利用“微柱元法”處理流體問題的常見困惑探討

石 睿

(福州第一中學 福建 福州 350000)

在動量定理的應用中,流體問題是常見的一類問題,而在講解這類問題時,教師多選擇“微柱元法”來幫助學生將流體轉化為熟悉的質點模型(圖1):在源源不斷的流體中截取一小段柱體作為研究對象,先表示出該柱元的質量Δm,再利用動量定理將速度變化量Δv與力F聯系起來.

圖1 微柱元法

1 “微柱元法”的常規解法

【例1】(多選)如圖2所示,直-20武裝直升機的旋翼槳盤面積(槳葉旋轉形成的圓面面積)為S,空氣密度為ρ,直升機質量為m,重力加速度為g.當直升機懸停在空中時,空氣浮力不計,風力的影響也不計,下列說法正確的是( )

圖2 例1題圖

A.直升機懸停時受到的升力大小為mg

答案：A、C.

解析：對直升機進行受力分析,如圖3所示.

圖3 “微柱元法”分析

由平衡條件得

F′=mg

對極短時間Δt內被推出的空氣Δm有

F=F′=mg

Δm=ρV=ρSvΔt

FΔt=Δm(v-0)

因此

1 s內被推動的空氣質量

1 s內發動機做的功,即發動機的功率為

2 “微柱元法”常見困惑探討

但在細究之下,水平較高的學生又產生如下一些疑惑.

困惑1：在Δt內被推出的空氣Δm由零加速至v,為何可以用vΔt表示這塊空氣在Δt內通過的距離?

這可以從理想流體的定常流動上理解.理想流體的流動可看作定常流動,即流體中任一點的流速、通過任意截面的流量不隨時間變化.

在Δt內通過截面S1、S2的空氣質量相同(圖4),即在Δt內從飛機被加速至v的空氣Δm與以穩定速度v在Δt內通過S2的空氣質量Δm′相等.即

圖4 理想流體的定常流動分析

Δm=Δm′=ρV=ρSvΔt

困惑2：1 s內發動機做的功,即發動機提供推力的功率,為何從P=Fv的角度得到的結果與正確答案不同?

錯解

即

解析中

這兩種解法的區別還在于研究過程的不同,前者是對直升機懸停時的任一個瞬間分析,而后者是對單位時間內噴射出的氣體m1的加速過程分析.

困惑3：時間間隔Δt不取極短可以嗎?即一定要使用微柱元法嗎?

在本題的解析中,是否Δt→0,并沒有影響.但在非連續流體及較重流體問題中利用微柱元法可以辨別清楚流體與固體的相互作用過程.

【例2】為估算池中睡蓮葉面承受雨滴撞擊產生的平均壓強,小明在雨天將一圓柱形水杯置于露臺,測得1 h內杯中水上升了45 mm.查詢得知,當時雨滴豎直下落速度約為12 m/s.據此估算該壓強約為(設雨滴撞擊睡蓮后無反彈,不計雨滴重力,雨水的密度為1×103kg/m3)( )

A.0.15 Pa B.0.54 Pa

C.1.5 Pa D.5.4 Pa

答案：A.

解析：對極短時間Δt到達蓮葉上的雨水Δm為

(1)

(注意由于是非連續流體Δm≠ρSvΔt)

-FΔt=Δm(0-v)

(2)

(3)

由式(1)～(3),得

為何在式(2)中不用考慮雨水重力的沖量?由于Δt→0,IG=ΔmgΔt為二階小量,IG=ΔmgΔt?|Δp|=Δm(v-0),可以忽略不計.

若研究過程選取t=1 h,會有什么區別?在時間t內到達蓮葉的雨水質量:m=ρSh.在時間t內作用在m上的重力沖量IG與m撞擊蓮葉的動量變化量大小|Δp|之比為

即IG?|Δp|,那么IG不可忽略?即

-Ft+mgt=m(0-v)

仔細辨別一下這個研究過程會發現:雖然在t=1 h內,共有質量為m的雨滴掉落在蓮葉上,但m并不是同時掉落在蓮葉上,IG=mgt中的m應為每個瞬間Δt掉落的Δm(Δt→0,Δm→0),故

IG=Δmgt?|Δp|

可以忽略.即

-Ft=m(0-v)

(4)

由于在每個瞬間Δt內只有一小段雨水微元Δm與蓮葉相接觸,故即使對全過程t=1 h列式(4),其實是對各個Δt中式(2)疊加的結果,也用到了微柱元法的思想.微柱元法相較于全程法,更加貼近流體問題中相互作用的本質,更容易避開誤區.

3 總結

在處理流體問題時,先通過“微柱元法”建立起熟悉的質點模型,再通過對相互作用過程的理解與分析選擇正確的定理定律解決問題.以上3個思維困惑的探討,雖然解答各不相同,但其實都圍繞著一個主題:研究對象和研究過程的選擇.準確清晰地選好研究對象與研究過程是物理問題探討的基礎,也是學生基本物理素養的體現.