基于直覺支持度的對偶猶豫模糊粗糙集模型?

張瑞麗 馬 俊，2 陳博行

（1.青海師范大學計算機學院 西寧 810008）（2.高原科學與可持續發展研究院 西寧 810008）

1 引言

模糊多屬性決策是指評估專家處理的數據是以［0，1］模糊數據形式存在的，對相互沖突的多個屬性進行綜合評價和決策的過程。模糊多屬性決策方法作為決策理論的一部分，在艦載安全評估［1］、信息融合［2］、中醫診斷［3］、應急管理［4］等多數應用領域成為重要的數據決策手段。例如艦船動力系統選擇供應商時，成本與性能或服務水平就是一對矛盾的屬性，既希望成本低廉，又要求性能好、服務及時響應快，專家在做出決策時經常遇到類似情況，必須綜合權衡才能做出最優方案。

模糊集［5］和粗糙集［6］作為兩個重要的數學經典理論，在處理不確定性、不精確性問題方面均做出了重大貢獻。模糊集主要用來處理具有非精確和模糊性的數據，粗糙集偏向于屬性約簡和上下近似的專家判斷工作。學者們將兩個工具進行結合，形成了一個值得探討的熱門研究方向［7～8］。例如文獻［9］中，Dubois 和Prade 于1989 年定義了模糊粗糙集和粗糙模糊集，這提供了一些在這個研究方向的新的研究思路。模糊集由于理論局限性及應用場景不同，隨后直覺模糊集［10］和區間直覺模糊集［11］，猶豫模糊集［12］及對偶猶豫模糊集［13］被相繼提出。Nguyen 在文獻［14］中將模糊數與直覺模糊集相結合來研究support-intuitionistic 模糊集，它指出決策問題會被積極方面（隸屬度），消極方面（非隸屬度）和支持模糊數三個因素影響，這也是support-intuitionistic 模糊集的模型的現實意義。楊勇［15］將support-intuitionistic 應用與模糊聚類中，薛占熬等［16］將其與粗糙集相結合進行多屬性決策研究。然而多屬性決策［17］通常影響因素繁多等造成決策比較困難，當決策方對指標值評價存在猶豫不定情況時，顯然直覺模糊集無法解決此類問題，且支持度僅依靠單一隸屬度表達的精確度也有待提高。

對偶猶豫模糊集多屬性決策對備選方案固有屬性的評價值用隸屬度和非隸屬度集合表示，本文考慮將這一優勢與直覺模糊形式的支持度相結合，提出直覺支持度的對偶猶豫模糊集模型，用來解決就決策方某些自有屬性不便與支持屬性評價值一起比較的問題，譬如經濟能力等屬性，此時用直覺支持度來表示。2014年Yang等［18］給出了猶豫模糊粗糙集的構造性與公理化方法，第一次將猶豫模糊集與粗糙集理論融合，后眾多研究者對此提出了各種各樣的模糊集或粗糙集的擴展模型，并提供了應用場景［19～25］。而對偶猶豫模糊粗糙集理論及決策方面的研究本就不多，鑒于此，我們繼續將粗糙集推廣到直覺支持度對偶猶豫模糊環境中，進而構造直覺支持度對偶猶豫模糊粗糙集模型，給出了定義、性質及決策方法，為多屬性決策提供了新的理論方法及應用可能。

2 相關知識

本節回顧了對偶猶豫模糊集的定義和運算法則，并約定本文的模糊元擴充方法及模糊元排列次序。

定義1［13］設和為兩個對偶猶豫模糊元，定義的對偶猶豫模糊元的運算法則為

其中和分別表示fd1和fd2中的第t個值，；和分別表示gd1和gd2中的第s個值，s=1，2，…，ldg，

其中：

值得注意的是：

1）參與邏輯運算的模糊元長度可能不一致，通常做法是延長短模糊數個數使之與長模糊數個數長度相等。考慮到決策者的保守或風險意識不同，本文據以心理因素考慮選用折中法，將平均值模糊數分別補齊到該隸屬和非隸屬模糊元中。

2）規定參與運算的各模糊元素從小到大排列。

3 直覺支持度對偶猶豫模糊粗糙集

本節在上一節的基礎上，給出直覺支持對偶猶豫模糊集的定義，利用直覺支持度對偶猶豫模糊關系定義其粗糙集模型，給出該模型的上下近似定義，并引出一些基本性質及其證明。

定義2（直覺支持度對偶猶豫模糊集）設X是一個有限非空集合，在X上的直覺支持度對偶猶豫模糊集H定義為

H={|x?X}

其中f(x) 和g(x) 都屬于[0，1]的兩個集合，f(x)表示x屬于H的可能隸屬度，g(x)則表示可能非隸屬度，直覺支持度θ(x)=(μ(x)，ν(x))以直覺模糊數形式定義，一般情況，我們將H=(f(x)，g(x)，θ(x))稱為直覺支持度對偶猶豫模糊元。當支持度為1 時表示100%的支持程度，此時直覺支持度對偶猶豫模糊集退化為對偶猶豫模糊集。

定義3（直覺支持度對偶猶豫模糊集）設X為一個固定集合，A和B是X上的兩個直覺支持度對偶猶豫模糊集，其中A={|x?X}B={|x?X}則運算規則如下：

1）A?B??x?X，fA(x)?fB(x)，gA(x)?gB(x)且θA(x)?θB(x)序關系?，?定義為

其中1 ≤s≤k，1 ≤t≤l，k和l分別對應隸屬度和非隸屬度集合的元素個數。

2）A∩B={x，(fA，gA)∩(fB，gB)，θA∩θB>|x?X}

3）A∪B={x，(fA，gA)∪(fB，gB)，θA∪θB>|x?X}

4）A⊕B={xi，(fA，gA)⊕(fB，gB)，θA⊕θB}

5）A?B={xi，(fA，gA)?(fB，gB)，θA?θB}

以上運算參照對偶猶豫模糊數運算法則。

定義4（直覺支持度對偶猶豫模糊關系）設X和Y是2 個非空有限論域，定義在空間X*Y上的直覺支持度對偶猶豫模糊子集，稱為從X到Y上的直覺支持度對偶猶豫模糊關系（ISDHF），一般表示為

其中fR(x，y)?[0，1]，gR(x，y)?[0，1]，?(x，y)?X*Y，由直覺模糊集定義知θR（x，y)為一個直覺模糊數（μF(x，y)，νF(x，y)）。特別地，當X=Y時，直覺支持度對偶猶豫模糊子集R稱為X上的一個直覺支持度對偶猶豫模糊關系。

定義5（直覺支持度對偶猶豫模糊粗糙集ISDHFRS）設X和Y為兩個非空有限集合，R為X到Y上的直覺支持度對偶猶豫模糊關系，?A?ISDHF(Y)直覺支持度對偶猶豫模糊粗糙集的下近似和上近似分別定義如下：

其中：

舉例1設集合R和A如上，由定義5可得：

定理1設二元組(V，R)是一個直覺支持度對偶猶豫模糊近似空間，任意的A集合對直覺支持度對偶猶豫模糊集V，在近似空間上的下近似與上近似具有下列性質：

證明：

1）?x?X

同樣地：

2）由A?B，即?x?X，fA(x)?fB(x)，gA(x)?gB(x)

μA(x)≤μB(x)，νA(x)≥νB(x)則：

3）對于?x?X

4）當B?A時，

當A?B時

定理2設二元組(V，R)是一個直覺支持度對偶猶豫模糊近似空間，R1、R2為V上任意兩個直覺支持度對偶猶豫模糊關系，對?A?ISDHFS(V)，如果R1?R2，則有如下性質：

證明：由定義6和定義8可知：

推論在直覺支持度對偶猶豫模糊粗糙集模型中，對偶猶豫模糊集退化為猶豫模糊集時，該模型將轉化為直覺支持猶豫模糊粗糙集；或直覺支持度退化為模糊集時，該模型將轉化為支持對偶猶豫模糊粗糙集。

很顯然退化后的兩個模型計算上下近似方法同定義5，此處因篇幅關系不再給出證明過程。

4 直覺支持度對偶猶豫模糊粗糙集多屬性決策

4.1 直覺支持度對偶猶豫模糊粗糙集多屬性決策方法

多屬性決策是從多個備選方案中選出最優決策方案的過程。假設U={x1，x2...xn}為目標備選方案集，V={y1，y2...yn}為影響決策的屬性集，R為U到V上的直覺支持度對偶猶豫模糊關系，設A為直覺支持度對偶猶豫模糊集，可得到直覺支持度對偶猶豫模糊信息系統(U，V，R，A)。

本文使用直覺支持度對偶猶豫模糊集合中模糊元間的⊕運算操作對新模型的上下近似信息進行擬合，具體為首先定義上下近似融合的擬合函數，將直覺支持度對偶猶豫模糊粗糙集中的上近似與下近似的隸屬度和非隸屬度分別進行融合，對直覺支持度中的上下近似隸屬度和非隸屬度分別進行融合，由其得分函數公式計算出兩個直覺支持度對偶猶豫模糊數的得分值，由大小進行方案排序。

定義6設U、V為兩個非空有限集合，(U，V，R，A)為直覺支持度對偶猶豫模糊決策系統，對任意x?U，兩個直覺支持度對偶猶豫模糊粗糙集上下近似集合進行擬合函數處理如下：

其中：

定義7（直覺支持度對偶猶豫模糊集得分）設A=(f，g，θ)是任意一個對偶猶豫模糊集，A得分函數和精確函數分別為

其中#f，#g分別是對偶猶豫模糊元中f和g的元素個數，f隸屬度模糊元得分為非隸屬度模糊元得分為直覺模糊支持度。它們的關系可給出如下定義：

1）如果s(A1)>s(A2)，則A1大于A2，表示為A1>A2；

2）如果s(A1)

3）如果s(A1)=s(A2)，則

注意：當直覺支持度中的隸屬度為100%時，得分函數退化為只需考慮對偶猶豫模糊集中隸屬度均值與支持度中的隸屬度乘積運算，反之，退化為非隸屬度均值與非隸屬支持數乘積。其它情況下隸屬度、非隸屬度與支持度均需考慮。顯然這符合現實決策情況。

4.2 直覺支持度對偶猶豫模糊粗糙集多屬性決策方法

算法1基于直覺支持度的對偶猶豫模糊粗糙集多屬性決策過程

輸入 直覺支持度對偶猶豫模糊決策系統(U，V，R，A)

輸出備選方案排序

1）根據定義5 計算直覺支持度對偶猶豫模糊粗糙集上下近似。

2）對1）的結果利用定義6 計算直覺支持度對偶猶豫模糊粗糙集擬合函數。

3）根據定義7 對直覺支持度對偶猶豫模糊集計算得分函數。

4）將3）結果依據得分函數大小排序規則對備選方案進行排序。

5 仿真算例

某部門急欲引進一套艦船動力系統，就系統可用性，固有能力與可靠性，對5 個供應商進行綜合評價。第三方專業評估機構給出影響選擇供應商的3 項因素的評價結果，再由企業內部決策人針對每個屬性給出對應資金支持度評價，構造直覺支持度對偶猶豫模糊矩陣。

表1 評價方案屬性說明

專家已構建評價信息系統(U，V，R，A)，設U={x1，x2，x3，x4，x5} 為5 個待選供應商，V={y1，y2，y3} 為決策準則，使用直覺支持度對偶猶豫模糊集：

表示該部門根據自己需求偏好選擇不同供應商的情況。矩陣A<(0.4，0.5，0.6)，(0.2，0.3，0.4)，(0.4，0.5) > 表示決策者對供應商x1就軟件功能完備性評估時，這一項40%，50%或60%滿足需求，不滿足的程度為20%，30%或40%，公司高層對該屬性資金支持度40%和不支持為50%。

直覺支持度對偶猶豫模糊粗糙多屬性決策方法具體計算過程如下：

1）由定義5 計算直覺支持度對偶猶豫模糊粗糙集上下近似。

2）對1）的結果利用定義6 計算直覺支持度對偶猶豫模糊粗糙集擬合函數Φ(A)結果如下：

3）根據定義7 對直覺支持度對偶猶豫模糊集計算得分函數值及方案排序，如表2所示。

表2 中文獻［13］方法，是在不考慮直覺支持度情況下，使用對偶猶豫模糊集得分函數的運算結果，定義7 采用本文直覺支持度對偶猶豫模糊集得分函數計算得到。從表中計算結果得到以下兩點結論：1）加入直覺支持度以后，排序發生了新的變化，算例中供應商1 利用文獻［13］得分函數計算得分值是0.57，當考慮直覺支持度后，得分值變為0.486，這說明在進行多屬性決策時評價方案的結果受決策方直覺支持度的影響比較大。2）若將直覺支持度提取出來作為單獨屬性A（如資金支持）和其它屬性一起評價，使用文獻［13］對偶猶豫模糊得分函數進行運算時，將會造成屬性A的隸屬和非隸屬度分別被提前均值化，無法體現決策方支持程度的重要性。

6 結語

文中提出的直覺支持度對偶猶豫模糊集，由直覺支持度、對偶猶豫模糊集的隸屬度和非隸屬度三個方面來描述決策問題。對偶猶豫模糊集在考慮直覺支持度情況下，考慮到決策者一方對供應商屬性值評價，同時也有必要考慮另一方決策者（公司高層）對供應商（諸如自身資金）的直覺支持程度的重要性。在不考慮權值（或權值相等）的情況下，原有的對偶猶豫模糊集多屬性決策通常是將多個屬性同等考慮，計算公式多數是將隸屬度及非隸屬度模糊元均值化處理，新模型考慮了決策一方對屬性決策的重要性程度，加強了決策力度。本文將直覺支持度對偶猶豫模糊集與粗糙集結合起來構造直覺支持度對偶猶豫模糊粗糙集，運用解決多屬性決策問題。針對直覺支持度對偶猶豫模糊集數據進行處理時，使用交并集合運算完成了上下近似集合求解，后對各方案的上下近似值由擬合函數計算結果，利用直覺支持度對偶猶豫模糊集得分函數計算結果并依次排序，為直覺支持度對偶猶豫模糊多屬性決策方法理論提供了新的途徑。引進艦船動力系統供應商選擇的例子說明了支持度單獨考慮時的重要性，同時也驗證本文模型的合理與有效性。