基于多模型IMC-PID 的三水箱液位控制算法研究

徐 磊，呂 金

（天津電氣科學研究院有限公司，天津 300180）

在工業生產中，液面高度是一個十分普遍的控制參量，具有觀測方法簡單、易于測定等優勢。三容水箱系統作為一種具有大慣性、非線性和時滯性特點的液體水位控制系統，可以用來仿真并模擬石油化工、冶金和食品灌裝等復雜的工業生產流程。因此，對三水箱的水位控制過程進行研究，不僅有現實的意義，而且具有良好的應用前景。為實現對三水箱液位的精準控制，有關單位在開展研究后提出了多種可用于三水箱液位控制的方法，但傳統控制方法在應用后，不僅存在控制效果無法達到預期的問題，還會導致三水箱液位存在不穩定的缺陷。

陳玉華[1]在開展此方面內容的研究后，設計了一種針對液位控制的輔助裝置，該裝置中集成了高壓加熱器，可以操作此裝置，實現對疏水液位的精準調控。以王超鋒[2]為代表的多名科研人員在開展研究后，引進了改進差分進化算法，通過建立控制終端與計算機之間的通信連接，實現對液位控制方法的設計；完成設計后，將該方法應用到啤酒灌裝機中，通過對啤酒灌裝機在運行中PID 參數的整定，實現在機械操作中對液位的控制。

為發揮三水箱的更高效能，在開展相關研究后，本文將結合市場內現有的研究成果，引進多模型IMC-PID 技術，開發一種全新的液位控制算法，預期完成該算法的設計并將其正式投入使用后，可以實現對三水箱在使用中液位的精準調控。

1 基于多模型IMC-PID 的三水箱液位控制算法

1.1 基于多模型的三水箱模型結構設計

三水箱具備單容水箱和雙容水箱的結構特性，因此在對三水箱模型結構設計前，需要明確單容水箱和雙容水箱的基本結構。圖1 為單容水箱基本結構示意圖；圖2 為雙容水箱基本結構示意圖。

圖1 單容水箱基本結構示意圖

圖2 雙容水箱基本結構示意圖

首先，針對圖1 單容水箱結構進行分析，結合動態物料平衡的關系，得出下述公式

式中：Q1為上水箱進水口的流入量；Q2為出水口流出量；A 為上水箱橫截面面積；d 為偏導數符號；h 為液位高度。

其次，結合圖2 所示雙容水箱基本結構，在模型中引入時滯項，即描述上、中雙容水箱液位過程的二階加時滯函數G（s）公式

式中：T2為第一個水箱的時間常數；T2為第二個水箱的時間常數；s 為時間；K2為雙容水箱開環增益；L2為雙容水箱的時滯時間。

最后，結合上述對單容水箱和雙容水箱結構的分析，推導出三水箱模型結構公式

式中：L 為三水箱的時滯時間。

1.2 三水箱數據模型參數辨識

在完成對三水箱數據模型結構的設計后，對模型中的各個參數進行辨識。傳統上，三水箱的數學模型參數的獲得，通常是先對三水箱分別進行階躍響應試驗，再利用繪制的階躍響應曲線，求出每個水箱的模型參數，最后把三水箱的模型進行乘積，就可以獲得整個三水箱的數學模型[3]。對于模型的精度要求較低時，采用這種方法的確能夠簡便、快捷地獲得三水箱的模型參數，但是對于較高精度的數學模型時，這種方法就不適合了。其不適合的主要原因是：利用繪圖方法在階躍響應曲線拐點上繪制切線以獲取參數，需要非常高的精度，如果采集到的數據在階躍響應曲線拐點上出現微小的偏差，則會造成利用繪圖方法獲得的系統參數出現較大的偏差。針對上述偏差問題，引入最小二乘法。該算法以錯誤的平方和最小為原則，為數據找到最優的功能匹配。用最小二乘法可簡單地求出一個不確定的值，并使其與真實值的偏差的平方和達到最小值[4]。最小二乘方法原理簡單，收斂速度快，易于理解，易于編程，因而被廣泛地用于模型參數辨識。

針對上述構建的三水箱數學模型，將其轉變為可以用差分方程描述的離散模型，將其采樣周期設置為1 s，得到下述公式結果

式中：k、d、z 均為結構參數；y（k）為輸入數據；u（k-d）為輸出數據。

根據批處理最小二乘法定理可知，針對采樣輸入數據和輸出數據，利用該算法可以得到模型參數向量的最小二乘辨識結果[5]。在確定各個結構參數后，只需要知道L 的取值，即可實現對三水箱數學模型參數的求解，通過觀察實際獲取到的輸入和輸出數據，從調節閥動作開始計時，觀察水箱液位高度的變化情況，可以估計出L 的具體取值。

1.3 IMC-PID 控制器設計及參數整定

為實現對三水箱液位的控制，引入IMC-PID控制器。所選IMC-PID 控制器是帶有濾波器的內模控制器，根據等效變換的原則推導得出相應的反饋控制器形式，進而得出等效PID 控制器[6]。結合上述三水箱數學模型，選擇一個低通濾波器，該濾波器f（s）可以用下述公式表示

式中：λ 為濾波時間常數。設計一個帶有濾波器的內模控制器，其表達函數公式為

式中：Q（s）為帶有濾波器的內模控制器；M-1（s）為最小相位。

結合結構圖等效變換原則，將典型內模控制結構圖轉變為等效經典反饋控制結構圖，得到等效反饋控制器。設計的IMC-PID 控制器只與被控制參數K、T、L 以及濾波器的參數相關，而K、T、L為能夠辨識出的固定模型參數。因此，只需要根據模型性能指標需求設定合適的濾波器參數，即可得到具備左右性能的IMC-PID 控制器。在此基礎上，提出了一種IMC-PID 控制器的參數魯棒調整方法，并通過實驗驗證了IMC-PID 控制器在一階延遲過程中，既能保證最大敏感度又能保證系統的增益，同時還能保證系統的穩健性，建立了IMC-PID 控制器的可調參量與其最大敏感度的內在聯系。通過魯棒整定方法，使IMC-PID 控制系統中的最大敏感度指數M 成為唯一的可調節參量。最大敏感性指數M 可按要求在魯棒性和動力學性能間進行權衡[7]。實驗證明：M 的取數值太大，不僅會影響系統的魯棒性，還會影響系統的動力學性能。因此，M 的取數值應控制在1～2 之間。為更好地決定IMC-PID控制器唯一可調節的參數M 的最優值，利用MATLAB 編程，將三容水箱的本地模式和相應的IMC-PID 控制程序編制成MATLAB，以1 s 的時間間隔，利用零階保持器方法進行離散，以達到對三容水箱進行閉環控制[8]。觀測不同M 取值對體系響應曲線的影響，實現對其動態控制。

2 實證分析

2.1 三水箱液位控制實驗設計

相關研究至今，國內外眾多的專家和技術人員都在積極地探索著各種新的液位控制方法，并為復雜的工業生產提供了一系列的解決方案。在現有的設計成果中，內模控制（Internal Model Control，IMC） 屬于一種以過程數學模型為基礎的新型控制技術。此項技術在應用中具有操作簡單、便于計算和調節、魯棒性強、適用于大滯后系統等優點。因此，多模型IMC-PID 被提出后，便受到工程界的廣泛重視。在進行了大量的科學理論研究和現場實踐測試之后，現已證實了多模型IMC-PID 可以實現對液位的精準控制。為進一步檢驗該方法的優勢，將其應用到工程實例中，對其進行測試。

考慮在實際的控制過程中，三水箱液位經常會遇到許多不可預測的問題，如控制終端硬件的連接是否正確、控制過程中是否有信號的干擾、各部分硬件是否工作正常等問題，而這些問題的出現將會對最終的控制效果產生直接影響。為此在實驗前，需要按照圖3，建立控制終端與三水箱之間的良好連接，以此排除實驗中外界因素與相關條件對液位控制效果的影響。圖3 為實驗終端連接硬件框圖。

圖3 實驗終端連接硬件框圖

2.2 實驗現場調試

在對液位控制系統進行現場調試前，需要對控制系統中所涉及的所有硬件設備進行逐一調試，以保證所有硬件設備都可以正常、穩定工作。

確認了所有的硬件都已經準備就緒之后，根據本文所設計的三水箱液位過程控制，對有關的硬件設備進行正確的接線，并進行對應硬件設備接線的檢查和校驗，以保證接線的合理性和準確性。完成以上工作后，接通實驗裝置的電源，給裝置上電。

打開由MATLAB 設計的控制軟件界面，在相應的給定值欄中，可以隨意地輸入一個液位高度值。比如：先將液位高度值設置為75 mm，點擊啟動按鈕；再運行控制程序，觀察在控制過程中，系統的響應曲線是否為75 mm，如終端可以響應，即完成對實驗環境中相關硬件設備的調試。

2.3 控制效果分析

設計三水箱液位控制值為165 mm，使用上文中設計的多模型IMC-PID 控制算法和傳統PID 算法進行三水箱液位的調控，記錄控制過程中三水箱液位-時間關系曲線。圖4 為三水箱液位-時間關系曲線（控制效果）。

圖4 三水箱液位-時間關系曲線（控制效果）

在上述內容的基礎上，設計不同的液位控制高度，對比本文方法控制液位達到設計高度的時間與傳統PIS 算法控制液位達到設計高度的時間。表1為控制時間對比表。

表1 控制時間對比表

3 結論

根據上述研究，得到如下結論。

參照圖4 三水箱液位-時間關系曲線可看出，當設定三水箱液位高度為165 mm 時，多模型IMCPID 算法可以在一個相對較短的時間內，將三水箱液位高度穩定在165 mm。在對控制效果曲線分析中發現，傳統PID 算法也可以實現將三水箱液位高度穩定在165 mm，但在穩定控制前，三水箱液位會經歷一個相對較長的波動，即不穩定階段。

綜合表1 控制時間對比結果可知，在設計液位高度一致的條件下，多模型IMC-PID 算法控制時間＜傳統PID 算法控制時間，說明在排除外界干擾的條件下，多模型IMC-PID 算法的控制效果更優，該算法可以在控制過程中，保證三水箱液位變化的平穩性，使液位快速處于穩態。

綜上所述，本次設計的控制算法綜合性能良好，具有代替傳統控制算法在相關工程領域內推廣使用的能力。