基于經驗模態分解的直驅進給軸熱誤差組合預測*

□ 陳茂雷 □ 項四通 □ 李 濃 □ 劉永榮

1.寧波大學 機械工程與力學學院 浙江寧波 315211 2.寧波德凱數控機床有限公司 浙江寧波 315211

1 研究背景

直線電機驅動的進給軸能夠實現直接驅動,具有精度高、速度快、效率高等優點[1,2]。然而,直驅結構會產生嚴重的熱誤差,導致進給軸的定位精度降低[3],因此有必要建立熱誤差預測模型。

目前學者們主要將滾珠絲杠系統作為熱誤差研究的重點[4-5],針對直驅進給軸熱誤差進行的研究則比較少。Kim等[6]在研究中測量全直驅三軸機床的熱誤差,并結合有限元法確定各軸的熱誤差構成要素和誤差分配量。Uhlmann等[7]采用有限元方法模擬直驅高速切削加工中心的熱行為,并且預測熱誤差。林獻坤等[8]分析雙直驅進給軸熱誤差產生的原因,并提出一種基于潛變量回歸的熱誤差識別模型。Liu Shengsen等[9]提出一種基于改進貝葉斯神經網絡的直驅進給軸熱誤差建模方法,以解決傳統神經網絡收斂速度慢、欠擬合等問題。然而,熱誤差具有時變特點,純靜態模型不能完全反映熱變形過程[10],因此以上單項模型的預測精度難以控制,魯棒性較差。

為解決單項預測模型存在的問題,一些學者提出熱誤差組合預測方法。林獻坤等[11]提出一種核偏最小二乘法和模糊邏輯相組合的直驅進給軸熱誤差在線補償方法,但并沒有對實時采集的溫升數據進行預處理,導致模型穩健性較差。Abdulshahed等[12]提出一種灰色系統理論和神經網絡相結合的機床熱誤差建模方法,將原始數據轉換為單調序列數據,以降低數據的隨機性。Liu Jialan等[13]分析主軸系統熱誤差產生的機理,建立變分模態分解、灰度算法、長短期記憶神經網絡相組合的預測模型,但這一模型忽略了高低頻數據的影響,預測的準確性受到限制。

基于上述問題,筆者將直驅進給軸作為研究對象,建立基于經驗模態分解的熱誤差組合預測模型。經驗模態分解可以將溫升序列分解并重構為頻率不同的分量,根據分量的頻率特征,分別使用長短期記憶神經網絡、支持向量機、自回歸滑動平均模型進行訓練,并選擇合適的權重進行組合。與其它單項預測模型相比,這一組合模型能夠自適應對溫升數據進行預處理,識別能力更強,預測精度更高。

2 直驅進給軸結構

直驅進給軸結構如圖1所示,直線電機結構如圖2所示。直驅進給軸由基座、導軌、運動平臺、直線電機組成。與傳統滾珠絲杠進給軸相比,直驅進給軸結構更加簡單。直驅進給軸的運動平臺與直線電機的初級連接,因此不需要轉換電機的運動方式,就能在導軌上直接實現往復運動[14]。由于這種特殊的直驅結構,導致電機產生的熱量會直接影響到直驅進給軸的定位精度。

▲圖1 直驅進給軸結構▲圖2 直線電機結構

3 經驗模態分解

假設xi為第i個時間點測得的直驅進給軸溫度,那么溫升時序X可以表示為{x1,x2…xi…xn}。經驗模態分解的具體步驟如下。

(1) 找出原溫升序列X的所有極大值點和極小值點,分別用三次樣條函數擬合為上下包絡線,并計算平均包絡線m。

(2) 將原溫升序列X減去平均包絡線m,得到新的序列h。考察h是否符合以下兩個條件:① 序列的極值數和過零點數相等或相差1;② 序列的上下包絡線局部對稱。如果符合,那么h為一個本征模分量,記為Ci。如果不符合,那么用h代替前述的X,重復步驟(2),得到新的h,直至找到符合要求的新序列。

(3) 將原溫升序列X減去已經得到的本征模分量Ci,得到Ri,為:

Ri=X-C1-…-Ci

(1)

(4) 用Ri替換前述的X,并且不斷重復步驟(1)至步驟(3),直至Ri是一個不能繼續分解的單調序列。于是有:

(2)

式中:Cj為從原溫升序列X分解出的本征模分量;Rn為剩余分量。

經驗模態分解方法的處理過程是完全自適應的,能將時序信號分解為多個具有不同頻率特征的分量,使信號序列平穩化。

4 游程判定重構法

如果分解后的項數較多,不做任何處理直接預測,那么工作量和預測累積誤差會很大。對此,可以考慮運用游程判定重構法將子序列C1至Cn重構。游程判定重構法能很好地反映各分量的波動程度和規律,并根據它們的波動程度選擇合適的項數,將頻率相似的分量分別疊加重構為高頻項、中頻項、低頻項、趨勢項。

5 熱誤差組合預測模型

組合預測指對各個單項預測模型得到的結果賦于不同的權重,進而組合為一個新的預測模型。假設某個問題可用k個預測模型預測,那么它們的組合預測模型可表示為:

f=∑(wifi)

(3)

式中:wi為單項預測模型的權重,一般可選用等權重法、最小方差法等;fi代表單項預測模型。

組合預測能夠充分發揮各種預測方式的優勢,從不同的角度挖掘出溫升序列的內在信息,減少總體預測的不確定,提高熱誤差的預測精度。根據重構項的不同波動特征,選用長短期記憶神經網絡、自回歸滑動平均模型、支持向量機相組合的模型。

5.1 長短期記憶神經網絡

長短期記憶神經網絡是一種考慮時間序列影響的循環神經網絡[15],由輸入門、輸出門、遺忘門組成,可以通過它們來控制歷史信息對當前信息的影響程度,公式為:

ft=σg(Wfxt+Rfht-1+bf)

(4)

it=σg(Wixt+Riht-1+bi)

(5)

gt=σc(Wgxt+Rght-1+bg)

(6)

ot=σg(Woxt+Roht-1+bo)

(7)

ct=ftct-1+itgt

(8)

ht=otσc(ct)

(9)

式中:t代表時刻;ft為遺忘門;it、gt為輸入門;ot為輸出門;Wf、Wi、Wg、Wo為xt的權值矩陣;Rf、Ri、Rg、Ro為ht-1的權值矩陣;bf、bi、bg、bo為偏置因子;σg為sigmoid激活函數;σc為tanh激活函數。

遺忘門決定保留多少上一時刻的信息,輸入門對輸入信息進行篩選。

直驅進給軸熱變形是動態的,其熱誤差不僅取決于當前的熱環境,而且受之前熱特性的影響。因此,長短期記憶神經網絡非常適合這種動態模型的預測。筆者建立三層長短期記憶神經網絡熱誤差預測模型,模型的輸入為t時刻直驅進給軸的溫升序列集合、環境溫度T、位置y、運行速度v,輸出為t時刻相應位置的熱誤差。長短期記憶神經網絡結構如圖3所示。

▲圖3 長短期記憶神經網絡結構

5.2 自回歸滑動平均模型

自回歸滑動平均模型是一種常用于平穩時間序列的預測模型[16],公式為:

xt=φ1xt-1+…+φpxt-p+εt-θ1εt-1-…

-θqεt-q

(10)

式中:p、q為自回歸滑動平均模型的階數;εt為白噪聲序列;φp為自回歸因數;θq為滑動平均因數。

當p為0或q為0時,自回歸滑動平均模型分別為自回歸模型和滑動平均模型。

模式識別和參數辨識是自回歸滑動平均模型建立的關鍵問題,具體步驟如圖4所示。

▲圖4 自回歸滑動平均模型步驟

計算序列的自相關因數和偏自相關因數,確定自回歸滑動平均模型的特性,見表1。接著根據赤池信息定階準則,計算出模型階次。

表1 自回歸滑動平均模型特性

確認模型結構后,可利用最小二乘算法和長自回歸計算殘差法辨識自回歸因數和滑動平均因數。

5.3 支持向量機

支持向量機是一種機器學習方法,相較于神經網絡,支持向量機具有更好的泛化和推廣能力,適用于小樣本數據[17]。

支持向量機用于預測時,通過一個非線性映射φ,將給定的訓練集X從原空間映射到更高維空間,構造最優線性回歸函數,公式為:

(11)

式中:w為權重;b為偏置因子。

根據風險最小化原則,選擇風險函數J對式(11)中的參數進行估計。

(12)

式中:ξi為誤差變量;c為正規化參數;n為樣本總數。

最后可得預測結果為:

(13)

式中:αi為拉格朗日乘子;K(x,xi)為核函數。

支持向量機核函數的種類很多,筆者選擇最常用的高斯核函數。

5.4 權重確定

模型權重的確定是組合預測的關鍵問題,選擇最小方差法來確定模型的權重,公式為:

(14)

上述組合預測模型的結構如圖5所示,將溫升序列分解重構為不同的頻率項,并使用組合預測模型進行預測。

▲圖5 組合預測模型結構

6 試驗驗證

6.1 數據獲取

以寧波某公司生產的MT140直驅進給軸為例,建立熱誤差模型,試驗現場如圖6所示。

▲圖6 試驗現場

直驅進給軸屬于開放式結構,電機產生的熱量會直接影響其它部件,尤其是導軌。對此,選擇在導軌的首、尾和中間處分別布置三個Pt100熱電阻,如圖7所示。為更直觀地反映直線電機的溫度變化,在電機次級布置一個熱電阻。利用MIK-R6000C記錄儀實時記錄熱電阻的溫度,測量結果如圖8所示。

▲圖7 熱電阻布置

▲圖8 溫度測量結果

使用SIOS SP120激光干涉儀測量直驅進給軸的定位誤差,測量結果如圖9所示。MT140直驅進給軸的工作范圍為0～800 mm,因此選取50 mm作為測量間隔。首先測量初始狀態的定位誤差,然后使直驅進給軸在工作范圍內往復運動20 min、50 min、80 min、110 min、170 min、230 min后測出定位誤差。將定位誤差減去初始誤差后,即可分離出熱誤差。

▲圖9 定位誤差測量結果

6.2 溫升數據預處理

為滿足模型的訓練要求,需要獲取足夠多的測試數據。可以分別在不同速度和室溫下重復上述試驗,分30 d完成。將30組測數據按8∶1∶1分為訓練集、驗證集、測試集。

測得的溫升數據需要經過經驗模態分解,分解為不同頻率的序列,以圖8中的溫升曲線x4為例,經驗模態分解結果如圖10所示。

▲圖10 x4經驗模態分解結果

高頻項、中頻項是波動范圍在0.05 K以內的平穩噪聲,可以認為這兩項溫度序列是由熱電阻和溫度記錄儀的測量誤差引起的,選用長短期記憶神經網絡對高頻項和中頻項進行預測。低頻項波動較小,可以認為是由環境變化引起的,選用支持向量機對中頻項進行預測。趨勢項是一條平穩的光滑曲線,剔除了儀器測量誤差和環境變化的影響,能直觀反映直驅進給軸的溫度變化,選用自回歸滑動平均模型對趨勢項進行預測。

6.3 預測精度分析

將訓練集輸入組合預測模型,完成訓練、驗證、測試。測量結果和模型預測結果如圖11所示。結果表明,預測曲線擬合光滑,并且很逼近實測曲線。

▲圖11 測量結果和模型預測結果

模型的預測精度可以通過均方根誤差QRMSE和擬合優度R2來表示。均方根誤差越小,擬合優度越接近1,表示模型的預測精度越高,擬合優度越好。具體公式為:

(15)

(16)

模型預測均方根誤差如圖12所示。在直驅進給軸的行程內,模型預測的均方根誤差范圍為0.4～1.4 μm,具有較高的預測精度,能有效預測熱誤差。模型預測擬合優度如圖13所示。經過多層組合訓練后,模型具有較好的擬合優度,能自適應調整線性和非線性區間,可準確反映熱誤差變化的全過程。

▲圖12 模型預測均方根誤差▲圖13 模型預測擬合優度

將同樣的數據集輸入自回歸滑動平均模型和長短期記憶神經網絡中進行預測,預測的精度對比見表2。結果表明,與普通單項預測模型相比,筆者提出的組合預測模型擬合優度更好,預測精度更高,充分證實了基于經驗模態分解的直驅進給軸熱誤差組合預測模型的有效性。

表2 預測精度對比

7 結束語

以MT140直驅進給軸為研究對象,提出基于經驗模態分解的直驅進給軸熱誤差組合預測模型,通過試驗驗證了模型具有較高的預測精度。

經驗模態分解和游程判定重構法能夠自適應地將溫升序列分解重構為若干頻率不同的分量,根據重構項不同的波動特征,可以分析溫升序列的組成和特性。

基于經驗模態分解的組合預測模型有較好的擬合優度,預測精度達到90.25%以上,最大均方根誤差能夠控制在1.4 μm以內,適用于直驅進給軸的熱誤差預測。

相較于單項預測模型,組合預測模型能夠從不同角度去挖掘溫升序列的內在信息。經過多層組合訓練后,模型能夠自適應調整線性和非線性區間,準確反映熱誤差變化的全過程。