78×10-4Pa·s、2.30×10-2Pa·s和1.06×10-1Pa·s.而依據傳統落球法測得水和菜籽油的粘滯系數分別為2.2×10-2Pa·s和1.08×10-1Pa·s,其中空氣的粘滯系數無法用落球法測量.比較兩種方法的測量值可以看出,兩種方法在精度和誤差上相當,且隨著液體粘度的增加,兩種方法的測量結果趨于一致.通過查閱文獻得知在室溫下水的粘滯系數的標準值為1.01×10-3Pa·s,而菜籽油大約為5×10-2Pa·s[7].因此,不管是用單擺還是落球法測量都比標準值要大.原因之一是擺線系在鐵架的一端擺動過程中有附加摩檫力、以及細線與空氣之間粘滯力的存在,引起測量數據增大;另一方面是實驗中所測液體的粘滯系數相對較小,導致湍流容易影響小球的運動,所以實驗結果出現了一些誤差.

5 總結

本文設計了利用單擺的阻尼振動來測量液體粘滯系數的實驗方案,并以空氣、水和菜籽油作為被測對象進行了實驗,測出了室溫下空氣、水和菜籽油的粘滯系數.該方法在精度上與傳統方法相當,且操作更簡單,不會因為重復取出小球而產生油液浪費與污染.而且,與傳統方法比較,該方法具有能測量氣體粘滯系數的優點.此外在實驗中觀察到單擺在液體中通常會擺動較長時間,從而在教學上有利于學生觀察,有效提高教學質量.