一種基于迭代自適應的離網格DOA估計方法

揭允康 張 雯 李 想 葉曉東 王 昊 陶詩飛*

①(南京理工大學電子工程與光電技術學院 南京 210094)

②(北方電子設備研究所 北京 100191)

1 引言

波達方向估計(Direction O f A rrival,DOA)在雷達、通信、電子對抗、生物醫學等領域有著廣泛的應用。在現有的DOA估計方法中，基于稀疏重構的估計算法適用于非均勻陣列，能估計出比陣元數更多的信源個數，并且在低信噪比、低快拍、相干信源條件下具有優良的性能，因此得到了廣大學者的關注[1–20]。

基于稀疏重構的DOA估計方法需要選擇一個稀疏度量，在預定義的離散字典網格上進行信號的重構。一些方法利用正則化系數綜合重構精度與稀疏程度，這往往會導致估計結果精度無法保證[3,4]。為了消除正則化系數的干擾，一系列無參數的估計方法被提出，如基于稀疏迭代的協方差估計(SParse Iterative Covariance based Estim ation,SPICE)、迭代自適應(Iterative Adaptive Approach,IAA)、基于似然的稀疏參數估計(LIkelihood-based Estimation of Sparse parameters,LIKES)等[5–7]，這些方法能在預定義的網格上重構信號，然而實際上待估計信源的位置往往不會正好定位在網格上，導致估計結果誤差較大。

為了解決網格與信源位置不匹配的問題，一類方法是提高網格的密集度，但這會導致算法復雜度急劇上升[8]；另一類方法是自適應的網格細化方法，徐文先等人[9]在IAA算法的估計的基礎上細化網格，進行自適應的字典校正，能準確估計出偏離網格的信源角度，但是細化網格會帶來較大運算負擔，并且當網格間的相關度過高時，根據有限等距性質(Restricted Isom etry Property,RIP)準則，此時算法的估計能力反而大大降低[10]。針對該問題，近年來國內外學者提出了基于偏移量的離網格稀疏重構估計方法[11–15]。G retsistas等人[11]基于正交匹配的原則提出了同步正交匹配追蹤(Sim u ltaneous Orthogonal M atching Pursuit,SOMP)方法，交替優化信號分量和網格偏移量，實現了離網格的DOA估計，但是其計算量過高，并且部分情況下精度無法保證；Yang等人[12]提出了一種離網稀疏貝葉斯推理(O ff-G rid Sparse Bayesian In ference,OGSBI)的方法。在OGSBI方法基礎上，一系列基于貝葉斯框架內的估計算法被提出，如W u等人[13]提出的基于期望最大化的改進稀疏貝葉斯推理方法等。然而上述方法大多涉及非凸優化，只能保證局部收斂，并且具有較大計算復雜度。M a等人[14]提出了一種基于迭代相位偏移校正的估計方法(Iterative Phase O ffset Correction,IPOC)，該方法利用虛擬陣的等效單快拍接收數據結構進行DOA估計，應用在稀疏陣上能在增大陣列自由度的同時減小算法復雜度，但應用在均勻陣時估計精度受限；王洪雁等人[15]提出了一種基于協方差矩陣重構的離網格DOA方法，但其功率求解涉及凸優化問題，具有較高的計算復雜度。與此同時，一類基于原子范數最小化及Toep litz矩陣范德蒙德分解的無網格方法也被提出[16–18]，但是這類方法僅適用于均勻陣列。對于非均勻陣列，Zhou等人[19,20]提出了基于陣元內插的Toep litz矩陣重構方法，并在互質陣列上取得了良好的效果。然而陣元內插不可避免地帶來額外的估計誤差，并且半定規劃問題求解具有較高的計算復雜度。

針對上述算法存在的問題，本文將離網格的思想引入到IAA算法中，并對IAA算法功率計算進行修正，提出了一種基于修正IAA功率譜的離網格DOA估計算法(O ff-Grid Iterative Adaptive Approach,OGIAA)。該算法可以解決信源位置與網格不匹配等問題，并且能夠進行全局尋優以實現高精度的DOA估計。算法可以分為基于修正IAA算法功率譜的粗估計和基于最小平方誤差準則的偏移量求解兩個部分。首先，對IAA方法求出的功率譜進行修正，得到預定義網格上更加準確的信號功率分量和噪聲功率分量；之后，基于最小平方誤差準則構建代價函數，利用泰勒二次展開并最小化代價函數得到初始偏移量；最后，交替優化功率分量和網格偏移量，直至滿足收斂條件。仿真驗證了算法的有效性。

2 基于修正IAA功率譜算法的粗估計

本文分別在第2節和第3節推導了OGIAA算法的兩個步驟。首先，通過修正IAA算法求出的空域功率譜得到信號功率和波達角方向的粗估計結果。假設存在一個M元均勻線陣，各個陣元全向同性且陣元間距為d，遠場處有K個信號s k以角度θk抵達線陣，則陣列接收到的窄帶信號數據可以表示為

其中，N是快拍數，A是大小為M×K的導向矢量矩陣，A=(a(θ1),a(θ2),...,a(θK))，在遠場條 件下，導向矢量a(θk)=e-j2πm dsinθk/λ，則有限快拍下的信號協方差矩陣可以表示為

其中，P=diag(p)，p表示K個信源的功率分量組成的向量。此外，除了期望信號s k之外的干擾和噪聲的協方差矩陣Q(θk)可以表示為

接下來根據基于加權最小二乘法(W eigh ted Least Squares,W LS)的代價函數JWLS[21]得到波達角方向為θk的信號分量s k

最小化式(4)得到

根據式(3)和矩陣求逆定理，式(5)可以進一步化簡為

要求出信號在空域上的功率譜，首先基于等角度劃分的原則在空間域上設置過完備表示的離散網格Φ=(?1,?2,...,?Q)，其中Q?M ＞K，網格角度對應的導向矢量矩陣為=(a(?1),a(?2),...,a(?Q))，根據式(1)的信號模型，對每個網格點對應的功率分量進行初始估計

如果信源數已知，則可以直接根據功率譜得到對應的功率譜峰值分量和對應的粗估計結果。如果信源數未知，則可以根據貝葉斯信息準則(Bayesian Information Criterion,BIC)[22]進行粗估計。

其中，η是剩余的峰值數，j是功率譜峰值對應的網格位置，J是選中網格的集合。

假設附加噪聲e(n)為高斯白噪聲，文獻[7]直接利用求解噪聲功率，但是這一表達式得到的噪聲功率估計結果并不準確。本文利用IAA求解過程中得到的信號分量估計出噪聲分量

3 基于最小平方誤差準則的偏移量求解

接下來求解網格偏移量得到精細估計的結果。首先對協方差矩陣R進行向量化

其中，real(·)表示取括號內復數變量的實部，在目標函數F中對第k個信源的粗估計結果進行2階泰勒展開，得到新的代價函數Fˉ

其中，δk是的偏移量，為了求出代價函數的最小值，將Fˉ 對偏移量δk求導，并令導數為零，解得

求解K次得到K個偏移量，則第1次DOA估計的結果為

將第1次估計的結果代回IAA算法中，重復式(7)—式(10)，求出新的信號功率分量和噪聲功率分量，再代入式(15)—式(19)中求出新的偏移量。交替優化功率和偏移量，假設循環L次后滿足收斂條件，結束循環。最終估計結果為

綜上所述，算法具體的步驟如下：

步驟1根據式(7)—式(10)的IAA算法得到參數粗估計的結果，并且根據式(13)對功率譜進行修正，得到修正后的信號功率。

步驟2基于最小平方誤差準則，根據粗估計的結果設置代價函數，按式(15)—式(19)最小化得到偏移量，根據式(20)能得到精細估計結果

步驟3將步驟2的估計結果代回IAA算法中，更新功率譜并修正，得到

步驟5重復步驟3、步驟4，交替優化功率分量和偏移量，當滿足≤β或達到最大迭代次數imax時結束循環，得到最終的估計結果

4 仿真驗證

本節首先研究OGIAA算法中的一些預定義參數，如字典間隔、最大迭代次數的取值對估計結果的影響。之后分別在均勻陣與互質陣上進行仿真實驗，通過對比SOMP[10],OGSBI[11]和IPOC[14]等算法，驗證本文提出的OGIAA算法的有效性。

仿真1為了探究最大迭代次數和字典網格間隔對算法估計結果的影響，設置陣元數M=10，快拍數N=100，待估計信源個數K=5，波達角方向分別為40.80|°,17.7|8°,5.25°,–28.28°,–51.30°，假設估計結果為估計正確，在每個條件下進行T=200次蒙特卡羅實驗。不同迭代次數imax和不同網格間隔r在信噪比–10～30 dB下的估計正確率分別如圖1(a)、圖1(b)所示。

圖1 不同參數條件下的估計正確率

由圖1可以看到，圖1(a)中除了1次迭代的條件下精度明顯降低，在兩次迭代后幾乎都能達到最高精度，可見本文所提算法具有較快的收斂速度。圖1(b)中除了網格間隔為4°時在低信噪比情況下估計精度略有降低，其余網格間隔下的估計精度幾乎一致，可以看出預定義字典間隔的設置對所提算法估計精度影響有限。綜上所述，在計算量受限的場合，減少最大迭代次數或者增大網格間隔都是一種減少算法運算量的有效選擇。

仿真2假設存在陣元數M=10的均勻陣列，待估計信源個數K=2，信源波達角分別為θ1=40.8°,θ2=–51.3°，信噪比SNR=10 dB，快拍數N=100，設置字典離散網格間隔為r=2°，圖2為本文所提OGIAA算法與IAA,SOMP,OGSBI和IPOC算法的空域譜對比結果。

圖2 不同算法在空域網格上的幅度對比圖

由圖2放大的部分可以看到，由于待估計信源角度不會正好定位在網格上，所以IAA算法峰值對應的網格無法正確估計出信源角度，而其余4種離網格估計方法都能得到準確的估計結果。為了進一步說明本文所提算法的有效性，將算法估計精度用均方根誤差(Root Mean Squared Error,RMSE)表示

保持其他條件不變，在–10～30 dB的范圍內改變信噪比的取值，并令快拍數N分別為200和20，在每個條件下進行T=200次蒙特卡羅實驗，則不同算法的估計精度為隨信噪比的變化如圖3所示。

圖3 不同快拍數和信噪比下的算法估計精度

由圖3(a)可以看到，當N=200時，由于網格不匹配的原因，IAA算法估計精度最低，而OGSBI算法和SOM P算法無法做到全局尋優，導致精度受限。IPOC算法對均勻陣列的虛擬陣進行處理，雖然減少了計算量，但是估計精度受到限制。MUSIC算法雖然在高信噪比下具有較高的估計精度，然而在低信噪比下精度不足。相比之下，本文提出的OGIAA算法精度最高，并且能接近克拉默-拉奧界(Cram er-Rao Bound,CRB)。由圖3(b)可以看到，當N=20時，OGSBI算法和MUSIC算法在高信噪比下能取得較好的效果，但是在低信噪比下精度就無法保證，而本文所提算法在不同信噪比和快拍數下都具有更高的估計精度，并且在高信噪比下估計精度能接近CRB。

仿真3互質陣列由兩個陣元數互質的子陣組成，利用2階相關矩陣向量化，并刪去其中重復的元素，觀察剩余數據的結構，其對應的虛擬陣列具有更大的陣列口徑和高達O(M1M2)的陣列自由度，因此在近幾年，基于互質陣列擴展虛擬陣列的信號處理技術得到了廣大學者的關注。為了說明本文算法應用在高自由度的稀疏陣上仍然具有較高的估計精度，如圖4所示，假設存在一個M1=3,M2=5的互質陣列，總陣元個數M=7，利用2階相關矩陣向量化，可以得到陣元數=21的中間連續，兩端稀疏的擴展虛擬陣列。

圖4 互質陣列結構

設置信噪比SNR=20 dB，快拍數N=200，待估計信源個數K=9，其波達角方向在θ1=–60.3°，θ2=60.8°間均勻分布。圖5為利用虛擬陣列單快拍數據進行DOA估計的結果。可以看到，對于總陣元數為7的互質陣來說，利用本文算法對其虛擬陣列的單快拍接收數據進行DOA估計，可以準確估計出比陣元數更多的信源個數。

為了進一步說明本文算法在互質陣DOA估計上的優勢，假設待估計信源波達角為40.8°,–51.3°，保持其他條件不變，分別改變信噪比和快拍數的取值，每個條件下進行T=200次蒙特卡羅實驗，不同算法估計精度隨信噪比和快拍數的變化如圖6所示。由圖6(a)可以看到，當N=200時，對于虛擬陣列等效單快拍接數據，SOMP和OGSBI算法無法做到全局尋優，而IPOC算法和OGIAA算法具有更高的估計精度。MUSIC算法由于只能對虛擬陣列中間連續陣元進行平滑處理，導致兩端稀疏部分陣元的接收數據丟失，因此算法精度受限。由圖6(b)可以看到，當N=20時，IPOC算法在低信噪比情況下精度無法保證。相比之下，OGIAA算法仍然具有較高的估計精度。綜上所述，在不同信噪比和快拍數下，本文所提OGIAA算法能做到全局尋優，具有更強的估計性能。

圖6 不同快拍數和信噪比下的算法估計精度

5 結論

本文提出了一種基于修正IAA算法功率譜的離網格DOA估計方法，有效解決了常規稀疏重構算法字典網格與信源位置不匹配問題，實現了高精度的離網格DOA估計。本文算法以修正IAA算法得到的功率譜構建基于最小平方誤差準則的代價函數，并通過泰勒展開最小化代價函數求解偏移量，原理清晰，結構簡單，無正則化系數的干擾。仿真結果表明，相比其他離網格DOA估計方法，本文算法具有更高的估計精度，能準確估計出偏離網格的信源波達角方向。