變位漸開線直齒圓柱齒輪傳動過程接觸應力分析

馮劍軍，簡正豪，陳暉

(1.湖南三一工業職業技術學院工程機械學院，湖南長沙 410129；2.南昌工學院新能源車輛學院，江西南昌 330108)

0 前言

齒輪機構具有傳動效率高、使用壽命長、傳動比穩定等優越性能，是機械中應用最廣泛的機構。齒輪是重要的傳動零件，齒輪傳動的性能將影響機械設備的工作壽命和工作性能。NAMBOOTHIRI和MARIMUTHU[1]指出，風力發電裝備中齒輪失效引起風力發電機失效占比達到59%，直升機由于齒輪失效引起的傳輸故障達19.1%。特別是齒輪的磨損、點蝕會造成齒輪壽命縮短，間隙增大，效力降低，產生噪聲，點蝕坑點作為裂紋源還會進一步引起輪齒疲勞點蝕等。為此許多研究者對齒輪接觸問題開展研究，并取得了許多成果。PUNEETH和MALLESH[2]分析一對直齒圓柱齒輪的接觸過程，應用有限元軟件Abaqus 計算了接觸應力，并將計算的結果通過MATLAB和AutoCAD等軟件應用于齒輪的自動設計和計算。胡愛萍等[3]分析了一對直齒圓柱齒輪嚙合時的最大接觸應力，計算了一對輪齒嚙合過程中最大接觸應力和節點接觸應力的比值函數，把最大接觸應力表達為節點嚙合時接觸應力乘以應力比，簡化了最大接觸應力的計算方法；但是，這種計算方法只適應于標準齒輪傳動。唐進元等[4]基于接觸動力學理論分析了齒輪嚙合過程中由于瞬態接觸速度的變化引起的沖擊問題，并計算了最大接觸應力。楊生華[5]應用有限元方法計算了齒輪接觸時的變形和接觸應力。ZHAO等[6]應用分形理論建立了粗糙齒面的分形面接觸模型，計算了齒面上凸峰點接觸剛度和接觸應力，分析了齒面粗糙度對齒輪傳動性能的影響。LIU等[7]基于有限元方法和國際標準，分別對滾齒面和磨削齒面雙曲線齒輪的承載能力進行了研究，在相同工作條件下，比較了兩類齒輪的接觸應力和彎曲應力，結果表明滾齒面雙曲線齒輪具有更大的承載能力。由此可知齒輪傳動時輪齒嚙合的接觸應力對齒輪工作影響較大，吸引了研究者從影響齒輪接觸應力的不同因素，采用不同方法研究齒輪工作時的應力、變形和對齒輪工作性能的影響，對于齒輪的精準設計、為各種高性能裝備提供優質的齒輪傳動機構具有重要意義。漸開線圓柱齒輪設計通常采用承載能力計算方法。國家標準(GB/T 3480.2—2021/ISO6336-2:2019、GB/T 3480.3—2021/ISO6336-3:2019)規定的方法是分別按齒面接觸疲勞強度和齒根彎曲疲勞強度進行設計計算。標準中規定：在進行齒面接觸疲勞強度計算時，對于標準齒輪傳動，接觸應力通常按節點、大輪和小輪單齒嚙合區內界點嚙合時進行計算；在計算公式中，如果按節點計算接觸應力，區域系數的取值考慮了變位系數的影響。但是，大輪和小輪單齒嚙合區內界點嚙合時接觸應力計算沒有考慮齒輪變位對最大接觸應力的影響，沒有給出變位齒輪傳動最大接觸應力的計算方法。

本文作者為了便于對變位齒輪進行精確設計，將研究變位齒輪傳動中最大接觸應力的計算問題，分析齒數、傳動比對變位齒輪最大接觸應力的影響，確定在什么條件下需按最大接觸應力設計變位齒輪。獲得的結論可為齒輪設計和齒輪失效分析提供參考，滿足生產實際對齒輪設計的要求。

1 齒輪嚙合時赫茲應力計算

為了分析變位齒輪節點嚙合接觸應力和最大接觸應力的差異，現在設有一對變位漸開線直齒圓柱齒輪傳動，扭矩為T1，轉速為n1，載荷修正系數為K，單對齒嚙合的法向作用力為Fn，齒寬為b，切向力為Ft1，模數為m，傳動比為u，齒數分別為Z1、Z2，基圓半徑分別為rb1、rb2，兩輪齒嚙合齒廓上任意一嚙合點的半徑分別為r1i、r2i，壓力角分別為α1i、α2i；分度圓半徑為r1、r2，分度圓壓力角為α，節圓半徑r′1、r′2，嚙合角為α′；忽略重合度對接觸線長度b的影響。一對輪齒的接觸過程如圖1所示。

圖1 單對齒嚙合過程

根據Hertz公式，齒廓任意一點接觸時接觸應力為

(1)

由圖1可知：

(2)

(3)

由式(1)可知：一對外嚙合輪齒接觸時，其任意接觸點i的綜合曲率為

(4)

其中：L表示極限嚙合線的長度；x表示主動齒輪1任意嚙合點到嚙合極限點的距離；嚙合點i的半徑為r1i。L和x可分別表示如下：

L=(rb1+rb2)tanα′

(5)

(6)

兩齒輪嚙合接觸的綜合彈性影響系數表示為

(7)

式中：E1、E2和ν1、ν2分別為齒輪1和齒輪2的彈性模量和泊松比。

(8)

式中：K為載荷修正系數。將式(4)(7)(8)代入式(1)，可得：

(9)

(10)

由式(9)可知：接觸應力σH的大小的變化，除法向載荷外，主要決定于函數1/ρ=[L/(Lx-x2)]1/2的變化。現在考察其變化規律。在式(4)中，設L=15，x的取值范圍為：0

由圖2可知：綜合曲率在靠近嚙合線的極限嚙合點較大，極限嚙合線的中點綜合曲率具有極小值。按綜合曲率變化規律，越靠近實際嚙合線的端點，接觸應力越大。但是，實際嚙合線的端點附近區域是雙齒嚙合區，接觸應力并非最大，單齒嚙合區接觸應力相對較大。因此，接觸應力最大值必定會出現在離極限嚙合線中點較遠處，靠近小齒輪極限嚙合點、單齒嚙合區與雙齒嚙合區的分界點。

2 計算單對齒嚙合時最大接觸應力

設：齒輪1、2的極限嚙合線N1N2如圖3所示，點N1、N2分別為齒輪1(小齒輪)和齒輪2(大齒輪)的嚙合極限點。取點N1為x軸的坐標原點，從N1到N2的方向為x軸正向，A、B表示實際嚙合線的端點，C、D分別為雙齒嚙合區和單齒嚙合區的分界點。

由圖3可知：當齒廓在點C接觸時，N1C=N1B-πmcosα=rb1tanαa1-πmcosα，即：x=rb1tanαa1-πmcosα，將其代入式(9)，可得：

(11)

3 節點嚙合時接觸點處的接觸應力

設有一對變位齒輪傳動，變位系數分別為x1和x2，不考慮制造和安裝引起的中心距誤差，節圓和分度圓不重合。節點P嚙合時，節點到齒輪1的嚙合極限點的距離為

(12)

將式(12)(5)代入L/(Lx-x2)，可得：

(13)

將式(13)代入式(9)，可得節點P接觸時接觸應力為

(14)

4 最大接觸應力與節點接觸應力的比值(簡稱應力比)

齒廓接觸過程中最大接觸應力(式(11))與節點接觸時的接觸應力(式(14))的比值為

(15)

(16)

不考慮中心距安裝誤差時，中心距變動量為

由上式可得：

tanα′=

(17)

由式(15)(17)可得變位齒輪傳動時最大接觸應力可表達為

(18)

按最大接觸應力精確設計齒輪的計算公式為

(19)

5 應力比分析

應力比的計算公式不僅可應用于變位齒輪傳動設計，也可應用于標準齒輪傳動設計。當其應用于變位齒輪時，將變位系數x1、x2依次代入式(18)(17)(16)(15)，就可以計算應力比λ。然后將應力比λ代入式(19)，就可以計算變位齒輪的最大接觸應力。

5.1 等距變位齒輪傳動

圖4 等距變位齒輪傳動中應力比的變化曲線

圖4(a)表明當小齒輪齒數從10增加到17時，小齒輪變位系數逐漸減小，應力比增大，最大接觸應力增大。圖4(b)表明隨著等距變位齒輪傳動的傳動比增大，應力比增大，最大接觸應力增大。兩種曲線圖均表明了如果傳動比大于或等于3，小齒輪齒數大于或等于13(小于17)時，最大接觸應力比節點接觸應力大8%或以上。

5.2 不等距變位齒輪傳動

不等距變位齒輪傳動(|x1+x2|≥0)時，可分為正傳動和負傳動。如果按標準中心距安裝和不考慮削頂，當正傳動時，由式(18)可知嚙合角會增大，負傳動時嚙合角會減小；式(17)表明當Z1<17時，小齒輪變位系數大于0，小齒輪頂圓壓力角增大。設小齒輪齒數小于17，大齒輪齒數大于17，正傳動時，變位系數x2/x1=0.6；負傳動時，x2/x1=1.2。為了分析應力比的變化規律，設Z1從11增大至17，傳動比u從1.7變化到5，應力比的變化曲線如圖5所示。

圖5(a)(b)表明：正傳動時，小齒輪齒數Z1增大，應力比會增大；而變位系數x1增大，應力比則會減小。圖5(c)(d)同樣表明：負傳動時，小齒輪齒數Z1增大，應力比會增大；而變位系數x1增大，應力比則會減小。盡管小齒輪齒數Z1和變位系數x1的變化會影響嚙合角和小齒輪頂圓壓力角，但是應力比的綜合變化規律是相同的：即小齒輪齒數Z1增大，應力比會增大，而變位系數x1增大，應力比則會減小。

5.3 標準齒輪傳動最大接觸應力分析

應力比的計算公式應用于標準齒輪傳動時，需要在式(18)(17)(15)中分別取x1=x2=0、α′=α，計算出應力比λ后，將其代入式(19)，就可以計算最大接觸應力。標準齒輪傳動中，應力比相對于小齒輪齒數、傳動比的變化曲線如圖6所示。

圖6 標準齒輪傳動應力比的變化曲線

圖6(a)表明標準齒輪傳動(Z1≥17)的應力比隨著小齒輪齒數的增大會減小；而圖6(b)說明應力比隨著傳動比的增大而增大。標準齒輪傳動的最大接觸應力等于節點應力乘以應力比，將α′=α代入式(14)，即可得到標準齒輪傳動節點應力計算式。影響標準齒輪傳動(Z1≥17)最大接觸應力的因素的更詳細分析請參考文獻[3]。標準齒輪傳動最大接觸應力可表達為

(20)

綜上分析可知：當小齒輪齒數Z1=17時應力比具有最大值，小齒輪齒數越大于或越小于17時，最大應力與節點應力越接近；最大應力與傳動比密切相關，傳動比越大，應力比越大。如果傳動比u取值范圍為1～5，依據最小變位系數對齒輪傳動進行變位，并設以最大接觸應力與節點接觸應力之比大于或等于8%為基準，即當應力比大于或等于8%就必須按精確接觸疲勞強度計算。設計齒輪時需要進行精確接觸疲勞強度設計計算的條件如表1所示。可知：當小齒輪齒數Z1≥23和Z1≤11時，不需要按最大接觸應力進行精確接觸疲勞強度設計計算。

表1 需要進行精確接觸疲勞強度設計計算的條件

6 實例分析

已知某外嚙合變位漸開線直齒圓柱齒輪傳動的輸入功率P1= 10 kW，傳動比u=3，小齒輪轉速n1=960 r/min，采用閉式軟齒面齒輪傳動，假設小齒輪采用合金鋼，彈性模量E1=209 GPa，大齒輪采用碳鋼，E2=205 GPa，大、小齒輪的泊松比均為ν=ν1=ν2=0.28，[σH]= 525 MPa，ZE=189.8 MPa，φd=1，K=1.4，試按接觸強度設計該齒輪傳動。

(1)按接觸強度設計該齒輪傳動的模數

解：T1=9.55× 106P1/n1=9.947 9×104N·mm，選取小齒輪齒數Z1=15，Z2=uZ1=45，變位齒輪傳動采用正傳動，則：

取x1=0.15，x2=-0.11。

應用式(18)(17)分別計算嚙合角α′和齒頂圓壓力角αa1，將其代入式(15)計算應力比為：λ=1.085；將已知量和λ=1、λ=1.085代入式(20)，可獲得按節點嚙合和按最大應力設計的齒輪分度圓直徑分別為66.844 4 mm和70.580 5 mm，兩種設計方法獲得的分度圓直徑比較，后者比前者約大5.59%。

根據分度圓直徑和齒數可計算出模數，并向增大的方向圓整為標準模數，可得按節點嚙合設計和按最大應力設計的模數分別為m=4.5 mm和m=5 mm。

(2)應用有限元分析結果驗證推導的應力比計算式

為了驗證文中推導的應力比的正確性，采用了Abaqus有限元軟件對上述例題中齒輪傳動的接觸應力進行了模擬計算。設齒輪的模數m=4 mm，齒輪傳動的幾何尺寸和參數如下：

大、小齒輪齒頂圓直徑：

da1=(Z1+2+2x1)m=69.2 mm

da2=(Z2+2+2x2)m=187.12 mm

基圓直徑：

db1=mZ1cosα=56.38 mm

db2=mZ2cosα=169.14 mm

嚙合角的余弦：

節圓半徑：

節點嚙合時，大、小齒輪齒廓的曲率半徑分別為

ρ1=r′1×sinα′=10.38 mm

ρ2=r′2×sinα′=31.14 mm

(21)

在極限嚙合線上靠近小齒輪極限嚙合點的單齒嚙合區與雙齒嚙合區界點嚙合時，大、小齒輪齒廓的曲率半徑分別為

ρ′2=(ρ1+ρ2)-ρ′1=33.27 mm

(22)

根據齒輪傳動的扭矩，計算齒輪嚙合時小齒輪齒廓對大齒輪齒廓作用的法向力為

模擬時采用以嚙合點處的齒廓曲率半徑為半徑的兩個半圓柱體相接觸，計算單齒嚙合區和雙齒嚙合區界點、節點嚙合時接觸點兩處的最大接觸應力之比。模擬獲得的兩接觸點應力云圖如圖7和圖8所示。

圖7 界點接觸時法線方向的應力云圖

模擬應力比與計算應力比之間的誤差分析。由圖7和圖8可知：變位齒輪界點接觸時法線方向的最大接觸應力σ′=55.89 MPa，節點接觸時法線方向的最大接觸應力σ=52.21 MPa，應力比為λ=55.89/52.21=1.070 5；計算應力比為λ=1.085。相對誤差為：(1.085-1.070 5)/1.085=1.34%，說明計算結果與模擬結果基本吻合。

7 結論

分析了變位漸開線直齒圓柱齒輪傳動時嚙合點綜合曲率的變化規律，推導了最大接觸應力的計算式及其與節點嚙合時接觸應力兩者比值的計算式，分析了應力比隨著小齒輪齒數和傳動比的變化規律，獲得如下結論：

(1)獲得了變位齒輪傳動時最大接觸應力的計算方法。最大接觸應力可表達為節點嚙合的接觸應力乘以應力比，即：σHmax=λσHP；推導了應力比的計算式，并采用Abaqus有限元方法驗證了應力比計算式的準確性。

(2)分析了應力比的變化規律。從變位齒輪(Z1<17)應力比的計算式可知：影響應力比的主要因素是小齒輪齒數、傳動比。當Z1<17時，應力比隨著小齒輪齒數增大，應力比增大；同樣，傳動比增大，應力比相應增大；當小齒輪齒數等于17時應力比具有最大值。應力比的計算式(15)不僅可用于變位漸開線直齒圓柱齒輪，對于標準直齒圓柱齒輪傳動同樣適用。

(3)如果齒輪接觸強度的設計準則為最大接觸應力比節點接觸應力大8%或以上，則需要按最大接觸應力進行精確設計。表1提供了需要按最大接觸應力設計計算的參數范圍。