完全四點形三組對邊斜率之間的關系

重慶市長壽龍溪中學校(401249)吳波

1 問題的提出

完全四點形是指平面上四個點(其中無三點共線)及其兩兩連結的六條直線所組成的圖形,這四個點稱為它的頂點,六條直線稱為它的邊.在文獻[1]中我們將《數學通報》數學問題2583[2]推廣為全對稱形式,即給出了圓錐曲線內接完全四點形三組對邊之間存在如下關系:

定理1[1]在平面直角坐標系中, 主對稱軸平行(重合)于x軸且離心率為e的圓錐曲線上四點A1,A2,A3,A4可生成一個完全四點形, 其諸邊AiAj的斜率存在且為kij(1 ≤i

注1圓錐曲線主對稱軸指其焦點所在的對稱軸;而圓的任意對稱軸都視作主對稱軸.

注2當其中某(些)邊的斜率不存在時,從極限角度看,定理1 的結論仍成立.

定理1 題設中要求完全四點形外接于一條圓錐曲線.如果脫離圓錐曲線,對于一般的完全四點形,其三組對邊的斜率之間是否也隱含著某種關系呢?

本文即探討這個問題.

2 完全四點形三組對邊斜率之間的關系

對于一般的完全四點形,經過探討,我們發現其三組對邊的斜率之間滿足如下的對稱關系:

定理2平面直角坐標系中的完全四點形A1A2A3A4的邊AiAj的斜率為kij(1 ≤i

證明因為平移平面直角坐標系并不會改變直線的斜率, 因此不妨設A4是原點, 再設Ai(xi,yi)(i= 1,2,3), 則有.則

注意到上述行列式所對應的矩陣的第一行向量與第三行向量之和正好等于第二行向量,因此其行列式的值必為0.證畢.

一般來說,與斜率有關的結論會依賴于平面直角坐標系的選擇.比如定理1 題設中就要求“主對稱軸平行(重合)于x軸”.但是定理2 的題設中并未對完全四點形所在的平面直角坐標系作出限制.也就是說,定理2 的結論對任選的平面直角坐標系都成立.只是需要注意: 當所選的平面直角坐標系使得某(些)邊的斜率不存在時,對式①應當如命題1(見下一小節)的證明中那樣從極限的角度來理解.

3 定理2 的若干特例或極限情形

定理2 有眾多特例或極限情形,本節略舉幾例.

命題1對平面直角坐標系中的完全四點形A1A2A3A4,其邊AiAj的斜率為kij(1 ≤i

(i)若對邊A1A4,A2A3都與x軸平行,則.

(ii)若對邊A1A4,A2A3都與y軸平行,則k12+k34=k13+k24.

(iii)若邊A1A4與x軸平行,而對邊A2A3與y軸平行,則k12k34=k13k24.

證明(i)此時有k14=k23=0.代入定理2 的式①并按最后一行展開得:k12k34(k13+k24) =k13k24(k12+k34)).然后兩邊都除以k12k34k13k24即得結論.

(ii)將定理2 式①的最后一行除以k14k23得

(iii)此時有k14= 0,.將定理2 式①的最后一行除以k23后代入可得:

按最后一行展開即得.證畢.

注1如命題1(ii)(iii)所示,當定理2 中某(些)kij(1 ≤i

注2不借助于定理2,也可通過計算直接驗證命題1 的結論成立.

命題2如圖1, 對平面直角坐標系中的平行四邊形A1A2A3A4,邊AiAj的斜率為kij(1 ≤i

圖1

證明將k34=k12,k23=k14代入式①得:

前兩行分別減去第三行得:

將左邊分解,然后兩邊約去公因式k12-k14可得:

將待證式展開易知: 上式與待證式等價.證畢.

利用命題2 容易推得(證略):

推論1如圖2, 在平面直角坐標系中,AM是?ABC的一條中線,AM,BC均不平行于y軸,則

圖2

推論2在平面直角坐標系中,AM是?ABC的一條中線,則

(i)AM//y軸?kAB+kAC= 2kBC;BC//y軸?kAB+kAC=2kAM.

(ii)AM//x軸;BC//x軸.

4 本質

這不是調和點列(線束)交比等于-1 的形式么(參見文獻[4])? 雖然圖1 中只有A1A2,A1A3,A1A4過A1,而A2A4卻不過A1.但這仍然提示我們: 定理2 其實是完全四點形的一個射影性質.本節中我們就將指出定理2 在射影幾何中的本質.

定義1[3]設f為一維基本形[π]上的一個非恒等的射影變換,若對于任意的x∈[π],都有f(x) =f-1(x),則稱f為[π]上的一個對合.

定義1 也可以等價地表述為: 非恒等的射影變換f如果滿足f2(f復合f)為恒等變換,那么f就是一個對合.

比如:O是直線l上的點,在以直線l為底的點列上定義關于O的對稱變換φ,即對于任何X∈l,φ(X)為X關于O的對稱點.顯然有φ2(X)=X,即φ2為恒等變換.因此關于O的對稱變換φ就是對合的一個實例.

定理3[3](Desargues 對合定理) 如圖3, 不過完全四點形A1A2A3A4頂點的直線l與其邊AiAj的交點為Pij(1 ≤i

圖3

由于透視保持交比不變,因此有:

推論3如圖3,不過完全四點形A1A2A3A4頂點的直線l與其邊AiAj的交點為Pij(1 ≤i

現限定在仿射平面上,且圖3 中的直線l取該平面的無窮遠直線,則Pij為AiAj的無窮遠點(1 ≤i

圖4

推論4如圖4,過一點作與完全四點形三組對邊分別平行的直線,則所作的三對直線是屬于同一對合的三對對應直線.

在平面直角坐標系中,共點的四直線間的交比可以用斜率來表示(參見文獻[4]).當然,兩個線束成對合的條件也可以用斜率來表示.可以證明(證略): 推論2 即是定理2 用“對合”概念表述之后的等價形式.

這表明: 定理2 是Desargues 對合定理的一個特例,本質上是完全四點形的一個射影性質.

至于第3 小節中的命題2,它可以簡潔地表述為:

推論5過一點作與平行四邊形的兩條鄰邊和兩條對角線分別平行的直線,則所作的兩對直線調和共軛.

作為完全四點形的對偶圖形,完全四線形的三對頂點之間是否也存在某種對稱關系呢? 確實如此! 文獻[5]的定理4的推論中就利用復數給出了復平面上的完全四線形三對頂點之間的與定理2 非常相似的結論.有興趣的讀者可以參看.