具Holling-Ⅳ功能反應項的分數階捕食模型的定性分析及斑圖動力學

吳一凡 李奔 周文 張道祥

(安徽師范大學數學與統計學院 安徽 蕪湖 241002)

具有Holling-Ⅳ功能反應項的分數階擴散的捕食-被捕食系統可以用下述微分方程組描述:

初始條件為

式中：u(x，t)，ν(x，t)分別為在空間x∈Ω 和時間t∈[0，T]上被捕食者密度和捕食者密度；d1，d2分別為被捕食者和捕食者的擴散速率；K為被捕食者的環境容納量；C為捕食者的死亡率；A為被捕食者的自然增長率；為Holling-Ⅳ功能反應函數；參數A、B、C、E、K、d1、d2均為正常數，它們的詳細生物學意義可以見Andrews J F所著文獻[1]。

式（1）中，Δαu為分數階Laplacian 算子，α為階數，Riesz 意義下的分數階導數定義為(見Podlubny I 所著文獻[2])

分數階微分方程作為非線性過程的有效建模工具受到越來越多學者關注，其中最具有代表性的是法國學者Oustaloup 教授領導的研究組提出的分數階魯棒控制的概念與技術被成功應用于汽車行業的懸掛系統。分數階亞擴散（0 ＜α＜1）和超擴散（1 ＜α＜2）是對經典反應擴散情形的推廣，其導數為任意階。對分數階擴散的擴散（1 ＜α＜2）的研究可以獲得擴散系統更為豐富的動力學行為。分數階導數算子求解繁瑣，計算也比整數階的情形復雜。楊可麗和吳克晴[3]分析了一類帶有p-Laplacian 算子的分數階微分系統邊值問題正解唯一性問題。金艷玲[4]利用修正的Lucas 多項式方法，給出計算分數階比例延遲微分方程數值解的算法，并通過數值算例驗證修正Lucas多項式方法對此類微分方程數值解求解的有效性。李志杰[5]考慮了模糊神經網絡精度高、辨識速度快的特點，結合分數階梯度下降算法，提出了基于分數階梯度下降法的模糊神經網絡模型。利用分數階微積分的記憶特性，能夠更加合理、有效地運用過去的信息，設計更有效的參數迭代公式。本文主要研究了一類分數階擴散的捕食系統：首先，建立起系統的行波解的存在性并給出系統發生Hopf 分岔的條件；其次，利用分數階微分方程的定性理論和Hopf分岔理論討論了系統局部穩定、全局穩定以及圖靈分岔發生的條件；最后，利用Matlab軟件進行數值模擬得到了系統的空間斑圖。

1 主要結果與分析

首先我們建立式（1）的行波解。假設d1=0，α=2,為了減少式（1）的參數，引入如下變量：

簡單計算可知，式（4）有4 個平衡點。E0=(0，0)對應的是兩個物種滅絕；E1=(b，0)對應的是只有被捕食物種存在；E3=(u0，ν0)，E4=(u1，ν1)是主要研究的對象，表示共存的被捕食者和捕食者種群。其中

為了得到本文的主要結果，對參數作如下假設：b＞1 或者有E＞，確保捕食者和被捕食者有足夠大的飽和度；a＞0 和β＞2,確保E3，E4是正平衡點；b＜u1，確保系統只有唯一一個正平衡點E3。

接下來，為了建立式（4）的行波解的存在性，假設式（4）的解形如u(x，t)=u(ξ)，ν(x，t)=ν(ξ)，ξ=x+ct，c是一個正數表示波速。把u(x，t)=u(ξ)，ν(x，t)=ν(ξ)代入式（4）中，得到如下波動方程:

進一步讓u，ν滿足邊界條件：

為了簡單起見,令α=2 分數階微分算子即為經典形式下的二階空間導數。式（5）可寫為R3中的一階微分系統:

根據已有的研究結果，得出如下結論：

（1）若β＞，并且0 ＜c＜，則式（6）不存在滿足邊界條件的非負解。

（2）若β＞，c＞，a(1+b2)＜c2并且b＜-u0，則式（6）存在滿足邊界條件的非負解，對應于系統的行波解。

1.1 Hopf分岔

這一小節,我們固定α和β，討論當b和c變化時，式（6）出現的分岔現象。這個參數的選擇相對于固定了被捕食者的生長速率和捕食者的內稟增長率，并允許捕食者的捕食效率發生變化。

定理2.1：令

其中

如果b＞，并且u0＜，那么正參數b在參數平面(b，c)上的b0處穿越分岔曲線c2=l1+。在平衡點(u0，ν0，0)處的一個小擾動下，常微分式（6）發生Hopf 分岔，該分岔對應于分數階反應擴散式（5）的一個小振幅行波解。

證明在平衡點（u0，ν0，0）處線性化式（6），計算可得特征方程。

其中

整理可得

容易發現，當b＞并且u0＜時，有l1＞0，l2＜0。將λ=ki代入特征方程，可得

由此可得，若b和c滿足c2=l1+時，特征方程有一對純虛根。下面對特征方程兩邊求導可得

進一步計算可得

取上式的實部可得

明顯，在0 ＜u0＜1上，因為-1 ＜0，那么f1是嚴格單調遞減的，f2是嚴格單調遞增的。因此0 ＜u0＜1時，有

由Hopf 分岔理論，b在參數平面(b，c)上的b0處穿越分岔曲線c2=l1+，那么平衡點(u0，ν0，0)在小擾動下，式（6）發生Hopf分岔。

1.2 局部穩定性和全局穩定性

考慮式（1）中d1=d2=0時的脈沖微分方程：

式（7）中：x0=x(0+)=(u(0+)，ν(0+))0 ≤k≤1，=u(t+)(ν(s)=ν(t+))，0 ≤p1＜1(0 ≤p2＜1)，T是脈沖效應的周期。

首先給出一些符號和定義：令R+=[0，∞)和={z=(z1，z2) ∈R+}。定義映射F=(f，g)，f，g是式（1）在d1=d2=0時的右端函數。式（7）的解定義為x(t)=(u(t)，ν(t)):R+→在((n-1)T，(n+k-1)T)和((n+k-1)T，nT)是連續的，并且x(t)=x((n+k-1)T+)和x(t)=x(nT+)存在。

式（7）有一些基本的特性：

計算可得

因為式（8）的解是

那么有

定理2.2 令(u(t)，ν(t))是式（7）的任意解，若

那么(0，)是局部漸近穩定的。

證明 定義x1(t)=u(t)，x2(t)=ν(t)-，那么

這里，Φ(t)滿足條件

因此，

對于式（7）有

顯然|λ2|＜1.對于|λ1|，有

1.3 圖靈分岔

考慮式（4）的如下形式：

在平衡點E3(u0，ν0)作一個微擾，舍去高階項后得到線性微擾方程：

其中

將微擾變量在傅里葉空間中展開，得到特征方程

整理后得

其中

解得

產生圖靈分岔的必要條件如下。

條件一：系統對均勻微擾必須是穩定的，這就要求ω=0 時，λω＜0。因而系統要滿足a11+a22＜0，a11a22-a12a21＞0。

條件二：系統對于某些模數的微擾是不穩定的，會出現鞍結點分岔，這就要求系統對某些ω值有detJ＜0使得λω＞0。

求關于ωα的極小值，得到最危險模數值為

將最危險模數值代入detJ中得到

即當所有的參數值滿足條件一和條件二時，式（11）將發生圖靈分岔現象。

2 數值模擬

在這一部分，研究人員采用分數階擴散方程的有限差分格式[6]對式（1）進行數值模擬。為了得到簡潔的結果，以下數值模擬結果均為捕食者的關系圖。為了驗證算法的有效性，研究人員先討論Xu H W 和Fu S M[7]所著文獻中的模型（14）的空間斑圖。

選取參數如下:a=0.1，b=0.2，m=0.6，p=0.1，q=0.25，D1=0.015，α=2，β=2。當D2=0.75＞時，公式（14）是圖靈不穩定的，會產生圖靈斑圖。圖1 是t=50，100，150，200 下的數值模擬結果。這與文獻中的結果一致，這表明研究人員討論的結果是正確的，算法是有效的。

圖1 式(14)的空間Turing斑圖

對于式（11），研究人員發現在滿足產生圖靈分岔的必要條件一下所選取的參數數值會導致式（13）右端值小于零，這就無法保證條件二成立。因此，式（11）不會產生圖靈斑圖。圖2 是式（11）在α=1.8時t=50、100、150、200下的空間斑圖數值模擬結果。

圖2 式(11)的空間斑圖

3 結語

本文構建了帶有Holling-IV 功能反應函數的分數階的具有擴散效應的捕食-食餌模型。我們首先給出了當d1=0，α=2 時系統的行波解以及系統發生Hopf分岔的條件。然后討論了系統局部穩定、全局穩定以及圖靈分岔發生的條件。最后利用分數階擴散方程的有限差分格式，借助Matlab 軟件進行數值模擬得到了系統的空間斑圖。