水平集高斯過程的非星凸形擴展目標跟蹤算法

陳 輝 曾文愛 連 峰 韓崇昭

①(蘭州理工大學電氣工程與信息工程學院 蘭州 730050)

②(西安交通大學自動化科學與工程學院 西安 710049)

1 引言

隨著高分辨率傳感器技術的發展，目標檢測可占據傳感器的多個分辨率單元，繼而傳感器可接收由目標產生的多個量測。一個采樣周期內產生多個量測的目標稱為擴展目標，相對應的跟蹤問題稱為擴展目標跟蹤[1–4](Extended Target Tracking,ETT)。為了更全面地識別與認知高分辨率目標，ETT問題得到國內外學者的廣泛研究并且取得了一些優秀的科研成果。這些成果的核心關注點著眼于目標形狀特征的估計[5–8]，而更為科學的量測源建模方法是研究問題的關鍵。此外，群智協同與集群聯合作戰使得群目標跟蹤[9–12]問題頗受矚目。如果把群目標看作一個整體而不區分個體目標屬性，群目標的跟蹤方法則與擴展目標跟蹤非常相似，其所呈現的外部輪廓特征及其時空演變就是問題研究的焦點所在。

在對擴展目標量測源建模[13,14]的研究中，目標范圍可以建模為圓、橢圓或者其他簡單的幾何形狀[15–18]。目前，采用最廣泛的形狀模型是由Koch[19]提出的隨機矩陣模型(Random M atrix M odel,RMM)，但由于形狀簡單、估計難度較小、對信息的利用率也不大，無法對擴展目標的細節進行精確描述。因此，對于目標辨識度要求較高的時候，橢圓建模就并不再適用。而探究更為細節化的不規則形狀建模方法，便成了現代高分率傳感器目標跟蹤系統的研究重點。已有的描述擴展目標輪廓細節的方法大體上有兩種：一種是Lan等人[20,21]提出的采用多個橢圓近似其實際形狀，直觀上利用個數不同、大小不一的多個橢圓去刻畫目標輪廓上的局部細節。另一種是Baum等人[22]提出的應用于星凸不規則形狀擴展目標跟蹤的隨機超曲面模型(Random Hypersurface M odel,RHM)。RHM利用徑向函數通過傅里葉級數展開對擴展目標形狀進行描述。為了避免在高階傅里葉系數的情況下描述目標形狀的變化，W ahlstr?m和?zkan[23]在RHM的基礎上提出一種基于擴展卡爾曼濾波的高斯過程(Gaussian Process,GP)模型。但對于非星凸不規則形狀擴展目標，上述RHM和GP模型無法進一步對目標輪廓細節進行精確估計。因此，Zea等人[24]在RHM的基礎上提出了一種新的模型，稱為水平集隨機超曲面模型(Level-Set RHM)。

Level-Set RHM利用給定形狀函數的水平集，通過多邊形方法對形狀的內部進行建模，根據推導得到一個非線性量測方程，再使用標準高斯狀態估計器跟蹤擴展目標。水平集[25,26]是一種基于能量泛函的圖像分割方法，應用水平集可以實現曲線演化。對于RHM無法描述非星凸形目標的細節，Level-Set RHM能夠很好地精確估計。GP是一個隨機過程，通過選擇一個適當的核函數，結合訓練數據來學習一個未知函數。對于解決高維數、非線性等問題，GP已被證明是一個非常理想的選擇。而不規則形狀擴展目標的狀態向量與量測之間的關系是高度非線性的，故GP可以很好地用來估計高度非線性程度的目標[27–29]。因此，在Level-Set RHM的基礎上，利用GP去求解更為復雜的量測過程，能夠提高非星凸形形狀估計的魯棒性和準確性。

本文的主要創新點是針對非星凸形擴展目標跟蹤提出了水平集高斯過程(Level-Set GP)模型。利用水平集將擴展目標建模為多邊形，通過GP學習模型輸入與輸出的非線性映射關系，再進一步推導非線性量測方程，然后，對非線性量測方程采用無跡卡爾曼濾波器(Unscented Kalman Filter,UKF)[30,31]進行形狀信息更新，使擴展目標形狀的估計精度得以提高。最后，利用面積誤差作為非星凸形擴展目標形狀估計的評價指標。通過對非星凸形擴展目標進行實驗仿真，驗證了本文的有效性與可行性，且Level-Set GP對較為復雜的不規則形狀建模問題的適應性更強，更能精確地描述目標形狀細節。

2 基本理論

2.1 量測模型

假設目標量測是相互獨立的，且傳感器數學模型可有效建立擴展目標邊界或表面的量測源分布，即擴展目標在k時刻產生的nk個量測來源于形狀內的量測源集合。量測集Y k中的任意一個量測yk,l在笛卡兒坐標系中表示一個位置，借助有效的信息融合技術給出了擴展目標的形狀信息。通過傳感器模型所觀測到的量測一般受加性噪聲污染，因此量測方程可表示為

其中，w k,l表示均值為0，協方差為Cw的高斯白噪聲。其中，協方差Cw由傳感器模型確定。

2.2 動態輪廓模型

量測不僅僅從擴展目標形狀邊界生成，也從目標表面生成。本文跟蹤的目標形狀是單連通區域的，即目標形狀是封閉且不包含任何小孔，因此目標形狀可以解釋為一個填充形狀。在目標運動模型中，目標狀態向量xk除了包括形狀參數，可對其他運動參數(如速度或加速度)進行擴維。

動態輪廓模型描述了擴展目標狀態x k在k時刻到k+1時刻的演化過程。擴展目標狀態隨時間變化而改變，其在連續時間步的演化服從下述模型

其中，ak(·)為n維向量函數，n由形狀頂點決定，v k表示均值為0，協方差為Cv的高斯白噪聲。

3 水平集隨機超曲面模型

3.1 非星凸形擴展目標

星凸形擴展目標的定義為擴展目標中至少存在任意一點m與邊界連接的線段仍屬于該目標，則稱這樣的目標為星凸形擴展目標。反之，若不存在這樣的點，則稱該目標為非星凸形擴展目標。觀察圖1的 Z 形[圖1(a)]和I 形[圖1(b)]，形狀內明顯不存在點m，所以 Z形和I 形為非星凸形狀。星形[圖1(c)]顯然不是一個凸的形狀，但形狀中存在任意點m，所以星形是一個星凸形狀。

圖1 不規則擴展目標形狀

星凸形擴展目標可以通過將其邊界向點m收縮來進行描述，但非星凸形擴展目標不存在這樣的點，所以RHM和GP模型并不適用于跟蹤非星凸形擴展目標，跟蹤效果如圖2所示。因此，為了解決非星凸形擴展目標的細節跟蹤問題，Zea等人提出了Level-Set RHM。

圖2 非星凸形擴展目標跟蹤

圖3 求邊界形狀函數最大值過程

3.2 邊界形狀函數

形狀函數的意義在于，在不需要生成顯式概率模型的情況下對形狀參數進行估計，進而描述目標形狀。最常用的形狀函數是符號距離函數。

3.3 基于多邊形應用的邊界形狀函數計算

實現Level-Set RHM最為常見的方法是使用多邊形表示2維形狀。即形狀參數用n多邊形的各頂點表示，記為，bk表示多邊形各頂點。在多邊形中，邊界形狀函數一般使用帶符號的馬氏距離計算，記為符號距離函數。

當j=n時，由于形狀是封閉的，故bk,n+1等價于b k,1，依此類推。最后，根據馬氏距離公式計算點z? 到多邊形的最小距離

因此，符號距離函數可記為

3.4 正則化

對于未知形狀的目標跟蹤，不適當的初始化存在一定概率導致跟蹤失敗。為了解決這一問題，使用活動輪廓模型的思想。活動輪廓中最小化所謂的能量，對應正則化內能的概念。在Level-Set RHM中，內部能量最小化的目的是使形狀邊界更加光滑和平坦，降低噪聲和過擬合的影響，并補償不正當初始化的后果。對于多邊形，內能最小化實現可表示為

其中，正則化因子c k∈[0,1]。bk,j及其相鄰頂點的演化是線性的。因此，它可以使用向量Ar(c k)進行建模，其形式為

其中，Ar(c k)=[c k,(1-2c k),c k]。

4 水平集高斯過程模型

4.1 高斯過程

GP是一個反映輸入與輸出映射關系的隨機過程，它是連續域內一個函數輸入為u，輸出為均值函數μ(u) 和協方差函數k(u,u′)的分布。即GP表達形式可由函數f(u)的均值函數μ(u)和協方差函數k(u,u′)唯一決定，其中，

因此，高斯過程可表示為

k(u,u′)f(u)f(u′)

協方差函數 反映了函數 和函數 之間的相關性。采用高斯過程進行建模時，計算其協方差函數是關鍵。考慮到模型的輸入為角度，故選擇周期性核函數，即

若u和u′彼此相距較近，則對應的f(u)和f(u′)之間相關性較高。其中，表示信號先驗方差，l表示函數長度因子，表示均值函數方差。

在一個隨機過程中，任意兩個或多個隨機變量服從多元高斯分布，這個隨機過程被稱為高斯過程。即對于任意有限個輸入u=[u1,u2,...,u N]T，其對應的輸出f(u)=[f(u1),f(u2),...,f(u N)]T服從多元高斯概率分布，可表示為

其中，均值函數μ和協方差函數K分別記為

4.2 高斯過程回歸

高斯過程回歸主要用于結合訓練集學習未知函數。回歸任務的本質是通過訓練集學習輸入與輸出的映射關系，對新輸入預測其相對應的函數值。

考慮模型

由GPR的本質可知，對于服從高斯分布的函數f(u k)，通過學習輸入為u=[u1,u2,...,u N]T及其對應量測值之間的映射關系，對新的輸入預測其對應的函數值。根據式(16)，量測值yr和函數值f的聯合高斯分布可表示為

其中，?表示克羅內克積，協方差函數表示為

以高斯隨機變量作為條件的分布仍是高斯分布，故根據式(20)的聯合概率分布p(yr,f)，條件概率分布可表示為

其中，

在目標跟蹤的實際應用中，量測數據不是批量獲得的，因此使用貝葉斯公式遞歸更新后驗概率分布

可得遞歸

假設f與過去時刻的量測距離值y1r:k-1獨立，即

4.3 水平集高斯過程模型

擴展目標形狀被假設為是封閉的。從這個假設可知，邊界形狀函數必有一個最大值，稱為邊界函數最大值。根據符號距離函數

通過下式對狀態向量和協方差矩陣進行更新

Level-Set GP模型算法如算法1所示。

4.4 性能評價

為了客觀地評估文中所提算法對非星凸形擴展目標跟蹤的性能，根據文獻[24]提出的面積差，設這兩個形狀的對稱差記為

即兩個形狀的并集減去它們的交集。對對稱差進行歸一化，面積差?(k)可表示為

算法1 Level-Set GP模型算法部分偽碼

根據式(54)可知，對稱差越小，面積差越小，模型性能越好。

對于不規則群目標的目標形狀SG的計算，首先將從點區域按分割角度劃分為N個子區域，再取每個子區域最遠的點，將每個子區域最遠的小圓點按順序連接形成多邊形，最后計算多邊形面積從而得到不規則群目標的真實面積。

面積差計算如算法2所示。

5 仿真實驗

本文通過構造非星凸形擴展目標，使用Level-Set GP對目標形狀進行估計，驗證所提算法的有效性和準確性。在非星凸形目標跟蹤實驗中，Z型是最具代表性的例子。因其具有顯著的非星凸形特征，Z型被作為典型的圖形案例應用在非星凸形擴展目標的跟蹤應用中。因此本文主要以Z形目標作為示例。

5.1 場景構建

在仿真實驗中，設置擴展目標在每個采樣周期產生的量測數服從λ=10的泊松分布，采樣周期為T=1 s；先驗狀態協方差為Cv=10-3·I n，量測噪聲協方差矩陣為Cw=10-3·I n的高斯白噪聲，其中In為n階單位陣，n由多邊形邊數決定；尺度因子服從均值為0.3、方差為0.8的高斯分布；形狀先驗參數為外接圓半徑為2m的多邊形。

5.2 實驗與分析

實驗1算法可行性驗證。根據仿真場景設置的參數，驗證Level-Set GP模型的可行性，并且與傳統算法Level-Set RHM跟蹤效果進行對比。

分析1非星凸形擴展目標跟蹤效果如圖4所示。通過鑒別輪廓的跟蹤細節，本文所提方法對于不規則形狀的估計更貼近于目標的真實形狀，驗證了Level-Set GP模型比傳統模型更有效且更準確地逼近非星凸形不規則輪廓。進一步，基于100次獨立的M onte Carlo實驗，根據面積誤差對形狀估計的精度進行分析，如圖5所示，Level-Set GP模型最終收斂的面積誤差較其他兩種模型相比要更小，即對形狀估計的效果更好。隨著時間的增長，目標的量測信息逐漸增加，對擴展目標形狀估計也越精確。通過與傳統算法的對比，本文所提算法的優越性和有效性得以充分證明。

圖4 不同形狀的跟蹤效果

圖5 不同形狀的面積誤差

實驗2抗噪穩健性測試。根據仿真場景設置的參數，對比不同噪聲下的跟蹤效果。設置不同的量測噪聲協方差矩陣分別為

分析2不同噪聲下的面積誤差如圖6所示，對不同噪聲下的面積誤差進行分析。對于低噪聲，形狀在k=600后趨于收斂，面積誤差約為0.25和0.3。對于中等噪聲和高噪聲，誤差最終收斂于0.3到0.4之間。驗證了本文所提算法在不同的量測噪聲條件下，依然能很好地跟蹤非星凸形不規則擴展目標，算法的抗噪性能和穩健性得以驗證。

圖6 不同噪聲下的面積誤差

實驗3運動目標跟蹤測試。在仿真場景的參數基礎上，對目標跟蹤25個時刻，以運動參數為xkin=[10,10]Tm/s的速度做勻速直線運動，驗證Level-Set GP模型跟蹤動態擴展目標的可行性，并與傳統算法的跟蹤效果進行對比。

分析3 動態目標跟蹤效果如圖7所示，Level-Set GP模型不僅能夠跟蹤靜態擴展目標，也能對運動中的擴展目標進行跟蹤。由于動態目標在跟蹤過程中的不斷變化，與靜態目標相比具有更大的挑戰性。但根據局部輪廓放大的細節，本文所提算法相對于傳統算法對動態目標的輪廓跟蹤仍然更為精確。

圖7 動態目標跟蹤

為了對本文所提算法和傳統算法的精確度進行比較，基于100次獨立的Monte Carlo實驗，面積誤差結果如圖8所示。通過分析得出，在動態目標跟蹤過程中，Level-Set GP的面積誤差最終收斂于0.24，Level-Set RHM收斂于0.32，而且整體運動過程中，本文算法的性能都要好于傳統算法，驗證了Level-Set GP模型在動態跟蹤中的優越性。

圖8 不同時刻動態目標的面積誤差

實驗4復雜的群目標跟蹤測試。在仿真場景的參數基礎上，對目標跟蹤25個時刻，以運動參數為xkin=[20,10]Tm/s的速度做勻速直線運動，通過與傳統算法的跟蹤效果進行對比，驗證Level-Set GP模型跟蹤群目標的可行性與優越性。

分析4群目標跟蹤效果如圖9所示。將群目標的整體輪廓作為研究對象，一個小圓點表示一個子目標，多個小圓點組合構成了群目標，群目標由21個小圓點組成。通過放大不規則輪廓的估計細節，本文算法能更準確地逼近群目標的外圍輪廓，驗證了Level-Set GP模型對不規則群目標能進行有效估計。根據圖10面積誤差的收斂程度分析可知，Level-Set GP模型跟蹤效果較傳統算法好，本文算法對不規則群目標優越的跟蹤性能得以充分驗證。

圖9 群目標跟蹤

圖10 群目標面積誤差

6 結束語

本文的創新點是針對更難以跟蹤的一類稱為非星凸形不規則形狀擴展目標，提出了一種新的形狀跟蹤模型。該算法以提高形狀估計的精確度為目的，以GP作為基礎，從雷達接收到的量測數據中學習輸入與輸出的映射關系，便于求得邊界函數最大值。以面積誤差作為形狀估計性能的評價指標，將本文提出的算法與傳統算法進行比較，通過仿真實驗可以看出，Level-Set GP模型跟蹤非星凸形不規則擴展目標具有很好的穩健性。與傳統算法相比，提高了模型的準確性和魯棒性。