基于四元數的直接判決并行恒模均衡算法

李 森徐明瑩 張 璐 鄧明旭

(大連海事大學信息科學技術學院 大連 116026)

1 引言

提高無線通信系統的容量一直是無線通信領域研究的焦點。傳統的極化分集方案是指在發射端和接收端同時使用一對具有正交極化方向的天線，以相同的頻率不同的極化方向傳輸同樣的信息，利用極化方向相互正交的天線發出的信號呈現出的不相關衰落特性來減輕多徑效應，從而在發射機和接收機之間保持可靠的通信鏈路和可接受的服務質量。但是這種傳統的極化分集方案并不能實現對頻譜資源的有效利用，為了進一步提高頻譜利用率，Isaeva等人[1]提出了在相互正交的兩個極化天線上分別傳輸不同信息的4維調制(Quaternion O rthogonal Design,QOD)技術。4維信號在復雜的多徑、反射、折射等傳播過程中其極化方向的變化會導致兩個不同極化方向的接收天線之間產生干擾，因此在應用QOD技術提高通信系統頻譜利用率的同時，也需要設計高效的信號處理算法來實現4維信號的均衡和干擾抑制。

4元數是愛爾蘭數學家Ham ilton在1843年首先提出的，因其本身固有的結構特點成為處理3維或4維信號相關問題的一個重要工具。例如最近的一些研究成果成功地將4元數應用在彩色圖像處理[2]、風速預測[3]和矢量傳感器陣列信號處理[4]等方面。近年來，人們對4元數神經網絡也越來越感興趣[5]，提出了4元數卷積神經網絡和4元數遞歸神經網絡等[6]。最早將4元數應用到自適應濾波算法中的是Took和M andic[7]，他們提出了4元數最小均方誤差(Quaternion Least Mean Square,QLMS)算法。針對4元數不同的梯度求導規則，研究人員又陸續提出了QLMS算法的其他表達形式以及改進算法。例如：Xu等人[8]提出了基于廣義哈密頓實演算(Generalized Ham ilton-Real,GHR)梯度求解規則的QLMS算法；并在此基礎上進一步提出了能夠統一處理4元數圓和非圓信號的自適應濾波寬線性(W idely Linear, W L)QLMS算法[9]。為了解決QLMS算法收斂速度慢的問題，M engü?等人[10]用4元數誤差信號的最小峰度函數代替4元數最小均方誤差函數，提出了4元數最小平均峰度(Quatern ion Least-M ean Kurtosis,QLMK)算法并進一步提出了寬線性4元數最小平均峰度(W idely Linear Quaternion Least-M ean KurtosisW L-QLMK)算法[11]。文獻[12]使用誤差熵作為代價函數，基于信息理論學習技術提出了4元數核最小誤差熵(Quaternion Kernel M inimum Error Entropy,QKMEE)自適應算法，解決了QLMS算法在非高斯脈沖噪聲環境下性能下降的問題。

以上的算法都是針對單輸入單輸出(Single Input Single Output,SISO)系統而言的，文獻[13]探討了利用多對雙極化天線同時發射和接收垂直與水平極化電磁波的雙極化多輸入多輸出(M ultip le Input M u ltip le Output,M IMO)系統，并使用4元數描述了雙極化M IMO系統的信道模型，相較于雙極化SISO傳輸系統，雙極化M IMO系統在信道容量及信號傳輸效率方面有很大的提高。

4元數理論和4元數自適應濾波算法的研究進展為解決4維調制信號的均衡和干擾抑制問題奠定了理論基礎。文獻[14]用4元數有限沖擊響應濾波器來模擬正交極化信道對傳輸信號產生的影響。文獻[15]將2維調制的4QAM(Quadrature Am plitude Modulation,QAM)方案擴展到正交極化天線系統中的QOD的16Q2AM(Quaternion QAM,Q2AM)方案，并利用4元數4個部分之間彼此相互正交的特性將16Q2AM調制信號表示為4元數形式，在此基礎上利用QLMS算法提出了一種基于訓練信號的均衡方案解決了4元數有限沖擊響應信道引起的碼間干擾問題。文獻[16]又進一步提出了一種基于4元數的恒模盲均衡(Quaternion Constan t M odu lus A lgorithm,QCM A)算法。仿真結果表明QLMS和QCMA兩種算法都較好地實現了正交極化信道的均衡。由于QLMS算法是基于訓練信號的，因此會降低通信系統的傳輸效率。QCMA盲均衡算法雖然可以提高通信系統的傳輸效率，但是由于QCMA算法的代價函數與相位無關導致均衡后的星座圖會產生隨機角度的相位偏移，使均衡器輸出的穩態均方誤差(Mean Square Error,MSE)過大。為了解決這個問題，參考在2維調制方案中的并行盲均衡算法[17–20]的思想，本文將直接判決(Direct Decision,DD)[21]的QLMS算法和QCMA算法相結合，提出了一種改進的4元數直接判決并行恒模(QCMA+DDQLMS)算法，利用QCMA算法能使眼圖盡快張開和直接判決的QLMS算法收斂速度快、MSE小的優點，在實現均衡輸出無相位模糊的同時還具有更小的MSE。

2 4元數基本理論和4維調制(QOD)技術

2.1 4元數基本理論

其中，q*代表q的共軛，qa,qb,qc,qd∈R( R表示實數域)。i,j,k是虛部單位向量，它們之間滿足式(2)的關系

4元數在理論上可以理解為對復數的擴展，所以它與復數有著相似的運算法則，但4元數乘法不滿足交換律，即：q1q2=q2q1。不過4元數的共軛滿足qq*=q*q，因此，4元數的模值表達式為：|q|2=qq*。

對于4元數的梯度求導，本文采用基于GHR的運算規則，GHR演算簡化了4元數的乘積規則和鏈式規則，能夠高效計算4元數的導數，GHR導數分為左導數和右導數，本文主要關注左導數，它的求導規則為[8]

其中，f是關于4元數q的4元數函數，?f/?qa,?f/?qb,?f/?qc,?f/?qd是f對q的每個部的偏導。

特殊地，對于共軛的導數為

設g也是關于q的4元數函數，對于4元數函數相乘時的求導GHR演算中引入了一種新的求導規則[9]

其中?f/?q g,?f/?q g*也是一種GHR左導數，但只對某些特殊的函數形式才有定義，具體內容可以參考文獻[9]中給出的表1。

表1 4-抽頭4元數信道脈沖響應

2.2 4維調制(QOD)技術

為了進一步提高頻譜利用率，在雙極化天線的基礎上提出了QOD技術，信號通過QOD技術調制后經由正交極化天線發射將產生4維信號。在2維調制技術中基帶信號可以采用復數表示，例如4QAM調制時基帶信號的實部和虛部可以分別取1或–1，構成4種組合；16QAM調制時基帶信號的實部和虛部可以分別取1,–1,3,–3中的一個值，構成16種組合。在QOD技術中，可以用4元數來表示4維基帶信號[15]。例如：4元數的4個部分別取1或–1，則構成16種不同的組合，稱這種調制方式為16Q2AM；同理，4元數的4個部分分別取1,–1,3,–3中的一個值，則一共有256種組合，稱這種調制方式為256Q2AM。

3 4元數自適應均衡算法

4元數值無線通信系統模型如圖1所示，4維信號s(n)經4元數有限沖擊響應信道h(n)傳輸后在均衡器輸入端和4元數加性噪聲n(n)一起進入到4元數均衡器中。4元數均衡器的輸入信號矢量為x(n)=[x(n),x(n-1),...,x(n-L+1)]T，其中x(n)可以表示為

圖1 4元數值無線通信系統模型

其中*表示卷積運算。均衡器的輸出為

其中，w(n)=[w0(n),w1(n),...,w L-1(n)]T為4元數值的均衡器權矢量，L為均衡器的長度。

3.1 4元數最小均方誤差(QLMS)算法

QLMS算法的代價函數為

其中，d(n)為均衡器期望輸出的4維信號，也就是已知的訓練序列。

QLMS算法權矢量w(n)的更新公式為[14]

其中，μ＞0為QLMS算法迭代步長。

3.2 4元數恒模盲均衡(QCMA)算法

QCMA算法的代價函數為

迭代步長大小決定了每次更新后均衡器抽頭系數的變化程度，進而影響算法的收斂速度和穩定性。具體而言，在一定范圍內，算法的迭代步長越大，抽頭系數更新的幅度就越大，算法收斂速度也會更快。然而，如果步長過大則可能導致算法不穩定，甚至出現震蕩現象。相反，如果步長過小則算法收斂速度會變慢。因此需要在保證收斂的前提下選擇合適的迭代步長。

3.3 4元數直接判決并行恒模均衡算法

QLMS算法在實際應用中，必須有訓練序列才能完成均衡，會降低通信系統的傳輸效率。QCMA盲均衡算法雖然不需要訓練序列，但是它的均衡結果會產生隨機角度的相位偏移，導致M SE較大。為了克服QCMA算法穩態誤差大和QLMS算法需要訓練序列的問題，本文將基于判決引導的最小均方誤差(Decision-Directed QLMS,DD-QLMS)算法與QCMA算法相結合提出了一種4元數直接判決并行恒模均衡(QCM A+DD-QLM S)算法，首先利用QCMA算法張開眼圖，然后利用DD-QLMS算法進一步減小MSE。4元數直接判決并行恒模均衡器的原理圖如圖2所示，該方案由一個QCMA均衡器和一個同時工作的D D-Q L M S 均衡器組成，設wd(n)=[wd,0(n),wd,1(n),...,wd,L-1(n)]T為D DQLMS算法的權矢量，則直接判決并行恒模均衡器的權矢量可以表示為w(n)=wc(n)+wd(n)，均衡器的輸出為

其中，QCMA算法權矢量wc(n)的更新方程按式(11)計算。

μd＞0 為DD-Q LM S算法迭代步長。由于DDQLMS算法中的期望信號為并行均衡器輸出的判決信號，為了保證算法的有效性在QCMA+DD-QLMS并行算法中上述權矢量的更新過程只有在利用QCMA算法將眼圖打開后才工作。定義利用QCMA算法進行權矢量更新后整個均衡器的輸出為

通過判斷QCMA算法權矢量更新前后均衡器的判決輸出是否相同來判斷眼圖是否打開，即

如果眼圖沒有打開則繼續利用QCMA算法來打開眼圖，DD-QLMS算法不發揮作用；如果眼圖已經打開則進一步利用DD-QLMS算法減小均衡器的輸出誤差。因此最終在QCMA+DD-QLMS并行算法中DD-QLMS算法的權矢量更新公式為

4 仿真實驗

設信道脈沖響應h(n)為4抽頭的4元數FIR濾波器，其系數的具體取值如表1所示[16]。

MSE是衡量盲均衡算法的一個重要性能指標，MSE 的定義為M SE=其中m代表M en tecar lo運行次數，在本文中取m=300。由于4維調制信號有4維坐標，無法直接畫出4維調制信號的星座圖，所以本文中以2維星座圖或3維星座圖的形式來表示4維調制信號。當以2維星座圖的形式來表示4維調制信號時共有兩個2維星座圖，1個2維星座圖表示i和實部，1個2維星座圖表示j和k部。當以3維星座圖的形式來表示4維調制信號時共有4張圖，每張圖中包括4元數4個部中的任意3個部。

實驗1輸入信號為16Q2AM信號，噪聲采用4元數值加性高斯白噪聲，信噪比設為25 dB，均衡器長度L=15，采用中心抽頭系數初始化的方法。QCMA算法的迭代步長設為μc=0.001 3[16]，QCMA+DDQLMS算法的迭代步長首先設為情形1(C1)中的參數：μc=0.001 3,μd=0.001 2。對QCMA和QCMA+DD-QLMS算法進行實驗仿真。均衡前的星座圖如圖3所示，各個極化方向上的信號已經完全無法分辨。圖4和圖5分別給出了利用QCM A和QCM A+DDQLMS算法均衡后的2維星座圖，圖6和圖7分別給出了利用QCMA和QCMA+DD-QLMS算法均衡后3維星座圖。從均衡后的星座圖中可以看出，由于QCMA算法的代價函數中只考慮了信號的模值，而沒有考慮到信號的相位信息，因此其均衡后的星座圖出現了明顯的相位偏移現象，而QCMA+DDQLMS并行算法中先用QCMA算法來張開眼圖，然后在DD-QLMS算法中利用并行均衡器輸出的直接判決信號作為參考信號找出輸出信號中與之最接近的點，既考慮了幅值又考慮了相位，因此均衡后的星座圖沒有出現相位模糊。

圖3 16Q2AM調制時均衡前3維星座圖

圖4 16Q2AM 調制時QCMA算法均衡后2維星座圖

圖5 16Q2AM調制時QCMA+DD-QLMS算法均衡后2維星座圖

圖6 16Q2AM 調制時QCMA算法均衡后3維星座圖

為了驗證步長對算法收斂性及穩態性能的影響，在圖8中除了給出上述兩種情況下的MSE收斂曲線還增加了QCM A+DD-QLM S算法在情形2(C2)μc=0.002,μd=0.001 2時的收斂曲線。從圖8的對比結果圖可看出，對比QCMA算法，QCMA+DD-QLMS算法具有更小的穩態MSE。而對于具有不同迭代步長的QCMA+DD-QLMS算法，迭代步長與算法的收斂速度是呈正向關系的，即迭代步長越大算法的收斂速度越快；而迭代步長與算法的穩態性能是呈反向關系的，即迭代步長越大算法的穩態性能越差、穩態MSE越大。

圖8 16Q2AM調制時QCMA和QCMA+DD-QLMS算法MSE收斂曲線對比圖

實驗2輸入信號為256Q2AM信號，噪聲同樣采用4元加性高斯白噪聲，信噪比設為45 dB，兩個算法的迭代步長分別設為μc=0.000 005,μd=0.000 08，均衡器長度L=15，采用中心抽頭系數初始化的方法，對QCMA算法和QCMA+DD-QLMS進行實驗仿真。均衡前的星座圖如圖9所示，各個極化方向上的信號同樣也是完全無法分辨。圖10和圖11分別給出了利用QCMA和QCMA+DD-QLMS算法均衡后的2維星座圖，圖12和圖13分別給出了利用QCMA和QCM A+DD-QLM S算法均衡后的3維星座圖，圖14給出了兩種算法的MSE收斂曲線對比圖。

圖10 256Q2AM調制時QCMA算法均衡后2維星座圖

圖12 256Q2AM調制時QCMA算法均衡后3維星座圖

圖13 256Q2AM調制時QCMA+DD-QLMS算法均衡后3維星座圖

圖14 256Q2AM調制時QCMA和QCMA+DD-QLMS算法MSE收斂曲線對比圖

從仿真結果的均衡后星座圖可看出，兩種算法均完成了均衡任務，但是QCMA算法均衡后的星座圖出現明顯的相位偏移現象，收斂后的MSE也較大，而QCMA+DD-QLMS算法均衡后的信號都聚集在各自星座點的周圍，并沒有出現相位模糊的現象且得到了更小的穩態MSE。但QCMA+DDQLMS算法是將QCMA算法與DD-QLMS算法并行操作，很顯然它的計算復雜度要高于QCMA算法。

5 結論

QCM A算法雖然實現簡單，計算復雜度低，但是均衡后會出現相位模糊現象且MSE較大。為了解決這個問題，本文提出一種基于QCMA算法和DD-QLM S算法相結合的QCMA+DD-QLMS并行算法。所提出的算法充分利用了QCMA算法能較好地打開眼圖的特性和DD-QLMS算法MSE小的優點。對QCMA和QCMA+DD-QLMS算法進行了仿真驗證，從均衡后的星座圖及算法的M SE收斂曲線來看，雖然QCMA+DD-QLMS算法較QCMA算法的計算復雜度高，但是QCMA+DD-QLMS算法很好地解決了QCMA算法的相位模糊問題，使得均衡后的輸出具有更小的MSE。